导数与微分

存在,称函数在点可导,并称极限值为在点的导数,记...微分基本公式和运算法则(1).微分基本公式:由微分的...若记,则有,或;即不论对于中间变量还是自变量,微分的... 导,算法,论 专题技术 牛档搜索（Niudown.COM） 本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索 的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验， 作品其著作权归原作者所有。不代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 牛档搜索（Niudown.COM） 赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相 应的法律责任！ 第二章 导数与微分 第一节 导数概念及求导法则 一、 重要知识点 1、 解导数的概念与导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程， 2、 了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量， 3、 理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 4、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导 数公式， 5、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 6、会求分段函数的导数。 二、主要内容 1．导数的定义 U(x)x，,x,U(x)，，xy,fx定义、设在点的某邻域内有定义，，对于函数的增0000 ,y,f(x，,x),f(x)量，如果极限 00 f，，，，x，,x,fx,y00lim,lim ,x,0,x,0,x,x ，，x，，xy,fxy,fx存在，称函数在点可导，并称极限值为在点的导数，00 dydf,,，，，，fxyx记作，，，。 00dxdxx,xx,x00 ，，，，fxfx,0，，fxlim,注：?导数定义的等价形式：； ,0x,xxx0,0,y,y，，xy,fxlim?是函数在间隔内的平均变化率，从而为函数在点的变化,x0,x,0,x,x率； ,y,y，，xy,fxlimlim,,?若极限不存在，称函数在点不可导，当时，习惯上也0,x,0,x,0,x,x 称导数为无穷大； ,,,，，，，，，，，，，k,fxvt,stat,vt?根据导数的定义，有，以及； 00000切 ，，，，，，，，y,fxa,by,fxa,b?如果函数在区间内点点可导，称在区间内可导，即 ,,x，，，，，，，，,x,a,b，导数fx都存在，且是点的函数，称fx为y,fx的导函数，简 dydf，，，，dydffx，,x,fx,,,,，，fx称为导数，记作，，，； y,,y,f(x),lim,x,0dxdx,xdxdx 2．导数的几何意义 ,y，，，，，，x,fxxy,fx函数在点可导，即存在。在曲线上点处切线的斜率lim000,x,0,x ,y,，，k,fx。 lim,0,x,0,x ,y，，，，，，x,fxxy,fx时，函数在点不可导，但是曲线在点处仍然有lim,,000,x,0,x 竖直切线。 3．左导数与右导数 ，，，，f，，，，x，,x,fx,yfxfx,000limlim定义、若lim,（）存在，称极限值为函，，，,x,0x,x,x,0xx,,x0,x0 ,，，fx，，xy,fx数在点的右导数，记作；若，00 ，，，，f，，，，x，,x,fx,yfxfx,000limlimlim,（）存在，称极限值为,,,,x,0x,x,x,0xx,,x0,x0 ,，，fx，，xy,fx函数在点的左导数，记作。 ,00 ，，，，x,fx，，y,fx左、右导数的几何意义分别是曲线在点处的左半切线与右半00切线的斜率。根据左右极限与极限的关系，不难得出下面的定理。 ，，x，，xy,fxy,fx定理、在点可导的充分必要条件是在点的左、右导数存在并且00相等。 例．研究函数在点是否可导。 ，，x,0fx,x ，，，，,y,f0，,x,f0解： ，，,f,x,,x xx,,yy,,,,，，，，f0,lim,lim,1f0,lim,lim,,1 ，,，，,,,x,0,x,0,x,0,x,0xxxx,,,,所以在点不可导，或导数不存在。 ，，x,0fx,x 4．可导与连续 ，，xy,fx由上面的例子，连续不一定可导；反之，如果函数在点可导，则0 ,y,y,,，，，根据函数极限与无穷小的关系，有，，，也可以写作lim,fx,fx，,00,x,0,x,x ,，，,y,fx,,x，,,,x，，x，易知，，即函数y,fx在点连续。 lim,y,000,x,0 ，，xxy,fx定理、若函数在点可导，则必然在点连续。 00 注：可导必然连续，但连续未必可导；如果函数在某一点不连续，则在该点一定不可 导；可导是连续的充分条件，而连续则是可导的必要条件。 5、几个基本初等函数的导数公式 ,； ，，c,0 ,,,1,(x),,x幂函数：； 11xxxx,,,,(a),alna(e),e对数、指数函数： (logx),(lnx),axlnax 2,,,(tanx),secx三角反三角函数：(sinx),cosx (cosx),,sinx 2,,,(cotx),,cscx (secx),secxtanx (cscx),,cscxcotx 11,(arccosx),, (,1,1) ,(arcsinx),221,x1,x 11,, (,,,，,) (arctanx),(arccotx),,221，x1，x 6、求导法则 函数和、差、积、商的求导法则 x，，，，u,uxv,vx定理、设，均在点处可导，则 ,,, ； ，，，，，，，，,,ux,vx,ux,vx ,,, ； ，，，，，，，，，，，，,,ux,vx,uxvx，uxvx ,,,，，，，，，，，，，,，，uxuxvxuxvx,，，(vx,0) ，； ,,2，，vx，，vx，， ,,注：?不难推出，若c是常数，则：； ，，，，，，cux,cux ?此法则可以推广到有限个函数的积的导数，如 ,,,, ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,,uxvxwx,uxvxwx，uxvxwx，uxvxwx 利用法则和已有的导数公式，就可以进行简单的求导运算。 7．反函数的求导法则 ,，，，，定理、设单调、连续、可导，且,y,0，则其反函数y,fx存在且可导，x,,(y) 1dy11,，，有：，或，或。,y,,,fx dx,，，,,yxdxdy 8．复合函数求导 复合函数的求导法则 xu定理、如果函数u,,(x)在点可导，函数y,f(u)在相应的点可导，则复合函数 xy,f[,(x)] 在点可导，且 dydydudy,, ,f(u),,(x),,dxdudxdx 注：上面的定理的结论可以推广到有限个函数构成的复合函数，如果可导函数 y,f(u)u,g(v)v,,(x)y,f{g[,(x)]}，，构成复合函数： dydydudv,,, ,f(u),g(v),,(x) ,,,dxdudvdx 9．