Euler求和公式的改进与幂和的不等式

Euler求和 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 的改进与幂和的不等式 Ξ 求和公式的改进与幂和的不等式E u le r 朱匀华 杨必成 ()) (中山大学数学系, 广州 510275广东教育学院数学系 n n Α () 摘 要 改进了 求和公式, 建立对离散和?进行不等式估值的理论, 导出幂和?E u le r f k k k = m k = m () 的联系数的一般估值不等式, 并改进了若干经典不等式 1 ?ΑR B e rno u lli 关键词 求和公式, 数, 有界变差函数E u le r B e rno u lli 分类号 178O 1 自从 等人的经典著作《不等式》问世以后, 不等式理论就蓬勃发展 1 本文发展了 H a rdy 文 2, 3 中运用 求和公式的思想, 把 求和公式在适当条件下改进为不等式形式,E u le r E u le r n n Α () () 建立对离散和?f k 进行不等式估值的理论, 并运用它对幂和?k Α?R 进行精确化k = m k = m n Α 估算 1 关于的联系阶的渐近公式, 曾由文 4, 5 分别作出. 当 = - 1 时, 文 4 给?k Αk = 1 出n q B 1 k 1 = - + + ? lnn ? ΤO k qk = 1 k = 1 k k nn () 其中, B k k = 1, 2, 为B e rno u lli 数, Τ为 E u le r 数; 当 Α?- 1 时, 文 5 给出 n qk ( ) Α 1 - 1 1 Α- k + 1 ΑΑ+ 1 = + ?k n ? B n + + k ΤΑO k = 1k = 1 kΑ+ 1n k - 1 q- Α- 1 其中, > + 1, 是与 有关的常数 1 qΑΤΑ Α 但这些公式只给出定性表示, 不能精确估算 1 文 6 , 8 曾收录一些零星结果, 但不便n Α 于系统精确地估算幂和 1 本文对定量给出精确化不等式表示, 导出它联系数?k B e rno u lli k = m 的一般估值不等式, 并由此改进若干经典不等式和建立某些精致不等式 11 求和公式的改进E u le r 6 当参数 = 1 时 求和公式的形式是:h E u le r () 2q- 1() 设 f x 在[m , n ]上为有界变差函数, 这里 q, m , n 都取正整数 1 则存在 Η, Η ?1, 使||q q n q- 1n () ()() f m + f n B 2k2k - 1( ) 2k - 1 ( ) () () () + - +f[ =+?n fm ?f k ?f x dx m () k = m2 k = 1 2k ! n B () () 2q 2q- 12q- 1 () - 2q 2q- 1 () () ) () ()([ - ]m1 1- 2fn f+ Ηq ?f() m 2q! k - 1 ( ) 其中, 为 数: = 1ƒ6, = - 1ƒ30, , 满足 - 1> 0; 右端第三项当 q = 1B 2k B e rno u lli B 2 B 4 B2k 时取零值 1 现令 q- 1 () ()(() ) B f m + f n 2k - 12k - 1 2k ( )( ) ( )() , =+ ?[ fΡq m n n - f m ] 2 () k = 1 2 2k ! n() () - 2q 2q- 1() q- 1 2 2q- 1 B 2q ( () ) () ) () (), =[ - ]3 ?q m n fn fm+ Ηq ?f(1- 2 m () 2q! () 则 求和公式 1可写为简化的形式:E u le r nn () () () () ()=+ q , + q , 4?f k ?f x dx Ρm n ?m n m k = m q- 1 (2q) () () () ( ) 引理 1 设函数 在[, ]上存在 2阶导数, 则当 ?0 时, 有- 1 , f x m n q f x ?q m n (2q) q- 1 () () ( ) ?0; 当 f x ?0 时, 有- 1?, ?01q m n() 2q- 1(2q) () () 在[, ]上单调, 从而它是有界变差函数, 且证明 因为 不变号, 所以 f x f x m n n() () 2q- 12q- 1() 2q- 1() () () ?= | - |f f n f m m q- 1() () 故由 3式, 并利用 - 1> 0 可证得结论 1B2q () 2q 2q+ 2() () () ( ) 引 理 2 设 在[, ] 上存在 2+ 2 阶导数, 且 与 都非负 正, 则存 f x m n q f x f x 在 ?0, 1 , 使Εq nn () qB 2qΕ2q- 1 () 2q- 1 ( ) () ()() () () - 5 ]n ff k =f x dx + Ρq m , n +fm [ ??m ) k = m( 2q! () () 2q2q+ 2 () () 且当 与 都非负时, 有f x f x n nq- 1 q- 1 q- 1 () () () () () () () ()- 1, ?