理论力学论文
班级: 0008102
学号:050810731
姓名: 谭进波
指导老师: 陈建平
足球运动中的“香蕉球”形成的力学机理的研究
摘要:正值世界杯期间，足球已成为人们最为关注的一项运动。而足球场上十分神奇的香蕉球则是制胜的法宝。本文将从刚体运动学、动力学及流体力学的角度剖析香蕉球产生的力学机理。
关键词:香蕉球，力学机理，伯努利原理
正文:一(足球的受力及运动分析
1. 香蕉球形成前的初始受力分析
为了便于分析，对于在空气中运动的足球做以下几点假设:
1.空气阻力对足球的竖直分量较小，忽略不计;且足球旋转时所受空气的阻力矩忽略不计。
2.不考虑环境包括风力，气流等因素的影响。
3.足球在运行时简化为刚体，不考虑其变形所产生的影响。
4.假设踢球的部位是在中间部位(最大圆周上)
如图1所示，当踢球作用力F通过球体重心(力方向偏向上方与水平面有一夹角)时，足球不会发生旋转。当足球离地后可以按照质点的运动分析足球的运动轨迹，即为竖直平面内的抛物线运动，在此不再赘述。
如图2所示，踢球的力不通过重心，将足球所受的空间三维
r r V 力分解为竖直平面的力和水平面上的力。竖直平面的力给足球一 个向上的速度，在空中飞行时其竖直平面内的运动规律与物体有 一个初速度的上抛运动规律相同，在这里不再研究，现在研究其
图1 F 水平面内的受力情况。
如图2所示，可把水平面内的作用力分解为法线分力F和切线分力F。作用12力与水平方向的夹角为α，其产生力矩作用使球体沿着以F为切线的方向旋转，2
其力矩值M,Fr,Frcosα。分力F决定踢出球的方向和飞行长度，且F,2211Fsinα。所以，分力F作用的效果是给球一个沿F方向的冲量，即给球一个11
F方向的初速度(设前进速度为v)。分力F作用的结果是使球以ω为角速1 12
度绕过重心的轴旋转。所以根据Ft=mv、Ftr,Jω 可得 112
W r 球的前进速度为:v,Ft/m， 11
球的转动角速度为:ω,Ftr/J。 2
α F F 2
图2 因为球的质量m和转动惯量J均为常量，所以作用 F 1
F
于球体的力F和力的作用时间t值越大，则球体的前进速度v和转动角速度ω1
就越大;反之，球体的前进速度v和转动角速度ω就越小。如果力的分力F12愈大，则转动角速度ω就越大;反之，则转动角速度ω减慢。所以当作用力F越大，作用时间越长，分力F大小适中，则踢出的球前进速度越大，飞行距离2
越远，同时球的飞行曲线的曲率也越大(下文将解释)。
2.香蕉球在飞行中产生弧度的力学原因解析
根据高中物理和航空宇航概论中关于流体力学的有关知识可知，在空中飞行的足球表面会附着一层空气。当足球在空中一边飞行一边自转时，会带动其表面的空气薄层同时旋转，其一侧空气薄层转动的线速度和球的前进速度叠加，使得迎面气流受到较大的阻力;而另一侧情况恰恰相反，自转线速度和前进速度相削
弱，从而使球的两侧气流相对球的
速度不同。根据伯努利原理可知，
相对于足球的平动而言，空气流速
度大的一侧会形成一个低压区域，而另一侧则形成高压区域。足球两侧压力差的净结果是，球受一个从高压区指向低压区的合力(只考虑水平面内作用力)作用，这个合力使球偏离原直线运动方向(如图3所示)。同时由查阅期刊和上网搜索的一些知识可知，足球所受的这个合力由儒可夫斯基环流理论可求的球所受的这
3个合力即马格努斯力大小为FL=8/3πρωγ(γ、ω、分别是足球的半径、旋转v v
角速度、以及相对于球而言的气流速度)。
对于水平面内的足球y
运动的研究:假设足球运动
方向上阻力为零，则当足球z
的旋转角速度不变的情况
V 下水平面内的受力如图所
β FL 示，当在任意位置时球的V
与水平方向的夹角为β，则
x Fx=-FLsinβ,Fy=FLcosβ，根据质心运动定律可得FLcosβ=may，FLsinβ=max。所以y方向上速度有一定的增
3加，即球速加快。而x方向上的则是以初速度为V0x,加速度为ax=8/3πρωγvsinβ/m抛物运动。当速度V平行于y轴时，达到最大偏移量。
2用弧坐标分析足球的平面运动时，an=v/ρ。由于FL产生法向的加速度，τ
当旋转地角速度ω，前进的速度v越大，FL越大，则an也越大，曲线上对应的曲率1/ρ就 越大，足球的弧度就越明显了。
所以综上，要产生香蕉球，足球要有足够的旋转，并且最重要的力学机理是足球在飞行时空气对足球产生的水平的压力差，这就是所谓的马格努斯效应。如果没有这样效应的产生，就算球速再快，旋转在强，足球也不会转弯。当然，香
蕉球的产生必须要求运动员有足够的脚法，力度，还要加上环境，风力的影响，才能有很好的弧线球。
二、
总结
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通过论文的研究，我查阅了不少的书籍，也查看了力学期刊，看到了别的老师研究香蕉球的
方法
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，这让我收获不少，不过基本的原理大家都是一样的，即根据伯努利原理得到使足球产生偏转的力——马格努斯力。还有我也学到了不少分析问题的方法与步骤，知道要一步一步的剖析问题，要尽量画简图以说明问题。所以这次的论文还是很有收获的。
同时也谢谢老师这一学期的讲课～
参考文献
[1] 范钦珊，薛克宗，程宝荣等 理论力学[M] 高等教育出版社 [2] 王伟，刘欣 浅谈香蕉球的力学原理[J] 体育科技文献通报 2008 第3期 [3] 赵致真 从香蕉球说开去[J] 力学与实践 2008 第3期
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