高阶导数 ,x，，，，y,fxfx定义、设函数在点的邻域内一阶导数存在，如果极限 ,,，，，，fx，,x,fxlim ,x,0,x xx，，，，y,fxy,fx存在，称函数在点二阶可导，并称极限值为在点的二阶导 22dyddydf,,,,,,，，,fxy数，记作：，，或 。 ,,22dxdxdxdx,, ,,，，fx二阶导数作为函数，可以定义出三阶导数： 3,,,,dyf，，，，x，,x,fx,lim 3,x,0dx,x 323,,dyddydf,,,,,,,,，，y,fx，，或；一般利用函数的阶导数记作：f(x),yn,1332,,dxdxdxdx,, n(n,1)(n,1)nn,1dyfx，,x,fx()()dydy，，nn,ylim，可以定义出阶导数：；并记为：，n,1nn,x,0dxdx,xdx 等；称函数的二阶及其以上阶的导数为高阶导数。 ，，n0，，，，，，，，，，n1n,12n,2n,1n,1nn,,,,，，u,v,cuv，cuv，cuv，？，cuv，cuv nnnnn n!nn,1？n,k，1，，，，k，，0，，0c,,其中，；若记u,u，v,v，则有求两个函数n，，k!k!,n,k! n，，nknkk，，，，,，，u,v,cuv乘积的高阶导数公式——莱布尼兹公式：。利用此公式可以解n,k,0决某些乘积的高阶导数问题。 三、典型例题 xx,0,e，，1．已知在连续，试讨论在的可导性？ fx,x,0x,0,x,0cosx, ,x0,xeee,,100f，,x,f,x，，，，,,lim,lim，，：,lim,1 f0,lim，，，，，0,x,,x,0,x,0,x,0x,x,,x,x 2，，,x0xecos,,,00f，,x,f，，，，2,lim,0,,lim，， f0,lim,,,,x,,0,x,0,x,0,xx,,x ,,，，，，，，ff0,0fx因为，故在不可导。 x,0，, ,f(x)，，xfx2．已知函数在点可导，试问与的关系？ A00 f，，，，xhfx，,00,，，,fxA,lim： 0h,0h f，，，，xxfxf，，，，x2xfx，2,,，,,0000,，，2fxA,,2lim,lim 0,x,0,x,0x2x,, f，，，，xhfxhf，，，，x，h,fxfx,，，，，h,fx，,,000000,，，,2fxA,lim,lim(，) 0h,0h,0hh,h cosxx,0, ,,，，fx,1x,0，，f03．设，试问是否存在？ , 2,xx,0, 2：，，由此即可知，在不连续，从而在f(0),1limf(x),limx,0f(x)f(x)x,0，，x,x,00 ,，，不可导，即f0不存在。 x,0 y,x，，4,24．求曲线在点的切线及法线方程。 11,，，y,4,2：，根据导数的几何意义，在点切线斜率为， k,切42x 11k,,4； 切线方程：，，，； y,2,x,4y,x，1法44 ，，y,2,,4x,4法线方程： ，y,,4x，18。 sinxx,0,,,，，f05．设，试求以及f(x)。 ，，fx,,xx,0, ,,,,当时，；当时，；对于分段函数的，，，，，，，，fx,sinx,cosxfx,x,1x,0x,0 分界点，，f(0),sin0,0， x,0 fx,f0x,0，，，，,，，0,lim,lim,1 f，，，x,1x,1x,0x fx,f0sinx,0，，，，,，， 0,lim,lim,1f,,,x,0x,0x,0x cosxx,0,cosxx,0,,,，，，，f0,1所以，不存在，综上讨论，有： ,,fx,1x,0,,1x,0,,1x,0, 注：如果求分段函数的导数应考虑两部分内容：其一，函数在每一个子区间内的导数 （用导数公式，或导数运算法则）；其二，在分界点处的导数由定义讨论。 ,,,,，，f1，，6．设fx,xx，，求，f()。 sintan84 ,1,,,,,，，，，,sinx，xcosx，，fx,(xsinx)，(tan),xsinx，xsinx， 82x 1,,,,13,,，， f1,sin1，cos1 f,，, ()sincos424442 ,,,,,,,f(1),{f(1)}注：是常数，其导数等于零；，f(),{f()}。 tan448 ,，，fx,xtanx，，fx7设，求。 tanx2,,,,，，fx,(xtanx),(x)tanx，x(tanx),，xsecx 2x 23,，，fx8．设，求。 ，，fx,xsecx 212secx2,,333,,,,2，3xtanx：，， fx,(xsecx),xsecx，xsecxtanx333x t,s(t),etsect9．设，求。 s(t) tett,s(t),etsect，sect，etsecttant 2t 2,2x,x，1．求复合函数的导数。 y,2 2u2,2x,x，1y,2u,,2x,x，1：：，，故 y,2 dyu2,u2,, ,(2),(,2x,x，1),2ln2,(,2,，1)xxdx 22,2x,x，12,,2x,x，1 ,,,,，2ln2(2xx1)，，,,4x，12ln2 2y,[arctan(x)]．求复合函数的导数。 ：对复合函数进行分解时，一般要求分解为一些基本初等函数或基本初等函数的 四则运算的形式即可。 22v,xy,[arctan(x)]y,u：：，，，则 u,arctanvdydydudvarctanx11,,, ,,,,2u2，1vdxdudvdx2x(1，x)x shx．求函数的导数。 y,log(，1)ax shx2y,log(x，shx，1)y,logu：：，u,，1，则 aax 21xchx,shxdydyduxchx,xshxxchx,shx ,,,,,,222shx(shx，x)xlna(，1)xlnadxdudxulnaxx y,lnlnlnx．求函数。 y,lnlnlnxy,lnu：，，则 u,lnlnx dydydu11,,,,,(lnu)(lnlnx) ,(lnlnx),(lnlnx),,dxdxdxulnlnx 111111,,,, ,,(lnlnx),,,(lnx),,,,,y,ln(lnlnx)lnlnxlnlnxlnxxlnlnxlnx 3y,(arcsin10,x)．求函数，的导数。 y,tanx 112,,,： y,,{tanx},,secx,(x) 2tanx2tanx 2secx112 ,,,,secx2x4xtanx2tanx ,122,,3(arcsin10,x),,10,x,，， ,3(arcsin10,),(arcsin10,)yxx1,(10,x) 223(arcsin10,)1x3(arcsin10,x),,,(10,)x ,,x,9210,x)2x,910,x 12,,,y,f(x)，，，，fufu,0．设，，其中存在且，求。 yy,2f(x) ：含有抽象函数的复合函数的导数 22，，y,fx，，y,fuu,x：：由函数，复合而成，故 22,,,,, ，，，，y,[f(x)],fu,x,2xf，，x 22,,,{f(x)}2xf(x)1,： y,,,y,22222f(x)f(x)f(x) sinf，，2xxf，，xy,f[tan,(x)]y,ey,f，，e,e．求函数，，，其中f、均可导。 , y,f[tan,(x)]：对于以上的函数，特别应注意导数符号的正确表示。如，则 12,,,,y,{f[tan,(x)]},f[tan,(x)],sec,(x),,(x), 2x ,,{f[tan,(x)]}xf[tan,(x)]显然，表示复合函数对自变量求导；而实际上等于,uf(u)，即对中间变量求导。 