人教九数学几何部分综合提升训练(附答案)

2021-2022学年人教版九年级 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 几何部分综合提升训练2（附答案）1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（）A．9.6B．4C．5D．102．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2．将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（）A．B．C．3D．3．如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（）A．πB．πC．πD．π4．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（）A．B．C．D．5．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°6．如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（）A．OB＝OCB．∠BOD＝∠CODC．DE∥ABD．DB＝DE7．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C．D．2π8．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．80°9．下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形10．在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（）A．B．C．16πD．64π11．如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（）A．B．C．D．12．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是．13．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为．14．如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，BC′＝2，则AD的长为．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是．16．如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）．17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．18．如图，在▱ABCD中，AB＞AD．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的结论．19．如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）20．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）21．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．（1）求观测点B与C点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．22．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．（1）求证：∠DAE＝∠DAC；（2）求证：DF•AC＝AD•DC；（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．23．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．（1）求∠DAB的度数；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．24．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．（1）求证：∠ACF＝∠B；（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．25．已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的长．（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP．（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．26．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．27．在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．参考答案1．解：∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∵AB⊥CD，∴∠AFC＝∠AEO＝90°，∵OE＝3，OB＝5，∴AE＝，∴AC＝8，∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，∴△AEO∽△AFC，∴，即：，∴，∵CD⊥AB，∴CD＝2CF＝＝9.6．故选：A．2．解：连接AN交BM于点O，作NH⊥AD于点H．如图：∵AB＝6，AM：MD＝1：2．∴AM＝2，MD＝4．∵四边形ABCD是正方形．∴BM＝．根据折叠性质，AO⊥BM，AO＝ON．AM＝MN＝2．∴．∴＝．∴AN＝．∵NH⊥AD．∴AN2﹣AH2＝MN2﹣MH2．∴．∴．∴．∴．∴DN＝．故选：D．3．解：设P（m，﹣2m+2），则Q（m，﹣m+3）．∴OP2＝m2+（﹣2m+2）2＝5m2﹣8m+4，OQ2＝m2+（﹣m+3）2＝2m2﹣6m+9．∵△OPQ绕点O顺时针旋转45°．∴△OPQ≌△ODC，∠QOC＝∠POD＝45°．∴PQ扫过区域（阴影部分）面积S＝S﹣S＝扇OQC扇OPD＝＝．当m＝时，S的最大值为：．故选：A．4．解：该长方体表面展开图可能是选项A．故选：A．5．解：∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，∴∠A＝∠BOC，∴∠BOC＝2∠A＝80°，故选：C．6．解：由作法得MN垂直平分BC，∴OB＝OC，BD＝CD，OD⊥BC，所以A选项不符合题意；∴OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD，所以B选项不符合题意；∵AE＝CE，DB＝DC，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，所以C选项不符合题意；DE＝AB，而BD＝BC，∵AB≠BC，∴BD≠DE，所以D选项符合题意．故选：D．7．解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1，∴tan∠DBC＝，∴∠DBC＝30°，∴∠CBC″＝60°，∵BC＝BC''∴△BCC''为等边三角形，∴S＝＝π，扇形BC′C″作C''F⊥BC于F，∵△BCC''为等边三角形，∴BF＝，∴C''F＝tan60°×＝，∴S''＝，△BCC∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，∵O为MN的中点，∴OP＝，∵∠PMN＝30°，∴∠MPO＝30°，∴∠AMP＝∠MPO+∠MBP＝30°+45°＝75°，故选：C．9．解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；故选：B．10．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵＝2R，∴2R＝＝＝，∴R＝，∴S＝πR2＝π（）2＝π，故选：A．11．解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．