- 1f k - f x dx ?- 1, 6Ρq m n Ρq+ 1 m n ??mk = m (2q) (2q+ 2) () () 当 与 都非正时, 有f x f x n n q- 1 q- 1 q- 1 () () ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( - 1? - 1fk - fx dx ? - 1, , 7ΡΡq q+ 1 m nm n ??m k = m () () 2q+ 22q() () () 证明 当 f x 与 f x 在[m , n ]上都非负时, 由引理 1 和4式有 nn q- 1 () () () () - 1[ - - , ]?0d?f k ?f x x Ρq m n m k = m () 且此式把 换为 + 1 时也成立 1 又由 2式有q q B (() ) 2q 2q- 12q- 1 () () () () (), = , +- ]8 Ρq+ 1 m n Ρq m n fn fm [ () 2q! 因而可以推得 nn q- 1 () () () () 0?- 1[ - - , ]??f k ?f x dx Ρq m n m k = m B 2q () q- 1 2q- 1() 2q- 1() () () () - 1[ - ] 9f n f m () 2q! () () 2q 2q+ 2() () () () () () 与 在故存在 ?0, 1 , 使5式成立, 且由 8, 9式可推知 6式成立 1 当 xfx Εq f () () [m , n ]上都非正时, 同理证明 5, 7式成立 1 证毕 1 ()() 评注 1 公式 5, 7比文2 的公式 300 条件较弱, 没有了一般项趋于零的条件 1 ()() 5, 7都是 求和公式在导数某种不变号性条件下的一种改进的不等式形式, 用 E u le r n () 它们对估值时, 其误差由引理 3, 4 表明 1?f k k = m () () 2q+ 22q () () () () 引理 3 设 在[, ]上存在 2+ 2 阶导数, 且 与 都非负 正, 则有f x m n qf x f x B | | 2q() 2q- 1 () 2q- 1 () () ( ) ()() , + , = |||||- m ?q m n ?q+ 1 m n f10n f () 2|q! B ((| )) 2q2q- 1 2q- 1 | () () ()() , ? n - fm |||11?q m n f () 2q! | |B |2q (())2q- 12q- 1() () () () , ? 12 ||||- ?m n fm n fq+ 1 () 2q! () () () 证明 只需证结论 10式 1 由 4式与 8式可得 B 2q () 2q- 1 () () () () () , + - , = , - , =?q m n ?q+ 1 m n Ρq+ 1 m n Ρq m n -[ n f() 2q! () 2q- 1() ]f m () () 又由引理 1 知 , 与- , 非异号, 所以?q m n ?q+ 1 m n () () () () | , | + | , | = | , | + | - , | = ?q m n ?q+ 1 m n ?q m n ?q+ 1 m n B | 2q| () 2q- 1 ()2q- 1 ()() () | , + - , ] | = n ?q m n ?q+ 1 m n - ff () |2q! () |m () 2q) () ( ) ( ] 上任意阶可导, 且= 1引 理 4 设 在 [, , 2, 都非负f x m n f x q () 正, 又() 2q- 1 () 2q 2q- 1 ()()( ( ) ) ) ()- = (f n 13 f m o ??2Πq () ()则: , = 0 14lim ?q m n q?? nn () () () (), = - 15lim Ρq m n ?f k ?f x dx m k = m q?? 2q 2q6 (( () ) ) ) (2 - 2, 从而由 11, 证明 根据数不等式有 || ƒ2! < 2ƒ B e rno u lli B 2q qΠ () () () () () 13式推知 14式成立 1 又由 14式和 4式即知 15式成立 1 证毕 1 x ?Πx () 注 1 满足引理 4 条件的函数存在 1 例如, 与 < 2就是这类函数 1ee? n Α () 2 幂和的一般估值不等式??k ΑR k = m n n Α 5 Α 当 为非负整数时, 已有的恒等式, 这时的估值只是平凡情况, 本文不再讨Α?k ?k k = 1 k = m ()Α k () () ( ( ) ) 论 1 设 f x = x Α?R , 引入下阶乘函数 [ Α]k = Α Α- 1? ? Α- k + 1, 则 f Α- k () ) = ], 它在 1, ?