sinf，，2x,,，，，，y,e,cosf2x,f2x,2 12,,,y,f[tan,(x)],sec,(x),,(x), 2x xxf，，xxf，，xx,，，，，fxxfx,,,,，，f，，eeef，，eefx,,,，,, ,{()},，(){}yfeefee xy,x．求函数的导数。 ,(x),(x)lnf(x)[f(x)],e：利用换底公式，，然后再求导数 xxlnxxlnxx,,,y(x)(e),e,(lnx，1),x,(lnx，1),,： (1，x)(1,x)．求函数的导数。 y,ln2x，2x，2 21,x,2x2(x，1)22,,,{ln(1)ln(22)}y,{ln},,x,x，x，： ,,222x，2x，21,xx，2x，2 1，xx．求函数的导数。 y,()1,x 1，x1，x1，xxlnxlnxln1x，，1x1,x1,x1,x,,,,,y(e),,[ln],e,[ln，x(ln(1，x),ln(1,x))]： ex,1x1,x 1，xxln，x1111，x1，x2xx1,x,e,，x，[ln()]()[ln)] ,,，2,x，x,x1111,x1,x1,x 2,,y,sinx．设函数，求y。 2,y,2xcosx：， ,222222,,,2cosx,4xsinx y,2，，，，xcosx,2cosx，，，x,2xsinx 2．求函数的二阶导数。 y,ln(x，1，x) ：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。 12x1,y,,(1，),： 222x，1，x21，x1，x 3,11x22,,,,, y,(y),(),,(1，x),2x,,322221，x(1，x) 2y,f(x)f求函数的二阶导数，其中二阶可导。 2dydy22222,,,,,,,2{f(x)，2xf(x)},2{xf(x)}， ：,2xf(x)2dxdx 设二阶可导，求函数的二阶导数。 fy,f(sinx)，sinf(x) dy,,： ,cosxf(sinx)，cosf(x),f(x)dx 2dy22,,,,,,,,sinxf(sinx)，cosxf(sinx),sinf(x),[f(x)]，f(x)cosf(x)； 2dx f(tanx)y,e．设，其中二阶可导。 f f(2x),,ye2f(2x),, f(2x)2f(2x)f(2x)2,,,,,,,y2{e2[f(2x)]e2f(2x)}4e{[f(2x)]f(2x)},,，,,， ．y,lnf(x)，其中f二阶可导。 2,,,,f(x),f(x),[f(x)]f(x),, ： ,y,y,2f(x)f(x) 2，，10y,xsin2xy25设，求。 ,,，，k2222v,x：注意到，，，x,2x，，，x,2，（），故取，，k,3u,sin2x，，x,0 利用公式， ,,，，10，，，，，，1098021222，，102，，，，，，，，，，,csin2xx，csin2xx，csin2xx，0 y,，，xsin2x101010 10298,,2xsin2x，2,2x,cos2x，45,2,2sin2x ax,e,x,0,f(x),b,x,0, ,/ln(1，x)，ccosxx,0，f(0)a,b,c,x,026 求常数，使在处可导，并求。 /f(0)f(x)本题是找存在的充分条件，这是困难的。我们可以利用“函数在 f(x)x,0x,0处可导必有在处连续”这个重要结论、函数连续的条件和函数可导的 //f(0)f(0)条件，来找出存在的必要条件，最后说明它也存在的充分条件。这样，本 题的难点也就解决了。 f(x)f(x)x,0x,0 若在处可导，则在处连续，从而 //f(0),f(0)f(0,0),f(0),f(0，0),，，且。 f(0,0),1,f(0),b,f(0，0),cb,c,1因为，所以。又因为 axfx,fe,()(0)1/f,,,a(0)limlim,,0,0,0,0xxxx， fxfxx(),(0)ln(1，)，cos,1/f(0),lim,lim,1，x,0，0x,0,0xx。 /f(0),1f(x)a,1a,b,c,1x,0所以。显然当时，在处可导，且。 32/,,y,sincos(tanx)y27 设，求。 本题是求复合函数的导数，在利用链式法则进行求导运算时，关键是要分 清所给函数的复合结构，恰当选择中间变量，将所给函数拆成基本初等函数的复合， 利用链式法则和基本初等函数的求导公式，按由表及里逐层的原则分解函数进行求 导。常见的错误是没有分清复合函数的结构，而没有完全对中间变量求导。当然，也 有如下的 ////32322,,,,,,y,,,sincos(tanx),cos(tanx),(tanx)， /3232,,sincos(tanx),,,,sincos(tanx)x错误，这是因为表示对的导数，所以 ////32322,,,,,,y,,,sincos(tanx)cos(tanx)(tanx)，而和是多余的。 //3232,,,,y,coscos(tanx),cos(tanx) ： ? 利用链式法则求： /32222,,,,,coscos(tanx),3cos(tanx),cos(tanx) 322222/,,,,,3coscos(tanx),cos(tanx),,sin(tanx),(tanx) 322222,,,,,,3coscos(tanx),cos(tanx),sin(tanx),2tanx,secx 322222,,,,,,6coscos(tanx),cos(tanx),sin(tanx),tanx,secx。 3232,,,,dy,coscos(tanx),dcos(tanx)? 利用一阶微分形式不变性： 32222,,,,,coscos(tanx),3cos(tanx),dcos(tanx) 322222,,,,,3coscos(tanx),cos(tanx),,sin(tanx),d(tanx) 322222,,,,,,3coscos(tanx),cos(tanx),sin(tanx),2tanx,secxdx。 /322222,,,,y,,6coscos(tanx),cos(tanx),sin(tanx),tanx,secx。 n28 求下列函数的阶导数 3xy,4422y,sinx，cosxy,cosx1,x,2x（1） （2） （3） 3xab,，23x,a(1，x)，b(1,2x)a,1,b,,11,2x1，x1,x,2x：（1）令，则，从而， n，，1121(n)(n)(n)(n)n,,,,,y()(),y(1)n!,,n，1n，1,，12xx1,，(12x)(x1)，，； 31n,(n)(n)n,1,(，cos4),4cos(4，)yxx442（2）； ,1，，(n,1)n,1yxn,,，,,2sin2(1)y,(1，cos2x)/,,y,,sin2x2，，2（3），，。 2(50)y,xsin2xy，求。 29 设 1225(50)502y,2(,xsin2x，50xcos2x，sin2x)2 。 2,x,ln(1，t)2dy,2y,t,arccotty,y(x),dx30 设函数由确定，求。 1,1222，dytdy111t，1t,,,,,,22t2tdx224tdx 22，，1t1t 。 ''yf,,31 设，其中均为二阶可导函数，求。 ''''y,{f[,(x)]},f[,(x)],,(x) ， ''''''''2'''y,{f[,(x)],,(x)},f[,(x)],[,(x)]，f[,(x)],,(x)。 2//g(x),f(x)sinxg(0)f(x)32 设为有有界导数，，求。 /f(x)g(x) 首先是可导函数，可以用求导法则求导。其次不一定是可导函 /g(x)数，所以就不能再用求导法则对求导，而应用导数的定义来求。也就是说常常 要将定义法、求导公式和求导法则结合起来求函数的高阶导数。 //2/g(x),f(x)sinx，f(x)sin2xg(0),0 由于，所以，从而 ///2g(x),g(0)f(x)sinx，f(x)sin2x//g(0),lim,lim,2f(0)x,x,00xx。 /f(0),1f(x)f(x，y),f(x)f(y)x,y33 设对任意实数满足且，证明 (n)f(x)f(x)n,1,2,3,？=，。 f(x)： 因为题意并未说明处处可导，所以不能直接利用数学归纳法来证明 f(x)本题。而应该首先证明处处可导，然后再利用数学归纳法来证明本题。 /x,Rf(x),0f(0),1f(x)00 由于，所以不恒等于常数，特别存在，存在。f(x),f(0，x),f(0)f(x)f(0),1000于是，从而，所以 fxhfxfh(，),()(),1/fxfx(),lim()lim/f(x)f(0),f(x)h,0h,0hh==。 (n)f(x)f(x)n,1,2,3,？由数学归纳法得，=，。 2323(n)y,(sinx)，(cosx)y34 、 设，求。 ： 直接求导，不仅运算量大，而且不容易发现高阶导函数的规律。所以，求 函数的导数时，应先尽量化简，再利用求导公式、运算法则进行求导。 353n,2(n)n,2y,1,sin2x,，cos4x,6,4cos(4，)yx4882因为，所以。 第二节、隐函数、参数方程的导数及微分 一、重要知识点 1、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数。 2、 理解微分的概念，理解导数和微分的关系和微分的几何意义。 3、 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 二、主要内容 1．隐函数求导 ，，Fx,y,0二元函数方程如果满足一定的条件，其中便隐含了一个函数关系： ，，，，，，y,yxFx,y,0y,yx。如果能由方程解出，则函数关系已经明显化，其求导问 ，，，，y,yxy,yx题已解决；如果只知的存在性，但无法解出的解析表达式时，如何求导数？以下通过例子介绍隐含数求导的方法。 xx关键：方程两端对自变量求导，而视为的函数y,y(x)。 y 2．对数求导法 对数求导法主要用于幂指函数、积商型函数求导。 ,，，x,,，，y,fx幂指函数的导数： x，，，，lny,,xlnfx两边取对数：~~~隐函数方程，两端关于求导 ,fx1，，,,，，，，，，,y,,xlnfx，,x, ，，yfx ,,，，fxfx，，，，,，，x,,,，，，，，，y,y[,xlnfx，,x,]所以，。 ，，，，，，，，,,,ln,,fxxfx，x,,,，，，，fxfx，，注：要求掌握方法，上述公式不一定记。 3．参数方程的导数 ，，,x,t,如果平面曲线方程：，其上某一点处的切线的斜率可直接由参数方程得出。 ,，，,y,t, ，，,x,t,，，，，，，,t,tx,,t定理、设参数方程，,,t,,；，均可导，且严格单调，,，，,y,t, dy，，,dydy,tdt,，，,t,0，则有：，or 。 ,,dx，，,,tdxdxdt ,，，，，，，，，，，因x,,t单调，则反函数t,tx存在；又因为x,,t可导及,t,0，故t,tx 1dt，，，，,,y,,t,,tx也可导，且有；对于复合函数，有 ,,，，dx,t dy,dydydt，，,tdt ,,,,dx，，,dxdtdx,tdt 参数方程的高阶导数 ，，,x,t，，,,,dyt,已知参数方程为，、二阶可导，，则已有，,(t),(t),0,(t),,，，，，,dx,t,y,t, 2dy求。 2dx 2,,,,,,,,d,(t)dt,(t,)(t),,(t,)(t)1,()dyddydt()(),(),,,（1） ,,22,(),,,dxdxdxdx,tdt,(t)dx[,(t)],(t) 2,,,,,,,(t,)(t),,(t,)(t)dy, 23,dx[,(t)] 232,,(t)1dy1dydy,,,,(),, 或 ，，...... ,()t232,,,dx,(t)dx,(t),(t)dx ，，,xt,,（2）构造参数方程：，根据已有的参数方程的导数公式： ,,,dy(t)Y,,,dx(t),, ,,()t,()dY,,,,，，，，，，，，,,,,,,,tttt,dY,()tdt,, ,3dxdx，，dx,,,,tdtdt 22,,,,，，，，，，，，,,,,,,,dYddydyttttdy,,又，，即 ； ,,,,,322dxdxdxdx，，dx,,,,t,, ~33，，,xt,,dydydY,求三阶导数，再构造参数方程，则 ...... ~2,dy33Y,dxdtdx2dx, 4、函数的微分 U(x)x，,x,U(x)，，y,fx定义：设函数在点的某邻域内有定义，，函数有相应x0000 ，，，，,y,fx，,x,fx。如果函数的增量可以写作：的增量为,y00 ，，，，,y,A,,x，o,xo,x，且只与有关，与无关，是比高阶的无穷,x,xAx0 ，，，，y,fxy,fx小，则称函数在点可微，并称为函数在点的微分，A,xxx00记作： ，，dfx,A,xdy,A,x 或 ，，，，y,fxy,fx定理、函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导。 xx00 ,，，A,fx注：?定理表明，可微与可导是等价的概念，而且有即 0 ,,，，，，，，dy,fx,xdfx,fx,x，或 00 ,x，，dy,fxdx?对于自变量，有。因此微分也常常写作：；如果，则dx,,xdx,0dy,有，，，因此导数通常也称为微商； ,fxdx ,，，，，，，，，y,fx,y,fx,x，o,x,dy，o,x?如果函数在点可微，则，或写 为x0 ,，，fx,0，，,dy,o,x。事实上，当时，因为 ,y0 ，，,,，，ydyfxxfx,,,00,1,,1,,0 ,yyy,,,x ,，，，，,dy,o,ydy,fx,x即dy,y，故也是,y的主要部分，又是的线性函数，,x 通常称微分dy是函数增量,y的线性主部； ,，，,y,fx,x，，,y,dy,o,x?由，当很小时，有,y,dy；即，或 ,x0 ,,，，，，，，，，，，，，，，fx，,x,fx，fx,xfx,fx，fxx,x ，或 000000 ，，，，x,fxx其几何意义：在点的附近，可近似的用点的切线段代替曲线段研究问000 x题。利用上式可近似计算函数增量，或近似计算在的附近的点的函数值,y0，，fx，,x，，fx或。 0 ,，，dy,fx,x，，y,fx?微分的几何意义：是曲线在 0y，，，，x,fx点的切线段上纵坐标的增量。 00 x 微分基本公式和运算法则 （1）．微分基本公式： ,，，由微分的定义dy,fx,x及导数的基本公式，不难得出微分的基本公式，如 11,,,1d，，x,,xdx „„ ，，，，dxdxdxdxarctan,log,a21，xxaln （2）．