三垂线法作二面角的平面角的技巧
三垂线法作二面角的平面角的技巧
求二面角的大小是考试中经常出现的问
题
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，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻(
我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为:
如图1，在二面角—l一中，过平面内一点A作AO?平面，垂足为O，过点,,,,
O作OB?l于B(过A点作AB?于B)，连结AB(或OB)，由三垂线定理(或逆定理)知AB?l(或OB?l)，则?ABO为二面角。—l—的平面角( ,,
作图过程中，作出了两条垂线AO与OB(或AB)，后连结AB两点(或OB两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”(“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点:
1(善于利用图中已有的“第一垂线”
例1 已知斜三棱柱ABC—ABC中，?BCA=90?，AC=BC，A在底面ABC的射影恰1111
为AC的中点M，又知AA与底面ABC所成的角为60?( 1
(1)求证:BC?平面AACC; 11
(2)求二面角B一AA—C的大小( 1
剖析:注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC就是我们要寻求的“第一垂线”(
略解2 AA与底面AB成的角为60?，所以?AAC,60?，又M是AC中点，所以?11
AAC是正三角形，作CN?AA于N，点N为AA的中点，连结BN，由BC?平面AACC，11111BN?AA，则?BNC为二面角B一AA一C的平面角(设AC,BC,a，正?AAC的边长为111
3BCa23CN,aa，所以，在Rt?BNC中，tan?BNC=,,，即?2NC3a3
2
23,arctanBNC. 3
例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，?ABC,90?，SA?面ABCD，
1SA=AB=BC,1，AD, 2
(1)求四棱锥S—ABCD的体积;
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值(
剖析:由SA?面ABCD及?ABC=90?，不难发现，BC即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱(
略解2 延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱，因为AD?BC，BC=2AD，所以EA=AB=SA，所以SE?SB，因为SA?面ABCD，得面SEB?面EBC，EB是交线，又BC?EB，所以BC?面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS?SE，所
22以?BSC是所求二面角的平面角，因为，BC=1，BC?SB，因为tanSB,SA，AB,2
BC22,,?BSC=，即所求二面角的正切值为( SB22
2(借助第三个平面，作“第一垂线”
2a例3 如图4，正三棱柱ABC—ABC的底边长为a，侧棱长为，若经过对角线1112
AB且与对角线BC平行的平面交上底面一边AC于点D( 1111
(1)确定点D的位置，并证明你的结论;
(2)求二面角A—AB—D的大小( 11
剖析:由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是AC中点(二面角A111—AB一D的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面ABC过点D且与平面1111AAB垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面(过D作DF11
?AB，由面面垂直的性质知，DF?面AAB，即DF为我们要作的“第一垂线”( 1111
略解2 在平面ABC内，作CF?AB于F，连DC，由三垂线定理可证AB?DG，111111?DGF就是二面角A—AB一D的平面角，在正?ABC中，因为D是AC中点，AB111111111
33DF,a,a，所以，，在Rt?DFG，可求得?DCF=45?( BF,a144
3(利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”
例4 已知:Rt?ABC的斜边BC在平面,内，AB、AC分别与平面。成30?和45?角，求平面,与?ABC所在平面所成二面角的大小(
剖析:本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我们注意到
AB、AC与平面所成的角均已给出，只要过A作AO?于O，就可以同时找到AB、AC,,在平面内的射影，无疑这样得到的“第一垂线"AO有着非常特殊的位置，有利于二面角,
大小的计算(
解:作AO?于O，OD?BC于D，连OB，AD，OC，由三垂线定理得:AD?BC，,
所以?ADO是二面角A—BC—O的平面角，令AO,x，在Rt?AOB中，?ABO,30?，所
以AB,2x，在Rt?AOC中，?ACO,45?，所以，因为?BAC=90?，所以AC,2x
2x,2x23BC,6x，所以。 AD,,x36x
AO3,,在Rt?AOD中，sin?ADO，所以?ADO,60?，所以三角形ABC与面,AD2
成60?或120?的二面角(
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