上的符号由 [ ]的符号决定 1 当 不是非负整数时, 通过 x Αk x Αk Α () 分析 [ ]出现的负因子个数, 不难得出下述二引理 仔细分析的证明从略1Αk Α() )引理 5 设 为任意正整数, = , ? 1, ?. 则当 < 0, 或者当 > 0, 非 q f x x x ΑΑΑ (2q) () 正整数, ] 为奇数时, 有 > 01Αf x Α () ) 引理 6 设 > 0, , ] 为偶数, 为正整数, 则 = 在 1, ?上 非正整数ΑΑΑq f x x 满足: () ) (2q2q + 2 ()()( ) > 0, > 0; i当 2<] 时, 有 f x x qΑf) (2q+ 2 () 2q ( ) ()( )< 0, < 01 ii] 时, 有 f 当 2>x Αf xq () 定理 1 对任意正整数 q, m , n m < n , 当 Α< 0, 或者当 Α> 0, Α非正整数, Α] 为奇 数时, 都有 n nq- 1 q- 1 q- 1 ΑΑ () () () ()() () - 1, ? - 1k - x dx ? - 1, 16Ρq m n Ρq+ 1 m n ??mk = m q- 1 ΑΑΑB 2k m + n Α- 2k + 1 Α - 2k + 1 () (() )- , =+ n m 17Ρq m n ? 2 k = 1 2k 2k - 1 Α () () () () () 证明 由引理 5, = 满足 6式的条件, 故由 6式和 2式即得 16式f x x () 和 17式. 证毕 1 () 注 2 当 ?- 1 且满足定理 1 条件时, 若取 = 1, 则由 16式可得Αq n Α+ 1Α+ 1 Α Αn - m m + n Α Α Α- 1 Α- 1 () ()0?- ?- ?k + n m 18k = m 122 + 1 Α 特别在上式中令= 1, 可得m nΑ+ 1 Α n n 1 1 Α + +- ?? ?k 2 + 1k = 1 Α+ 12 Α Α Α+ 1 n Α 1 n 1Α Α- 1 ()+19n-++ - Α+ 12 12Α+ 1212 () 若取 = 2, = 1, 则由 16式得qm n 1 Α- 3 Α() () (- 1- 21- Α ΑΑn ) ?-?k 720k = 1 Α Α- 1Α+ 1 n n ΑnΑ 1 1 ()+?0 20+ +- - Α+ 12 12 2 Α+ 112 推论 1 对任意正整数 , 有n n 1 136 135 ()2 n + - ?< 2 n + - ?21k = 1 2424 2 n k2 n n 1 1 115611560 ()4n + 1- - < ? 4n + 1- - ?22k = 1 12n384 12n 384 k 2 n2 n n 3 2 1 1 49 2 1 1 48 2 2 2 ()n +n +n -n +n + n - 23 < ??k k = 1 5 2 8 5 2 81 9201 920 () 证明 在19式中取 = - 12, 可得ƒΑ n 1 13 1 135 2 n + - ??2 n + - - ?3 k = 1 224 2 n k 2 n 24 n () 把这个不等式右边再放大, 即得 21式 1 () 在20式中取 = - 1ƒ2, 可得Α n 71 1351 1 - 2 2 n + - - ( ) ?0,- 1??- n 3 24k = 1 384 2 n 24 n k () 把此不等式左边再缩小, 即可导出 22式 1 () () 取 = 3ƒ2, 则[ = 1 为奇数, 满足定理 1 条件, 故可由 20式类似得出 23式, 证毕 1ΑΑ 7 () () 评注 2 21与22式都优于下述二不等式:n 11 ()2 n + - 2< < 2 n - 1 > 1?n k = 1 n k n 1 ()< 2 n - 1 > 1.2 n + 1- 2< n ?k = 1 k () 23式是新建立的较精致不等式, 两端只相差 11 9201 当 n = 30 000 时, 用计算机算得ƒ 下限?62 356 421 7701316 06 ; 上限?62 356 421 7701316 57 ;30 000 3ƒ2 = 62 356 421 7701316 31 1?k k = 1 () 定 理 2 设 > 0, , ] 为偶数, 又 , , 为正整数 < < ] 时, 非正整数ΑΑΑqm n m n , 则当 2q Α () 16式成立; 当 2> ]时, 有qΑ n Α+ 1 Α+ 1 q- 1 q- 1 q- 1 n- m Α() () ( ) ) ( ) ( ( ) - 1, ? - 1? - 1, 24ΡΡq q+ 1 m n k - m n ?Α+ 1 k = m () () 其中, , 的表示式同 17式 1 Ρq m n Α () () () 证明 据引理 6, = 满足引理 2 条件, 故两种情形分别由 6和7得结论 1f x x 注 3 当 2= ]时, 可直接由引理 1 导出单侧估计式或改变 值后再建立估计式 1qΑq n Α () () () 注 4 24与16式都是的一般估值不等式 1 在24式中取 = 1, = 1 可得?k qm k = m n Α+ 1Α+ 1 Α Α n 1 1 Αn n 1 1n ΑΑ Α- 1 ()25??