数学建模课程设计模版

东北大学秦皇岛分校 数学建模课程设计报告 正规战与游击战 学 院 数学与统计学院 专 业 信息与计算科学 学 号 7100118 姓 名 冯筱楠 指导教师 刘超 成 绩       教师评语： 指导教师签字：          2013年07月17日 1  绪 论 1.1 课题的背景 早在第一次世界大战期间,F.W..lanchester就提出了几个预测战争结局的数学模型，其中有描述传统的正规站长，也有考虑稍微复杂的游击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的所谓的混合战争的，后来人们对这些模型做了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫磺岛战役。 Lanchester提出的模型非常简单的，他只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱，并且，当时使用的只是枪战之类的武器，兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，又可由后备力量的增援而增加；战斗力即杀伤力的能力，则与射击率、射击命中率以及战争的类型等有关。而仅靠战场上的兵力的优劣势很难估计战争的胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有参考价值。更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。 2 汽车刹车距离 一般战争模型 用x（t）和y(t) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示甲乙交战双方时刻t的兵力，不妨视为双方的士兵人数。假设： 1. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，甲乙方的战斗减员率分别用f(x,y)和g(x,y)表示。 2. 每一方的非战斗减员率只与本方的兵力成正比。 3. 甲乙双方的增援率是给定的函数，分别用u（t）和v(t)表示。 由此可以写出关于x(t)，y(t)的微分方程为 下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率，f,g的具体形式，并分析影响战争结局的因素 令 表ｔ时刻甲军人数, 表ｔ时刻乙军人数： 在以上假设下，显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比，同样乙军减员率与甲军人数成正比．可得正规部队对正规部队的作战模型为 (1) 其中a > 0，b > 0均为常数，积分（1）得 (2) 这就是“兰彻斯特平方定律”，（2）式在X-Y平面上是一族双曲线。如图17.8所示，双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。 由图17.8可知，乙军要想获胜，即要使不等式 成立。可采用两种方式：(1) 增加a，即配备更先进的武器；(2) 增加最初投入战斗的人数 。但是，值得注意的是：在上式中，a增大两倍，结果 也增大两倍，但 增大两倍则会使 增大四倍。这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定律的意义，说明兵员增加战斗力将大大增加。 如果考虑两军作战时有增援，令 和 分别表示甲军和乙军t时刻的增援率，所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率。此时正规部队对正规部队的作战模型为 (3) 现在回答一开始时提出的问题，设甲军有m=100人，乙军有n=50人，两军装备性能相同， c>0:乙军胜 c<0:甲军胜 c=0:不分胜负        x(t) 即令 ，没有援军，将(2)变为 (4) 将y = 100，x = 50代入(4)式得 (5) 再将c/a=7500代入(17.29)式得 (6) 战斗结束一方人数为零，显然这里乙军x=0，代入(6)式得 即甲军战死13人，剩下87人，乙军50人全部被消灭。 二、 混合战模型： 如果甲军是游击队，乙军是正规部队，由于游击队对当地地形熟，常常位于不易发现的有利地形。设游击队占据区域R，由于乙军看不清楚甲军，只好向区域R射击，但并不知道杀伤情况。