r-循环矩阵的逆矩阵

r-循环矩阵的逆矩阵 r-循环矩阵的逆矩阵 第2卷第6期 2007年12月 北京教育学院(自然科学版) JOURNALOFBEIJINGINSTITUTEOFEDUCATION(NATURALSCIENCE) Vo1.2No.6 Dec.2007 卜循环矩阵的逆矩阵 钟祥贵曾立新 (广西师范大学数学科学学院,广西桂林541004) 摘要:给出r一循环矩阵的逆矩阵的初等算法,将文献【5】和【61中的主要结果 推广到r一循环矩 阵. 关键词:循环矩阵;逆矩阵;相似矩阵 中图分类号:O151?21文献标识码:A文章编号:CN11—5340/N(2007)06—0001—03 本文讨论的都是凡阶方阵.复数域上一个任意凡阶r一循环矩阵是指: A= (一1 ao ??? r6一3 r6一2 al 61,3啦 ao(— FaIao 其中r是非零实数. r一循环矩阵决定于它的第一行元素与实数r,简记为A=rC(oo,an_-.,啦,0.).特别,r=l时A即为循环 矩阵.r=一1时A即为反循环矩阵. r一循环矩阵是一种特殊的T一矩阵(位于任一条平行于主对角线的直线上的元素全相等),在数据 处理,有限元法以及编码理论等广泛学科和技术领域里常常遇到.T一矩阵的性质不易探讨.因此人们 很早就把兴趣集中在与T一矩阵联系密切的矩阵或特殊的T一矩阵上.循环矩阵是'T一矩阵的一个特殊 情形.对循环矩阵的可逆问题已经进行了较广泛的研究.1955年.D.Greenspan以三阶循环矩阵为例 对循环矩阵逆矩阵的求法作了说明.1962年,T.L.Gilbert121利用Jordan 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形理论给出了计算循环矩 阵逆矩阵的方法.1979年,S.R.Searlet3l给出了与文献[1】和[2】不相同的新的初等算法.1981年,李炯 14]给出T[1l~0方法的初等证明.1983年李天林I】改进T[IIN[4]的方法和证明.1992年.王济荣I61给 出了反循环矩阵的概念及求逆方法. 本文继续文献[91~2作,讨论卜循环矩阵的可逆性,求逆等问题,同时将文献[5】和[6】中的主要结 果推广到卜循环矩阵. 首先讨论卜循环矩阵的可对角化问题.为了方便,引进若干记号如下: (i)fix)=ao+a~一+…+0+0jz?C叫做A的行多项式; (ii)n.,77一,77是二项方程=/-的凡个根:=,,r>0或者=(一r),矿,r<O.其中=O,1,…,凡一1. 而77:c0s旦!+sin,是虚数单位,=一1,且e=2,r>0,或者e=1,r<0.显然77—1,r>O,或者=一1,r<O.而 :O,1,…,凡一1; (iii)bs= 凡 1_ Y~ . dnO-'n,o?s?凡一1,~eOdnr)=',o?r?凡一1; 凡r=0rI叼rJ 基金项目:广西科学基金项目(桂科基0575050),广西研究生教育创新 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 项目(2007106020701M51) 收稿日期:2007—09—21 料作者简介:钟祥贵(1963一),男,湖南武冈人,广西师范大学副教授. 北京教育学院(自然科学版) (iv)V是由.,71,…,.,7,卜1确定的n阶Vandermonde矩阵. 定理1对固定的非零实数r.设A是复数域上一个任意n阶卜循环矩阵.那么存在复数域上的 可逆矩阵.使一同时对角化. 证明直接计算得一:diag.)),….,7)).又V与‰…,a,0无关,定理1的结论显然 成立. n--1 由于相似矩阵有相同的秩,利用定理1证明中的等式,r一循环矩阵A可逆当且仅当l?o.现r=O 在.我们给出可逆的r一循环矩阵的逆矩阵公式. 定理2对固定的非零实数r,设A:C(‰,…,,a)是复数域上一个任意n阶可逆r一循环矩阵, 那么A的逆矩阵是A:,c(60,一b…,一b2,一b1). 证明记曰:,C(6.,一6…,一b,一6).我们将证明AB:I(I为n阶单位矩阵),而这等价于证明A的 第行乘曰的第列元素:o,,或者:1,对V?{0,1,…,n一1}成立即可.下面仅就r>O的情形 予以证明,此时.,7.,7,当r<O时,其证明类似.注意到为xn=r的根,我们有. 一 16,1+…+albn_l+aob0+a161+…D : ?r)一.,7+_.矿+卿ro+…+叼)t,r=O : ?一…++..矿).,r0 : }?r)一=1., 当i#j时,我们证明i<j的情形,当,其证明类似. :16州一1)+…+016州刊)+一劬b州+一.卜16州刊)+…+一嘶刊)61+0+嘶1+…+6 :一 :.,r)一[一1.,7+1+…+01.,7一1+r一1ao'r//%r一1c一11+…+r一1c川一1一1+c 川—聊+c+1力—+…+,'r--O 卿] : }?r)一t.,7r+...