题不在多联系则名，法不在全变化则灵——传球出智慧

题不在多联系则名，法不在全变化则灵——传球出智慧 题不在多联系则名，法不在全变化则灵—— 传球出智慧 2006年第1l期散学教学研究35 " , koM= 髫0 b(2一I) 詹D?? 即点M与AB中点的连线过双曲线的中心. (3)过M作AB的垂线交轴于口.设Q(?.0), 则'一普,一)..髫o,,:一,,I) ^口=(:一I,一,,t). ? . ? MQ上AB.府?詹=0, 导)一. 得o一口一6=0.=. 故过点肘垂直于AB的直线恒过焦点所在对称 轴上的一定点口(.0). 0 推广S过平面上一定点(非圆锥曲线中心)的 直线交圆锥曲线于A,两点.过A,两点作圆锥曲 线的切线,设其交点为M,则点M在一定直线上. 证明与上面类似,此处略. 注若定点为G(.),曲线为椭圆时.点 在直线+=1上;曲线为双曲线时.点肘在直 线—YoY=11-;曲线为抛物线时,点在赢线,, =P(?+?o)上. 题不在多联系则名,法不在全变化则灵 —— 传球出智慧 蒋文彬 (安徽省淮南市第一中学232001) 数学离不开解题,但题要精彩,做题不在多丽在 精.对待解题的思想认识和方法要对头.要通过做 题,深刻理解概念,扎实掌播基本知识.学会运筹帷 柽.纵横捭闽,使自已的思维水平不断上升.达到高 屋建瓴.只有这样,面对千变万化,面目各异的题时, 才能做到胸有成竹,应付自如.使一道道难题"落花 流水".说具体些,我们应力求做到一题多解,多解归 一 .多题归一,用"动"的观点考虑问题.尽可能地拓 宽思路.训练发达的头脑,做到"八方联系,浑然一 体".最终达到"漫江碧透,鱼翔浅底"的境界.下面 例谈示范. 1问题缘起 <安徽省高二数学基础训I练)第二册(下)100页 同步练习3第(3)题是一个关于传球问题的题目: 三人互相传球.由甲开始传球,并作为第一次传 球,经过5次传球后.球仍回到甲手中.则不同的传球 方式共有种数是(). (A)6(B)8(c)10(D)16. 此题在高二学习时被学生质疑最多,在近年各 地的高考模拟题中也频频出"镜",颇受青睐. 它主要考查排列组合中的计数问艇,高二学生 多有困惑,高三时仍感疑惑.一次高三考试中.优等 1 生能选正确 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 (c)的仅为?.多数学生无明确的 解题思路,有的根本不解题意;有的只会用列举法进 行直观列举,但不能按一定顺序将所有情况一一穷 尽.有遗漏现象i选(C)的同学也有荣对的I绝大多 数同学缺乏转化意识.不能通过联想已经解决的熟 悉问题来建立数学模型求解. 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现出抽象思维的贫 乏与薄弱. 事实上,对这种似乎是j}常规性的问题,往往难 以用常规方法去顺利解答;这道题通俗易懂.源自生 活.贴近实际,背景公平,能反映学生应用数学知识 和方法解决实际问题的能力.是一道扳具思维训练 价值的好题.值得深入研究. 2多向求解 解法1画树形圈法.将传球路线一一列举,进 行直观求解. 36数举教学研究2006年第11期 舫法 甲 甲与非主亳蓍?非^甲 l;1213 圈 t41516l示"红"色 ;"乙"表示"… 色,并且相邻的两个方格涂不同颜色的方法种数.故 红色只能在3或4之一处至多出现一次,所以本题可 按"红"色出现的情况分以下兰类情况讨论: (1)若"3"涂红色,则"4,5"只能涂黄,蓝两色, 有^种方法,而"2"只能选择黄,蓝两色之一.有^ 种方法,由乘法原理知有=4种方法; (2)若"4"涂红色,类似于(1)六个方格的着色 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 也有i^;4种; (3)若"3,4"都不涂红色,则合条件的着色方案 只能是: (i)"2,4都着黄色,且"3,5"都着蓝色; (ii)"2,4"都着蓝色,且"3,5"都着黄色. 