微分的四则运算法则 利用导数的四则运算法则及微分的定义，不难得出 uvdu,udv,,，，，，du,v,du,dvduv,udv，vdu d,,,2vv,, （3）．复合函数的微分的形式不变性 ,,，，，，，，，，，，，，y,fuu,,xy,f,xfu,x设，构成复合函数，、存在 ,,,,，，，，，，,fu,xdx,fudu ，，，，，，，，dy,d,,f,x,,,f,xdx ,,u，，，，，，，，，，Fx,f,xdy,Fxdxdy,fudu若记，则有，或；即不论对于中间变量还是 x自变量，微分的形式总是一样的，称此性质为微分的形式不变性。 5、微分的近似计算 近似计算函数的增量： ,,，，，，，，，，，，，，，，,y,fx，,x,fx,fx,x,y,fx,fx,fxx,x，或 000000近似计算一点的函数值： ,,，，，，，，，，，，，，，，fx，,x,fx，fx,xfx,fx，fxx,x，或 000000 三、典型例题 32,,y，3xy，x,11．设，求，y(0)。 y 32，，，，xyx，3xyx，x,1，，y,yx：注意到，带入方程，则：。两端对求导，得 22,,,,，，，，，，，，3yx,yx，3xyx，2xyx，1,0 1，6xyx1，6xy，，,,,，，yx,,y,,解出y：。一般可以写作。 2222，，3x，3yx3x，3y 1, 当时，y,1，从而。 y(0),,x,03 22222333P(a,a)2．求曲线上点处的切线方程。 x，y,a044 112222,,y333,,,P(a,a)：，；在点切线斜率为： x，yy,0k,y,,1y,,0P044x33 222y,a,,1,(x,a)y,,x，a故切线方程为：，or 。 244 2dy2y,2xy，9,03．设，求。 2dx x注意到是的函数 y dyyy(x),y,,：易求 ， ,dxy,xy(x),x 2,,y(y,x),y(y,1)dyy,,xy，1,,(), ,222dxy,x(y,x)(y,x) 1xy1xy,,,,, 2223(y,x)(y,x)y,x(y,x)(y,x) ,,．设y,tan(x，y)y，求。 ：求二阶导数之前，一阶导函数一定要经过适当的化简、整理。 222,,,y,sec(x，y),(1，y)(1,sec(x，y))y,sec(x，y)： 222,,,tan(x，y)y,sec(x，y)y,,csc(x，y) 22,,,,2csc(x，y),cot(x，y),(1,csc(x，y))y,2csc(x，y),csc(x，y)cot(x，y)(1，y) 23,,2csc(x，y),cot(x，y) 2xx,5设，求。 yy,()1，x 2xx,,，，lny,xln,x2lnx,ln1，x：取对数，，两边关于求导： 1，x 2121xln[], y,，x,11y，xx，x 2222xxxxx21xx,y,(){ln，x[,]},(){ln，2,}即：。 ，x，xx，x，x，x，x111111 32,6．设，求。 y,sinx,x,1,xy 112：取对数：，求导得 lny,[lnsinx，3lnx，ln，，1,x]22 x,x11cos31213x,y,[，，()] [cot],x，,22yxx,x2sin212x1,x 13x13x32,y,y, [cot],sinx,x,1,x[cot]x，,,x，,222x1,x2x1,x 2,，，x,ln1，tdy7．设，求。 ,dxy,t,arctant, dy22dy1tdx2tdyttdt,1,,：，，所以， ,,,,222dxdtdxt1，t1，t22dt1，tdt ，，x21cos,,,,dy,dy8．设，求及，并写出曲线在处的切线方程。 ,,,4dxy4sin,dx,,,,,4 dxdydy4cos,因为,4cos,，,2sin,，故 ,,2cot,， d,dx2sin,d, dy, ,2cot,2 ,dx4,,4 ,dy(2,2,22),对应切点，切线的斜率为,,2，故切线方程为：,k4dx,,,4 y,22,2(x,2，2)y,2x,4，42或。 2,x,f(t),dyf(t)9．设，其中二阶可导，求。 ,2,dxy,tf(t),f(t), dy,,,,dyf(t)，tf(t),f(t)dt ,,,tdx,,dxf(t)dt 2dY,()x,ft,dydY1dt ： ,,,,dy2dxY,,t,,dxdxf(t)dx,dt 2，，x21cos,,,,dy10．，求。 ,2dxy4sin,,, 2，，x21cos,,,,dydYdy2：易求，为求，构造参数方程，则：，,2cot,,,2csc,,2dxd,dxY2cot,,, 22dY,2csc,dxdy3,d,,,,csc,，故：。 ,2sin,2dxdxd,2sin,d, 224(x,2)，y,16 此参数方程可以改写为~~ 隐函数方程，则 x,2,,xy,,4 ，，两边再关于求导，得 8(x,2)，2yy,0y ,x222y，4,(x,2),y，4(x,2)y,y(x,2)64y,,4,,y,,4,, ,,43232yyyy 2y,tanx11．设，求微分dy。 ,222： ，或者利用微分的形式不变性，则 dy,，，tanxdx,2xsecxdx 22222dy,secxdx,2xsecxdx ,2xy,ecos2x12．设，求微分dy。 ,2x,2x,2x,,，，dy,decos2x,edcos2x，cos2xd，，e： ,2x,2x,2x,,,e,,,2sin2xdx，cos2x,2edx,,2e,,sin2x，cos2xdx 22x，xy，y,113．设，求微分dy。 2x，ydy,,dx：方程两边微分：2xdx，ydx，xdy，2ydy,0，解得：，或先求出x，2y 2x，y,,导数，再求微分：2x，y，xy，2yy,0，解出,，所以，y,,x，2y2x，y,,,dxdy,ydx。 x，2y 2,x,2tdy14．设，求微分。 ,3y6t,, 2dydt18t9dy,,,dx,dx,tdx; ：? dtdx4t2 ,3，，dy6tdt9? dy,,dx,dx,tdx,dx22，，2tdt dlogcos2x,,a15．求。 xd[a] 1,，，,2sin2xdx2,,dlogcos2xcos2xlnaa,,,tan2x： 2xxx，，d[a]alnadxalna 3996．近似计算的值。 33，，fx,xf(996),996x,1000x，,x,996：设，则应近似计算。取，，，,x,,400 11,,,，，，，fx,f1000,10，，，，，，fx,f, 1000，，fx,00323003x ,,，，，，，，fx，,x,fx，fx,x，，，，，，f996,f100，f100(,4)利用，有 000 4133996,1000，，，,4 ,10,,9.99 300300 17．一个半径为1厘米的球，为了提高表面的光洁度，需要镀上一层铜。镀层厚度 38.9g/cm为0.01厘米。估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为） 43：球的体积,,，镀铜后，球的半径由cm为cm，故所镀铜的体积为：Vr1.0113 4323,,V,V,r,4,r,r,,，，，利用近似计算公式，取，，,,V,r，,r,r,r,0.01r,13 223,V,4,r,V,4,r,r,0.13(cm)，则；因此每只球需要用铜约为克。 