函数的极值与函数的对称性

函数的极值与函数的对称性的关系 一、极值点偏移的含义 众所周知，函数 满足定义域内任意自变量 都有 ，则函数 关于直线 对称；可以理解为函数 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 为单峰函数，则 必为 的极值点. 如二次函数 的顶点就是极值点 ，若 的两根的中点为 ，则刚好有 ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数 的极值点为 ，且函数 满足定义域内 左侧的任意自变量 都有 或 ，则函数 极值点 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数 定义域内任意不同的实数 满足 ，则 与极值点 必有确定的大小关系： 若 ，则称为极值点左偏；若 ，则称为极值点右偏. 如函数 的极值点 刚好在方程 的两根中点 的左边，我们称之为极值点左偏. 二、极值点偏移问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的一般题设形式： 1. 若函数 存在两个零点 且 ，求证： （ 为函数 的极值点）； 2. 若函数 中存在 且 满足 ，求证： （ 为函数 的极值点）； 3. 若函数 存在两个零点 且 ，令 ，求证： ； 4. 若函数 中存在 且 满足 ，令 ，求证： . 三、问题初现，形神合聚 ★函数 有两极值点 ，且 . 证明： . 所以 ， 所以 ， 因为 ， ， 在 上单调递减 所以 ，即 . ★已知函数 的图象 与函数 的图象 交于 ，过 的中点 作 轴的垂线分别交 ， 于点 ，问是否存在点 ，使 在 处的切线与 在 处的切线平行？若存在，求出 的横坐标；若不存在，请说明理由. 四、招式演练 ★过点 作曲线 的切线． （1）求切线的方程； （2）若直线与曲线 交于不同的两点 ， ，求证： ． 【解析】 试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率 ，再根据点斜式求切线方程 ． 因为 ，不妨设 ， ． 设 ，则 ， 当 时， ， 在 单调递增， 所以 ，所以当 时， ． 因为 ，所以 ， 从而 ，因为 ， 在 单调递减，所以 ，即 ． 极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！ 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数 ，在区间 上只有一个极大（小）值点 ，方程 的解分别为 ，且 ， （1）若 ，则 ，即函数 在区间 上极（小）大值点 右（左）偏； （2）若 ，则 ，即函数 在区间 上极（小）大值点 右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数 ，在区间 上只有一个极大（小）值点 ，则函数 的单调递增（减）区间为 ，单调递减（增）区间为 ，由于 ，有 ，且 ，又 ，故 ，所以 ，即函数极（小）大值点 右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏 ）左慢右快（极值点右偏 ） 左快右慢（极值点左偏 ）左慢右快（极值点右偏 ） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数 的极值点 ； （2）构造一元差函数 ； （3）确定函数 的单调性； （4）结合 ，判断 的符号，从而确定 、 的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板：若已知函数 满足 ， 为函数 的极值点，求证： . （1）讨论函数 的单调性并求出 的极值点 ； 假设此处 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）构造 ； 注：此处根据题意需要还可以构造成 的形式. （3）通过求导 讨论 的单调性，判断出 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系； 假设此处 在 上单调递增，那么我们便可得出 ，从而得到： 时， . （4）不妨设 ，通过 的单调性， ， 与 的大小关系得出结论； 接上述情况，由于 时， 且 ， ，故 ，又因为 ， 且 在 上单调递减，从而得到 ，从而 得证. （5）若要证明 ，还需进一步讨论 与 的大小，得出 所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为 ，故 ，由于 在 上单调递减，故 . 【说明】 （1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求 的单调性、极值点，证明 与 （或 与 ）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如 或 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题. 三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数 . (1)求函数 的单调区间和极值； (2)若 ，且 ，证明： . ∵ ，∴ ， 在 上单调递增，∴ ，∴ . ★函数 与直线 交于 、 两点. 证明： . ★已知函数 ，若 ，且 ，证明： . 【解析】由函数 单调性可知：若 ，则必有 ，。 所以 ， 而 ， 令 ，则 所以函数 在 为减函数，所以 ， 所以 即 ，所以 ，所以 . ★已知函数 有两个零点.设 是 的两个零点，证明： . 四、招式演练 ★已知函数 ，其中 为自然对数的底数， 是 的导函数. （Ⅰ）求 的极值； （Ⅱ）若 ，证明：当 ，且 时， . 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】(1) 当 时， 无极值; 当 时, 有极小值 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （Ⅱ）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可． 试题解析： （Ⅰ） 的定义域为 ， 当 时， 在 时成立 在 上单调递增， 无极值. 当 时， 解得 由 得 ；由 得 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 有极小值 . （Ⅱ）当 时， 的定义域为 ， ， 由 ，解得 .当 变化时， ， 变化情况如下表： 0 0 + 单调递减 极小值 单调递增         ∵ ，且 ，则 （不妨设 ） ★已知函数 ，其中 （1）若函数 有两个零点，求 的取值范围； （2）若函数 有极大值为 ，且方程 的两根为 ，且 ，证明： . 【答案】（1） ;（2）见解析.  （1）当 时， 函数 在 上单调递增，不可能有两个零点 （2）当 时， 0 - 极大值         的极大值为 ，由 得 ； 因为 ， 所以 在 必存在一个零点； 显然当 时， ， 所以 在 上必存在一个零点；