即若"3,4"都不涂红色时共有2种着色方法. 综合上述三种情况,由分类计数原理六个方格 的着色方法有4+4+2=10种. 通过等价转化将问题转化为"涂色"问题,而涂 色问题又依鞍排列组合中的最基本的方法——"占 位法".君不见排列数公式,组合数公式及排列组合 常见的应用题均采用此法,它触及了排列组合的本 质,是高考命题者最青睐的方法之一. 3变式演绎 改变问题的叙述形式,就会出现"一个个鲜活的 面容". (1)用1,2,3三个数字组成一个六位整数,要求 首位和未位排1,且相邻的两个数码不相同,可以得 到多少个不同的六位整数? (2)为了丰富本周的课间文娱活动,我校计划 从星期一开始,利用上午课问时间展播2006年春节 联欢晚会上得奖的3个最好节目:^,曰,c.要求节目^ 星期一和星期六都要展播且任意连续两天展播的节 目不相同.若由于时问关系每天只能展播一个节目, 问一周的节目安排共有多少种不同的方案? (3)(2003年新课程卷文科高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 第16题) 将3种作物种植在并排的5块试验田里,每块种植一 种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的 种植方法共有种. 以上这些质同形异的排列组合模型和"传球" 问题有着天然的联系.只不过"藏在深闺无人识"罢 了."传球"问题还可看作近年高考中常考常新的 "种植"问题的一个应用. 解法4递推法. 2006年第11期数学教学研究37 上述解法具有一定的代表性,如何将问题及其 解答向一般情况推广,进一步揭示问题的规律,认识 问题的本质呢? 将问题由特殊情况(经5次传球)向一般情况 (变为经n次传球)引申,则不同的传球方式有多少 种? 问题一经引向一般,上述三种具体解法就难以 完全套用!但是可以受其方法的启发——发现问题 背后的规律.让我们继续观察解法1中的图1.设经 过n次传球后,球在甲手中的不同方式有n种,球不 在甲手中的不同方式有b种(n=1,2,3,…),则从 图1中可得以下4个结论: ?n.=0,经过n次传球后共有2种不同的传球 方式; ?经过n次传球后要么球在甲手中,要么球不 在甲手中,可得:2=d+b; ?第n一1次传球后,若球在甲手中,则下一次 (即第n次)必不在甲手中(甲传出去有两种可能); 第n一1次传球后,若球不在甲手中,则下一次(即第 n次)可以传球到甲手中(乙可以传给甲或丙,丙可 以传给甲或乙,各有两种可能); ?经过n次传球后,球在甲手中有n种方法,等 于第n—1次传球后球不在甲手中的方法数6,即 d=6^一 I, 且d一 l+b一 I=2'. 所以d=2,一d.(1) 这是此数列的递推关系式,结合n.=0可得n一 =一 (n一),于是数列{.一等}是首项为 一三 3.公比为一1的等比数列,即n一争= 一 ?(,解得n:.当5 时,n=10,即5次传球后,球在甲手中的方法种数 有10种.顺便指出对(1)式可通过多种转化方式来 求通项公式. 递推法是研究数列问题的常用方法.正确运用 这个方式的关键在于"找到"n—n+1时,d一d 的变化规律,而揭示其变化规律的有效方法就是正 确地观察好前n项.如本题中,可观察到:n,=0,n = bI,n,=b2,…,进而有0=6. 解法5概翠法. 我们仍就一般情况讨论本题. 设共进行了n次传球,由于球由某人手中向下 一 个目标传递有2种方法.由乘法原理知经过n次传 球后共产生了2种不同的传球方式,这2种不同的 传球方式是等可能的,且任意两种不同传球方式也 是互斥的. 