++ - -+ +- +n?k k = 1 Α+ 12 122 Α+ 112 Α+ 12 2 Α+ 1() 又在 24式中取 = 2, = 1 可得qm nΑ+ 1 Α- 1 Α nn ΑnΑ1 1 Α 0?k - + + + - - ?k = 1 Α+ 1 2 12 2 Α+ 1 12 Α- 3 1 () ()) () (- 1- 21- 26? ΑΑΑn 720 推论 2 对任意正整数 , 有 n n 4n + 34n + 3 4 5() 27 n -< k ?n - ? k = 1 6 24 624 n2 400 1 2n n 1 -++ ?k = 0, 满足 24式的条件, 故可由 25式得出 27式 1ƒΑq q Α () () () 类似地取 = 1ƒ2, = 2 与 = 5ƒ2, = 2, 则可由 26式分别得出 28与29式 1 证毕 1ΑqΑq 8() () 评注 3 27式与 28式都优于不等式n 2n4n + 3n < k < n ,? 3 k = 1 6 8 且当 n > 1 时优于此不等式的一个改进形式n 2n + 14n + 3 1 ?k ?n - .n ? k = 1 3 66 n Α () 29式是新建立的较精致的不等式 1 运用以上思想方法, 还可建立幂和在 取各种数值?k Αk = 1 时较精致的不等式 1 n Α 评注 4 若用文2 的公式 300 建立的不等式, 则当 > 0 时因一般项不趋于零而受?k Αk = 1 () 限制 1 虽然从余项所含的导数开始能单调趋于零 ??时仍可运用公式, 但要展开多项至 x 导数能趋于零, 再建立和简化不等式, 这就可能烦琐 1 由此也看出本文定理 1 和定理 2 的优越 性 1 参 考 文 献 1 , , 1 . : , 1934H a rdy G H L it t lew oo d J E Po lya GInequa lit ie sL o ndo nC am b r idge U n ive r sity P re ss 2 1 . : ,Knopp K T h eo ry and A pp lica t io n o f Inf in ite Se r ie sL o ndo n and G la sgow B lack ie & So n L im ited 1928. 520, 540 () 3 杨必成 1 关于一般 二重级数定理的改进 1 数学研究, 1996, 2: 64, 69H ilbe r t () 4 张南岳 1数及某些与 函数有关的和 1 数学的实践与认识, 1990, 4: 62, 70E u le r Ze ta () 5 杨必成 1 联系数的自然数同次幂和的公式 1 数学的实践与认识, 1994, 4: 52, 56B e rno u lli () 6 徐利治, 王兴华 1 数学分析的方法及例题选讲 修订版1 北京: 高等教育出版社, 1983196, 170 7 密特利诺维奇 1 解析不等式 1 张小萍, 王龙译 1 北京: 科学出版社, 19871257, 258D S () 8 匡继昌 1 常用不等式 第二版1 长沙: 湖南教育出版社, 1993183, 84 ′Im p ro vem en t o n E u le rs Sum m a t io n Fo rm u la an d Som e In equ a lit ie s o n Sum s o f Pow e r s Ξ Z h u Y u n h u a Y a n g B ich en g ′A bstra c t T h is p ap e r im p ro ve s E u le rs summ a t io n fo rm u la an d e stab lish e s som e gen e ra l in 2n n Α () equ a lit ie s fo r e st im a t in g ?f k an d th e sum s o f th e Α2th pow e r s o f n a tu ra l n um b e r s ?k k = m k = m () ′?. , .ΑR in re la t io n to B e rno u llis n um b e r sA n dsom e c la ssica l in equ a lit ie s a re ref in ed Keyword s E u le r′s summ a t io n fo rm u la, B e rno u lli′s n um b e r s, bo u n ded va r ia t io n fu n c t io n Ξ , , 510275D ep a r tm en t o f M a th em a t ic sZho ng sh an U n ive r sityGuangzho u