0.13，8.9,1.16 dy22yf(x)，xf(y),xy,y(x)f(u)dx18（1）设由确定，其中是可导函数，求。 yarctan22//xe,x，yyy,y(x)（2）设由确定，求。 yxxx 方程两边都是的复合函数，在方程两边对求导时，总是的函数。22/yy2yyyxx例如是的复合函数，中间变量是，所以对的导数是。 /2///2yy,f(x)，yf(x)，f(y)，xf(y),y,2xx（1）方程两边对求导，，解得， 2/dy2x,yf(x),f(y),/dx2yf(x)，xf(y)。 y122arctan,ln(x，y)xx2，再在方程两边对求（2） 在方程两边取自然对数，得 //1yx,y2x，2yy,,222x，yy/2x2(x，y)y,1，()//x，yy,xy,yx,yx导，得，整理得，解得。又 x，y/y,///2////1，(y)，yy,xyx，yy,xy,yx,yx在方程两边对求导，得，再将代入，222(x，y)//y,3(x,y)得。 12arctan/xy,ey19 设，求。 利用一阶微分形式不变性， 1122arctanarctan1112xxarctaned,,2arctanarctandyedxxx = 12212arctan11arctan11xxx2arctan,,2arctan,edxe,,d221xxx，x1，x==。 12arctan11/xy,,e,2arctan,2x1，x。 自测练习题二 一、单选题 f(x),x,1x,11.函数在处 （ ） ，，B(A)不连续 连续但不可导 ，，D(C)可导，但导函数不连续 导函数不连续 dy,yx,0y,cosx,xey,y(x)dx2.设函数由所确定， （ ） ，，，，BD(A)(C)e,e2e,2e 2f(x),xf(x)(,1,1)f(x)x,03.设在内有定义，且，则必是的（ ） ，，B(A) 间断点 连续而不可导点 //f(0),0，，f(0),0D(C) 可导点，且 可导点，且 32,,,1xx,(),fx,32,,,1xx,x,14、函数在处 （ ） ，，B(A) 左导数存在，右导数存在 左导数存在，右导数不存在 ，，D(C) 左导数不存在，右导数不存在 左导数不存在，右导数存在 y,lnxx5、曲线上点（1，0）处的切线与轴的交角为 （ ） ，，，，BD(A)(C) π/2 π/3 π/4 π/6 ffx(1),(1,)lim,,1f(x)(,,,，,)x,0y,f(x)x26、设周期为4的函数在内可导，，则曲线 (5,f(5))在点处的切线的斜率为 （ ） 1 ，，，，BD(A)(C)02,1,2 f(x)xxf(x)007、若在点处可导，则在点处 （ ） ，，B(A)必可导 连续但不一定可导 ，，D(C)一定不可导 不连续 ax,e,x,0f(x),,sin3x，b,x,0a,b,x,08、若 在处可导，则常数的值应为（ ） ，，B(A)a,1b,1a,3b,1 ， ， ，，D(C)a,,1b,1a,2b,,1 ， ， /f(0),bf(x)f(x，1),af(x)a,b9、设 满足，且，其中为非零常数， /f(1)则= （ ） ，，，，BD(A)(C)abab0 f(x),,x,0,,10．设其中f(x)在处可导， x,0F(x),x, ,f(0),x,0., ,x,0 是 F(x) 的 f(0),0，f(0),0，则（） （A）连续点； （B）第一类间断点； （C）第二类间断点；（D）连续点或间断点不能由此确定。 1,cosx,, x,0,,11．其中g(x)是有界函数，则f(x)在处（） f(x),x,0x,2,xg(x), x,0,, （A）极限不存在；（B）极限存在但不连续；（C）连续但不可导；（D）可导。 2f(x),xx,x12．设，则f(x)（ ） （A）处处不可导； （B）处处可导； （C）有且仅有一个不可导点； （D）有且仅有两个不可导点。 213．设函数f(u)可导，当自变量x在处取得增量时，相应的x,,1,x,,0.1y,f(x) ,函数增量的线性主部为，则f(1),（ ） ,y0.1 （A）； （B）； （C）； （D）。 0.10.5,11 32(n)14．设，则使存在的最高阶导数的阶数n为（） f(x),3x，xxf(0) （A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 sinxf(x),ex,015函数在处（ ）。 (A)(B)(C)(D)不连续，不可导 不连续，可导 连续，不可导 连续，可导 f(x)f(x)aa16、设在点的某个邻域内有定义，则在点处可导的一个充要条件是（ ）存在。 11，，，，limhf(a，),f(a)limhf(a，),f(a),,,,h,，,h,,,，，B(A)hh，，，， f(ah)f(ah)fafah，,,(),(,)limlim，，D(C)h,0h,02hh dlimf(cosx),/f(1),,2f(x)x,0，0x,1dx17、若的导函数在处连续，且，则（ ）。 (A)(B)(C)(D) 0 1 2 3 1y,arccosdy,x1、设函数，则 ///432f(x),f(x),x，3x，2x,10x，12、设，则 xtt,2，3，arctan, ,2ytt,2,3，ln(1，),3、曲线上点（3，2）处的切线方程为 /f(a),,(x)f(x),(x,a),(x)x,a4、设在处连续，，则 2n,1S,1，2x，3x，？，nx,nx,15、当时，和 2x,ex,,0fx(),,/xxxln(1，2)，cos,,0f(0),,6、设，则 y,x(1,1)7、曲线上点处的切线方程为 v,v(t)vtt8、设质点作直线运动，其速度和时间的关系为，则在时刻的瞬时加速度为 N,N(t)Ntt9、设化学反应中物质的浓度和时间的关系为，则在时刻该物质的瞬时反应速度为 3y,x，x，2y,kxk,10、设曲线上某点处的切线方程为，则常数 x,lim,f(x),,1，则 。 11．已知,x,0f(x2x)f(xx),,,,, 3x,2dy2,,12．已知，，则 。 y,f()f(x),arctanxdx3x，2x,0 x，tx,13．设，则 。 f(t),f(t),limt()x,,x,t 2x,tcost,dy,14．设，则 。 ,,2,y,tsintdx, dy22f 可导15．设，其中， . 则 ,y,f(cosx)，tanxdx y2,,16．已知函数由方程确定，则 。 y,y(x)y(0),e，6xy，x,1,0 2x(n)17. 设，则 。 f(x),f(x),2x,1 2(n)18．设，则 。 f(x),xln(1，x)f(0), fx()lim/f(0),0,f(0)x,0x19设存在，则 。 , /f(0),f(x)20、设为可导偶函数，则 。 /f(2),f(x),x(x,1)(x,2)(x,3)(x,4)21、设，则 。 ()()xfx,xfx00lim/x,x0f(x)x,x0022、设存在，则= 。 sinx1d(),dxx23 。 三、计算题 1、求下列函数的导数 xxxy,arctany,()21，1,x1，x（1） （2） 3x,ex,1,,0;fx(),,bxax(1，sin)，，2,,0.a,b,,2、试确定常数使函数处处可导。 32f(x),x，axg(x),bx，c(,1,0)(,1,0)3、设曲线与都通过点，且在点有公共切线，a,b,c求常数。 