+1+%删…+叼…+0l矿】,r=O : }?r),r=O : n ?r--O 矿 :监(1+.,7-4+…+.,7()(n-)) :=f丑::o. n1一竹q 由定理2立得如下推论.推论1是文献[4】和[5】的主要结果,推论2是文献[6】的 主要结果. 推论1设A:c(,,…,,.)是复数域上一个任意n阶可逆循环矩阵,那么A的逆矩阵是A 一= C(b.,6,…,62,61).其中=}r)一,o?s?n一1,而.,7是n次本原单位根,即'/'/=COS+n,,' 枷00 71n--1.. 推论2设A-----1C(ao,a.…,,0)是复数域上一个任意n阶可逆反循环矩阵,那么A的逆矩阵是 A-I-_ 1C(b0,一6,…,一6,一6).其中,6: ni-=o r)一.,7,o?s?n一1? 9' 钟祥贵曾立新:卜循环矩阵的逆矩阵 定理2虽然可以推出文献【4—6]的主要结果,但在实用上因为要算出叼=cos旦+/sin旦e=1,2),以 及叼0)2,(叼),…2,(叼)等,其中包含复杂的三角函数运算,定理2的意义主要在理论方面.下面,我们利用 定理2的结果给出另一种重要的计算卜循环矩阵的逆矩阵的具体方法. 定理3对固定的非零实数r.设A是复数域上一个任意n阶可逆r一循环矩阵,那么A的逆矩阵 是A一=rc(,,…,)?这里,A,是de的第行第一个元素的代数余子式?=1,2,…,n? 证明利用熟知的矩阵求逆公式:A-1=了,其中adjA是矩阵A的伴随矩阵.当A是卜循 环矩阵时,定理2 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明A仍然是卜循环矩阵,设adjA=,c(60,r6,…,r,b2,r,b).由伴随矩阵的定 义,有6o:=,r6-=A21,…,r62=,r6=.这正是所要证明的. 注意:定理3需要用到一般n阶卜循环矩阵A的行列式公式:detA叼叼)??叼) 事实上,由定理1的证明有—V=diag65no)~(n)??叼)).从而,det(V—lA)叼叼-)??叼).又 det(V—V)=detA.故detA叼叼)一1). 定理4对固定的实数r.复数域上n阶可逆卜循环矩阵的集合S对矩阵乘法构成一 个交换群. 证明设是m阶单位阵, 0/1.由数学归纳法易证:F().特别,F"=. 由于A=C(‰锄_J,…,,a1).则A=+一1n…+口"之+01F是关于F的矩阵多项式,所以 复数 域上n阶可逆卜循环矩阵对矩阵乘法封闭.又=,C(1,0,…,0),结合定理2的结论即知 S是一个交换 群. 参考文献: 【llD.Greenspan.Methodsofmatrixinversion[J].AmericanMathematicsMonthly,1955,6 2:303—318. 【21T.L.Gilbert.Inverseoverlapmatrixforperiodicarraysofatoms[J].JournalofMaththem aticsPhysics,1962,3:107-117 【31S.R.Searle.Oninvertingcirculantmatrice[J].LinearAlgebraApplance,1979,25:77— 89. 【4】李炯生.轮回矩阵的逆矩阵[J】.数学的实践与认识.1981,l1(2):31-37. 『5】李天林.循环矩阵的逆矩阵与分解定理『J].北京师范大学.1983,2:18—28. 【6】王济荣.反循环矩阵的逆矩阵『J1.数学通报.1992,3:40—41. [7】何承源.循环矩阵的一些性质【J】.数学的实践与认识.2001,31(2):211-216. [8】五世轩.循环矩阵与矩阵的对角化【J].工科数学.2002,18(4):80—82. 『91施敏雪,史美华.关于r-_循环矩阵的若干性质『J].浙江教育学院.2005,4:14— 18. IIheInverseMatricesofr-CyclicMatrices ZhongXiangguiZengLixin (SchoolofMathematicalSciences,GuangxiNormalUniversity,Guilin,Guangxi,541004,C hina) Abstract:Inthispaper,wegivesomeelementaryoperationalmethodsforevaluatinginverse matrices ofr-cyclicmatricesandsomerelativequestionsarediscussed.Themainresultsinthereferences[5]and [6】areimproved. Keywords:cyclicmatrices;inversematrices;similarmatrices (责任编辑张景瑞) 3