我们认为如下的假设是合理的：游击队x的战斗减员率应当与x(t)成正比，因为x(t)越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性越大；另一方面游击队x(t)的战斗减员率还与y(t)成正比，因为y(t)越大，火力越强，x的伤亡人数也就越大。因此游击队x的战斗减员率等于cx(t)y(t)，常数c称为敌方的战斗有效系数。如果f(t)和g(t)分别为游击队和正规部队增援率，则游击队和正规部队的作战模型为 (7) 若无增援f(t)和g(t)，则(7)式为 (8) 积分(8)式得 M>0：乙胜 M=0:不分胜负 M<0:甲胜 (9) (9)式在x-y平面上定义了一族抛物线，如图17.9所示：如果M > 0，则正规部队胜，因为当y(t)减小到 ，部队x已经被消灭。同样，如M < 0，则游击队胜。 三、 游击战模型： 若甲乙双方都是游击部队，则双方都隐蔽在对方不易发现的区域内活动。由混合战部分的分析，得游击战数学模型 (10) 其中f(t)和g(t)分别是甲军和乙军的增援率，常数c是乙军的战斗有效系数，常数d是甲军的战斗有效系数。 如果甲乙双方增援率均为零，则游击战数学模型为 (11) (11)的解为                          (12) (12)式在x-y平面上定义了一族直线。如图17.10所示：如果m > 0，则乙方胜；如果m < 0，则甲方胜；如m = 0则双方战平。 几点说明： (1) 在模型(3)中，如果a、b、f(t)和g(t)已知，则可用显式求解。但在模型(7)中，因方程组是非线的，求解困难，可利用计算机求解。 (2) 事前确定战斗有效系数a、b、c和d的数值通常是不可能的，但是如果对已有的战役资料来确定a和b(或者c和d)的适当系数值，那么对于其他类似于同样条件下进行的战斗，a和b(或c和d)这些系数就可以认为是已知的了。 因此，在以上意义下，兰彻斯特作战模型仍然具有普遍意义。J·H·Engel将第二次世界大战时美国和日本为争夺硫磺岛所进行的战斗资料进行分析，发现与兰彻斯特作战数学模型非常吻合，这就说明了兰彻斯特作战数学模型是能够用来描述实际战争的。 下面介绍二战时期著名的硫磺岛战役： 四、硫磺岛战役 硫磺岛位于东京以南1062km，面积仅有20.7km ，是日军的重要军事基地。美军想要夺取硫磺岛作为轰炸日本本土时的轰炸机基地，而日本需要硫磺岛作为战斗机基地，以便攻击美国的轰炸机。美军从1945年2月19日开始进攻，激烈的战斗持续了一个多月，双方伤亡十分惨重，日方守军21500人全部阵亡或被俘，美军投入兵力73000人，伤亡20265人，战争进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军有按天统计的战斗减员和增援情况的战地记录，日军没有后援，战地记录全部遗失。 用x(t)和y(t)表示美军和日军在第七天的人数，在正规战模型(1)中加上初始条件，得 (13) (14) 由增援率和每天的伤亡人数可算出x(t),t=1,2,…,36(见图17.11中虚线)，将已有数据代入(13)式，算出x(t)的理论值并与实际值作一比较。 对方程(13)用求和代替积分得 (15) (16) 为估计b值在(17.41)式中取t=36，因为y(36)=0，且由x(t)的实际数据可得 =2037000，于是从(16)式估计出b= =0.0106，再把这个值代入(16)式即可算出y(t)，t=1，2，…，36． 由(15)式估计a值，令t=36，得 (17) 其中分子为美军总的伤亡人数20265人，分母可由(16)算出的y(t)，得372500，由(17)式可解出 ，将a值代入(15)式得 (18) 由(18)式可算出美军人数x(t)的理论值．图17.11中用实线表示．与虚线表示的实际值比较，吻合情况相当好。 习题17.4 1． 方程组 是正规部队对游击队作战的一个兰彻斯特数学模型，其中游击队y的非战斗减员率与y(t)成正比． （1）求方程组的轨线． （2）试问哪一方胜利． 作战部队的非战斗减员率是指非战斗的原因（如开小差、疾病等）减员。 结    论 对于偏微分方程中的一类椭圆型的方程，本文给出了一个在MATLAB软件的pdetool工具箱下的一个数值解。 参考文献 [1] 李庆杨, 王能超, 易大义. 数值分析（第4版）[M]. 北京: 清华大学出版社, 2006. [2] 王芳, 路勇. 基于改进遗传算法的权重发现技术[J]. 计算机工程, 2007, 33(5): 156-157, 160.