设第n次传球后,球在甲手中的方式总数为n, 不在甲手中的方式总数为6,则由互斥事件的概率 加法公式得,P(n)=,P(6)=争,显然,有以 下关系式:(为书写方便,以下简记P(n)=P, P(b)=P) (1)P+P=1,n=1,2,3,…; (2)d=2?P,b=2?P; (3)P:,P 其中关系式(3)成立的理由是:n次传球后,甲 手中持球的方式总数a就是n—1次传球后,甲手中 无球的方式总数6(此时球在乙手里或在丙手 里),而6种情形中的每一种情况,在下一次传球 时,球传到甲手中的方法数都是1,故n=b?1= ==;. 至 于P,=o,是因为d,=0oP.=o之故. 由关系式(3),得P一?=一?(P一丁1). 显然{P—丁1}构成首项为P—丁1=一丁1,公 比为一1的等比数列 , 由P一丁1=一丁1(一1),, 得P=?+,所以…z一= .?N'.取=5,易得;10. 通过上述解法探讨.下列几个问题可迅速解答: (1)3人互相传球,由甲开始传球.并作为第一 次传球,问经过5次传球后,球不在甲手中的不同传 球方式共有多少种? 事实上,就是求b=2一d=32—10=22种. (2)3入互相传球.由甲开始传球,并作为第一 38数学教学研究2006年第11期 次传球.问经过5次传球后,球在乙手中的不同的传 球方式共有多少种? 事实上.由2'种互斥等可能事件知,答案应为 ?xb5=11种. (3)3人互相传球.由甲开始传球,并作为第一 次传球.问经过5次传球后,球在丙手中的概率为多 少? 事实上,由(2)知概率为. (4)求证:对一切自然数,.=_? EN. 事实上.由二项式定理知,2+2x(一1);(3 — 1)'4-2(一1)=3M'4-3×(一1)'为3的倍数(M 为(3—1)'展开式中的前,I项和,且每项至少含有一 个因式3),故口.EN. (5)m个人互相传球,首先由甲开始传球,并作 为第一次传球,问经过,1次传球后.球又在甲手中的 不同传球方式共有多少种? 事实上.仿照解法4,可得口=(m一1)一 O'n-I)~1=0.亦即.一=一[.一 ].自;一.可; !二.+(一1)n, EN+. 奇妙的"黄金分割" 头 (浙江省慈滇市带寿初级中学315334) '全日制义务教育数学课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 (实验稿)>指 出"作为数学欣赏,介绍尺规作圈与几何三大难题, 黄金分割,哥尼斯堡七桥问题等专题,使学生感受其 中的数学思想方法,领略数学命题和数学方法的美 学价值."<普通高中数学课程标准(实验)>在新增 的"数学文化"专题中也提出了"黄金分割引出的数 学问题".笔者认为"黄金分割"这一题材是中学开 展数学课题学习的良好素材,其充分体现了数学的 美学价值.能激发学生学习数学的兴趣,丰富学生的 数学学习活动.使学生受到数学文化的熏陶.笔者对 黄金分割及其有关的内容进行了归纳,整理,以供参 考. 1黄金分削殛其有趣结论的探究 两千多年前,古希腊数学家欧多克斯 (Eudoxus).约公元前408一前347年)发现:将一条 线段AB分割成大小两条线段AC,CB.若小段CB与 大段AC的长度之比等于大段AC与线段AB的长度 之比,即丽CB=(此时线段Ac叫做线段CB,AB的 比例中项),则可得出这一比值就是 0.61803398874989…,这种分割称为黄金分割 (GoldenSection),点c叫做线段AB的黄金分割点 (如图1).德国天文学家开普勒(JohannesKepler, 1571--1630)在他的<宇宙之秘>中写道:"毕达哥拉 斯定理(勾股定理)和黄金分割是几何中的双宝,前 者好比黄金,后者堪称珠宝."历史上最早正式在书 中使用"黄金分割"这个名称的是德国物理学家欧 姆(MartinOhm,1792--1872).l9世纪以后,黄金分 割之名逐渐流行开来. 直?图1.直日果设AB=口. AC=*,由CB=筹可得ADcB =_苎_.即茹+口茹一o= 0.解得=二.因为茹>0,所以AC茹= 犁.0.618口.按照这个定义,可以推导出许多 有趣的结论. 1.1对称性 我们可以得出,如果线段AB上另有一点D,满足 =.即曰D=BA?AD,那么点D也是A的黄