t,sinx,et2dy,t2cosy,ety,y(x),dx4、设函数由参数方程确定，求。 d,limf(cosx)有一阶连续导数，，求。 5．设f(x)f(1),2，dx,x0 n(,, 0)6．设曲线在点（1，1）处的切线交x轴于点，求limf(,)。 y,f(x),xnnn,，, nnln(e，x)f(x),lim(x,0)7．设函数 ,,nn （1）求f(x)的表达式；（2）讨论f(x)的连续性和可导性。 f(,x)e8．求的导数。 y,x 12xy,arccot9．求的导数.。 221,x aaxaxa10．求y,x，a，a的导数。 ,,x,11．已知y,ln1,exsinx，求. y()2 x，ysinx12．求的导数 y,e，x t,x,a(lntan，cost)dy,13．已知(a,0, 0,t,,)，求。 2,dx,y,asint , 2dy214．设，其中f具有二阶导数，。 y,sin[f(x)]求 2dx 2,xnn(n)fx,xx,15．设，求。 f(1)()(1)cos4 2(n)16．已知，求。 y,sin3x,cos5xy k1,xsin,x,0,,,17．已知（k为正常数），讨论为何值时存在二阶导数f(0)。 kf(x),x, ,0 , x,0, 四、证明题 f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导f(0)，f(1)，f(2),3f(3),11．设函数，且，， ,,,(0,3), 使 f(,),0试证必存在。 ,,2．设在上，且在内取得极大值， [0, 1](0, 1)f(x)f(x),M ,, 试证： f(0)，f(1),M. 3设在[x, b)(或(a, x])上连续，在(x, b)（或(a, x)）内可导，且f(x),,,, ,,,,f(x),Af(x),B(或)，则(或)。 limf(x),Alimf(x),B，,,,，,x,xx,x,, 4．设f(x)，g(x)在[a, b]连续，在(a, b)内可导，f(a),f(b),0，证明： , （1），，,,(a, b)，使f(,)，,f(,),0， ,,,R ,, （2），,,(a, b)，使f(,)，f(,)g(,),0。 5．按定义证明：（1）若偶函数可导，则它的导函数是奇函数； （2）若奇函数可导，则它的导函数是偶函数； （3）若周期函数可导，则其导函数仍是周期函数，且周期不变。 nn,12实数根x6、证明方程，并求limx。 x，x，？，x，x,1,0 在(0, 1)内必有唯一nnn,, 五、应用题 1．落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是，6m/s问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？ 2．溶液从深15cm，顶直径12cm的正圆锥形漏斗漏入一直径为10cm的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其液面下降的 cm速率为。问这时圆柱形容器中液面上升的速率是多少？ 1min 3. 一飞机在离地面的高度，以的速度飞行到某目标上空，以便进行航2km200km/h 空摄影，试求飞机飞到该目标正上方时，摄影机转动的角速度。 练习题二解答 ，，B(C)(C) 1、 ； 2、 ； 3、 ；，，，，，，，，BDBB(C)(C)4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ； 9 。；、（）10B; 11、（D）;12 、（C）;13、(D) ；14、(C); 15、（C）；16、（D）；17、（B）; 1dydx,2xx1,x，y,5,024x，18 1、 ； 2、 ； 3、 ； nn，11,(n，1)x，nx 2//f(0),2f(0),2(1,x),(a),，4、 ； 5、6、， ； 7、； dvdN1y,(x，1)a(t),v(t),k,4dtdt2 ； 8、 ； 9、 ； 10、; 23,2，t2t；13、；14、；15、 (1，2t)e 、；、1111234(cost,tsint) 111222n(1)![]；16、-2；17、； ,sin2xf(cosx)，2xsecx,n,n，1n，12(1)(1)x,x，n,1///(,1)n!,f(x),xf(x)f(0),0f(0)18、000；19、原式；、；、；、； 20 21422n,2 (sinx,xcosx)、23 dy11xx，，/x,()lny,，2,,dx111，x，x，x21,x，， 1、（1） ； （2） ； 11,a,,5,b,3a,c,b,22,12、 3、，， ；； 2dy2dycost,sint,,,2t3dxe(sint，cost)dxsint，cost4、， d1,limf(cosx),lim[f(cosx)(,sinx),]5： ，，dxx2x,0x,0 1sinx11,, ,,limf(cosx)lim,,,f(1),1,,,2,,1，，222x,,x0x0 n,1,,,、k,f(1),ny,1,n(x,1)解：， ，切线方程为。 y,f(x),nx (,, 0) ?切线过点， n 11n0,1,n(,,1) ?，解之得， 从而， ,,1,f(,),(1,)nnnnn 11n ?。 limf(,),lim(1,),nn,，,n,，,ne 1nn1,0,x,e,,ln(e，x)nnn7、： f(x),lim,limln(e，x),,nn,,,,nlnx,x,e., f(x)在点x,e连续?f(e,0),f(e，0),f(e),1，?。 f(x)在(0,e)和(e,，,)内连续又由初等函数的连续性知， ?。 f(x),C(0,，,) fxfe(),()1,1,f(e),lim,lim,0?， ,,,xexe,,x,ex,e fx,fex,x,e()()ln1lnln,fe,,,()limlimlim ，，，，x,ex,ex,ex,ex,ex,e tt，ln(1)eteln(，),ln1ee,f(e)不存在令t,x,elim,lim,lim,，?。 ，，，tttet,0t,0t,0 0,0,x,e,,,? ,f(x),1,,x,e.,x, f(,x)8：， lny,e,lnx 11f(,x)f(,x),,,y,e,f,x,,,x，e, ()(1)ln， yx f(,x)1ef(,x),,y,x,e[,f(,x),lnx]。 x 222dy112x1(1,x)2,(1,x),2x,(,2x),,,[,](),,,,9、： 222222xdx2221,x(1，x)(1,x)1，()21,x 2221(1,x)2,(1，x)1,,,,,, 222222(1，x)(1,x)1，x aaxaa,1xaax,,,y,ax，alna(x)，alna(a)10、： aaxaa,1xa,1ax ,ax，alna,ax，alna,alna 111,x11、： y,ln(1,e)，lnx，lnsinx422 ,xe1cosx111,11,,，。 y,，，,，，cotxy,，(),xx,2x2sinx2x2,24(1,e)4(e,1)2e,4(1) x，ysinx,lnx 、 ： y,e，e 1dydyx，ysinx,lnx， ,(1，)，(cosln，sin,)eexxxdxdxx 1dyx，yx，ysinx,lnx ， (1,),，(cosln，sin,)eeexxx dxx sinxx，yxsine，x(cosxlnx，)dyx ,。 x，ydx1,e 21acostdx,a(,sint)dt,dt、：，， dy,acostdtsintsint dyacostdt,,tant。 2dxacostdtsint dy22,14、： ,2xf(x)cos[f(x)]dx 2dy222222222,,,, ,2f(x)cos[f(x)]，4xf(x)cos[f(x)],4x[f(x)]sin[f(x)]2dx 2,,12nn()f(1),1,cos,n!,,n!15： 42 1,cos6x11111：y,cos5x,cos5x,cos6xcos5x,cos5x,cos11x,cosx， 222244 n,n,n,111(n)nny,,5cos(5x，),,11cos(11x，),cos(x，)。 224242 1ksinx()(0)1,fxfk,1x,、： ， (0),lim,lim,limsinfxx,0x,0x,0,0xxx,,要使f(0)存在，必须。且当时，f(0),0。 k,1k,1 11k,1k,2,当时，,,， f(x)kxsinxcosx,0xx k,1k,211,,,kxsinxcos, x0,?（）， k,1,,f(x)xx, ,, 0 , x0, 11k,1k,2sin,coskxx,,()(0),11fxfk,2k,3xx,,?,limsin,cos,(0)limlimkxx ,,fx,0x,0x,0xx,0xx ,,?要使f(0)存在，必须。 k,3 f(x)在[0,3]上连续 1、：?， ?f(x)在[0,2]上连续，且在[0, 2]上必有最大值 M 和最小值 m，于是 m,f(0),M，m,f(1),M，m,f(2),M，故 f(0)，f(1)，f(2)， m,,M3 f(0)，f(1)，f(2)由介值定理知，至少存在一点C,[0, 2]，使， f(C),,13f(x)在[C,3]上连续(C,3)内可导?，在，且f(C),1,f(3)， ,,,(C,3),(0,3), 使 f(,),0?由定理知，必存在。Rolle ：?f(x)在(0, 1)内取得极大值， ,， x,(0, 1), f(x),0. (Fermat引理) ?必， ,, ,在[0, x]和[x, 1]上对f(x)应用Lagrange定理, ,, ,,f(x),f(0),,,有,f(,), 0,,,x, 11,x,0, ,,f(1),f(x),,,,,f(,), x,,,1, f(x),0 把代入上面两式，得 2,2,1,x, ,,, f(0), ,xf(,), (1) ,1 ,,, f(1), (1,x)f(,), (2) ,2 ,, (1)+(2)，并取绝对值，借助题设条件，得 f(x),M,,,,,,,,,xM，(1,x)M,M. f(0)，f(1),f(0)，f(1),,xf(,)，(1,x)f(,),,,1,2,x,(x, b)[x, x]：f(x)Lagrange，则在上满足中值定理， ,, f(x),f(x),,，,,(x, x) 故，使， ,f(,),x,x, f(x),f(x),,,,f(x),Alim,limf(,),limf(,),A 从而，即。 ，,，，，x,x,x,xx,x,,x,,, ,f(x),B 同理可证。 ,, ,、 ：（1）即证。 [f(x)，,f(x)],0x,, ,x,x,x,,，故取。 [ef(x)],e[f(x)，,f(x)]F(x),ef(x) ,x：设，则，，且， F(x),C[a, b]F(x),D(a, b)F(a),F(b),0F(x),ef(x) , 则由定理可知，，使， ，,,(a, b)F(,),0Rolle ,,,,,,e,0即， 由于，从而。 f(,)，,f(,),0e[f(,)，,f(,)],0 ,x,e（2）：所证结论中的的位置相当于（1）中的，而（1）中的是由求g(,),, g(x)导而得到的，故可设辅助函数。 G(x),ef(x) g(x)：设，则，，且， G(x),C[a, b]G(x),D(a, b)G(a),G(b),0G(x),ef(x) , 则由定理可知，，,,(a, b)，使G(,),0， Rolle g(,)g(,),,,,e,0即， ，从而。 f(,)，g(,)f(,),0e[f(,)，g(,)f(,)],0 5（1）若f(x)是偶函数，f(,x),f(x)，则 ()()f(x,,x),f(x)f,x，,x,f,x,, ()lim,,lim,,f(x),f,x,,x,0,x,0,,x,x ,故f(x)为奇函数。 （2）若f(x)是奇函数， f(,x),,f(x)，则 ()()()()f,x，,x,f,x,fx,,x，fx, ()limlim f,x,,,x,0,x,0,x,x f(x,,x),f(x),, f(x),lim,f(x), 故为偶函数。 ,x,0,,x （3）若f(x)是周期函数，且周期为，f(x，T),f(x)，则 T ()()f(x，,x)，f(x)fx，T，,x,fx，T,,()lim,lim,f(x), fx，T,,x,0,x,0,x,x ,f(x)故是周期函数，且周期不变。 nn,12f(x),C[0,1]：设，则。 f(x),x，x，？，x，x,1 f(0),,1,0?，， f(1),n,1,0 ，x,(0,1),f(x),0?由零点定理知，，， nn f(x),0 在(0, 1)内至少有一实数根故方程。 n,1n,2,?， f(x),nx，(n,1)x，？，2x，1,0 (x,0) (0,1) 内 f(x)严格单调增加f(x),0 在(0, 1)内至多有一实数根?在，?方程， 故方程f(x),0 在(0, 1)内有唯一的实数根。 nlim(x),00,x,1?，?，设limx,a。 nnnn,,n,, nn,12由， x，x，？，x，x,1,0 nnnn n1,()xn,1n,2n得，,,1 ， xx(x，x，？，x，1),1 nnnnn1,xn a11 对上式两边取极限得：，即。 x,1,a,lim,nn,,1,a22 dSdR2S,,R1、解：设圆的半径为R，圆的面积为S，则，， ,2,R,dtdt dRdS2 当时，，，故. ,6,2,，12，6,144,(m/s)t,2R,6，2,122t,dtdt h(t)2、解：设在时刻t漏斗中溶液的深度为，液面半径为r，圆柱形容器中溶液的深1 hhr2r 11r,h(t)度 为。由,，得， 26155h 1 11222依题意 ,,6,15,,,r,h,,,5,h， 1233 114322 即6,15,,,h,5,h， 123325h 2 dhdh4212,h,,25, 从而， 1dtdt25 dhdh4576dh2122cmh,12,,1,12,25,,,0.92() 又当时，，?，得。 1mindtdtdt25625 cm0.92 答：圆柱形容器中液面上升的速率为。 min 3、解：设飞机与目标的水平距离为. x km xx，， cot,,,,arccot y22 d,11dx ， ,,,, ,xdt2dt21，()2 2 dx 把，代入上式，得: ,,200km/hx,0dto x x d,11 。 ,,1,,(,200),100(rad/h),(rad/s)x dt236