∵AB是直径，AB＝8，∴OA＝OB＝4，∵AD，BC，CD是⊙O的切线，∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，DA＝DE，CE＝CB，∴四边形ABHD是矩形，∴AD＝BH，AB＝DH＝8，∴CH＝＝＝6，设AD＝DE＝BH＝x，则EC＝CB＝x+6，∴x+x+6＝10，∴x＝2，∴D（2，4），C（8，﹣4），B（0，﹣4），∴直线OC的解析式为y＝﹣x，直线BD的解析式为y＝4x﹣4，由，解得，∴F（，﹣），∴BF＝＝，解法二：设DH交OC于G，利用△OBF∽△GDF求解即可．故选：A．12．解：∵地毯面积被平均分成了3份，∴每一份的边长为＝，∴CD＝3×＝，在Rt△ACD中，根据勾股定理可得AD＝＝，又根据剪裁可知BD＝CK＝1，∴AB＝AD﹣BD＝﹣1．故答案为：﹣1．13．解：∵纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，∴DE垂直平分AF．∴AD＝DF，AE＝EF．∵DE∥BC，∴DE为△ABC的中位线．∴DE＝BC＝（BF+CF）＝×（4+6）＝5．∵AF＝EF，∴△AEF为等边三角形．∴∠FAC＝60°．在Rt△AFC中，∵tan∠FAC＝，∴AF＝＝2．∴四边形ADFE的面积为：DE×AF＝×5×2＝5．故答案为：5．14．解：由题意可得，△DCA≌△DC′A，OC＝OC′，∠COD＝∠C′OD＝90°，∴点O为CC′的中点，∵点D为BC的中点，∴OD是△BCC′的中位线，∴OD＝BC′，OD∥BC′，∴∠COD＝∠EC′B＝90°，∵AE＝BE，BC′＝2，∴OD＝1，在△EC′B和△EOA中，，∴△EC′B≌△EOA（AAS），∴BC′＝AO，∴AO＝2，∴AD＝AO+OD＝2+1＝3，故答案为：3．15．解：作FM⊥AB于点M，作GN⊥AB于点N，如右图所示，∵正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，∴BE＝2，MF＝4，BM＝CF＝3，∵GN⊥AB，FM⊥AB，∴GN∥FM，∴△BNG∽△BMF，∴，设BN＝3x，则NG＝4x，AN＝4﹣3x，∵GN⊥AB，EB⊥AB，∴△ANG∽△ABE，∴，即，解得x＝，∴GN＝4x＝，∴△AGF的面积是：＝＝，故答案为：．16．解：如图，线段BD即为所求作．17．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF＝BE，又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF．18．解：（1）如图，AE、CF为所作；（2）△CDP为直角三角形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CDE＝∠AED，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，∵CF平分∠BCD，∴∠FCD＝∠BCD，∴∠CDE+∠FCD＝90°，∴∠CPD＝90°，∴△CDP为直角三角形．19．解：如图：猜想：DF＝3BF，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AC＝2AB，∴AO＝AB．∵∠BAC的角平分线与BO交于点F，∴点F是BO的中点，即BF＝FO，∴OB＝OD＝2BF，∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．20．解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，∴tan∠BDA＝＝≈1.33，∴AD＝≈18.05（米）．∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，∴CD＝18.05×≈10.4（米）．故办公楼的高度约为10.4米．21．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，∴AE＝CE＝25（海里），∵∠CBE＝30°，∴BE＝25（海里），∴BC＝2CE＝50（海里）．答：观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）如图，作CF⊥DB于点F，∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，∴四边形CEBF是矩形，∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），在Rt△DCF中，根据勾股定理，得CD＝＝＝70（海里），∴70÷42＝（小时）．答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．22．（1）证明：如图，连接OD．∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥EC，∵AE⊥CE，∴AE∥OD，∴∠EAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DAE＝∠DAC．（2）证明：如图，连接BF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∵AE⊥EC，∴∠AFB＝∠E＝90°，∴BF∥EC，∴∠ABF＝∠C，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ADF＝∠C，∵∠DAF＝∠DAC，∴△DAF∽△CAD，∴＝，∴DF•AC＝AD•DC．（3）解：过点D作DH⊥AC于H．∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∵sin∠C＝＝，∴可以假设OD＝k，OC＝4k，则OA＝OD＝k，CD＝k，∵•OD•DC＝•OC•DH，∴DH＝k，∴OH＝＝k，∴AH＝OA+OH＝k，∵AD2＝AH2+DH2，∴（4）2＝（k）2+（k）2∴k＝8或﹣8（舍弃），∴AC＝5k＝40，AB＝2k＝16，∴sinC＝＝＝sin∠ABK＝，∴AE＝10，AF＝4，∴EF＝AE﹣AF＝10﹣4＝6．23．解：（1）如图，连接BD，∵∠ACD＝30°，∴∠B＝∠ACD＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，∴EF＝DE＝ADsin60°＝，∴DF＝2DE＝2．24．（1）证明：如图1，连接OC，∵CF是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°，∴∠OCA+∠ACF＝90°，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∴∠OCA+∠OCE＝90°，∴∠ACF＝∠OCE＝∠E，∵∠B＝∠E，∴∠ACF＝∠B；（2）解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F，∴△ACF∽△CBF，∴＝，∵AF＝2，CF＝4，∴，∴BF＝8，∴AB＝BC＝8﹣2＝6，AC＝3，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ACE＝90°，∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴＝，即AE•AD＝AB×AC＝6×3＝18．25．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，∴AB＝，∵BD＝AC，∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵P是CD的中点，∴AP⊥CD，在Rt△APC中，AP＝，∴，∴，（2）证明：连接BE，∵DE∥AC，∴∠CAP＝∠DEP，在△CPA和△DPE中，∴△CPA≌△DPE（AAS），∴AP＝EP＝，DE＝AC，∵BD＝AC，∴BD＝DE，又∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠CAD＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝BE，∠EBD＝60°，∵BD＝AC，∴AC＝BE，在△CAB和△EBA中，∴△CAB≌△EBA（SAS），∴AE＝BC，∴BC＝2AP，（3）存在这样的m，m＝．理由如下：作DE∥AC交AP延长线于E，连接BE，由（2）同理可得DE＝AC，∠EDB＝∠CAD＝45°，AE＝2AP，当BD＝时，∴BD＝，作BF⊥DE于F，∵∠EDB＝45°，∴BD＝，∴DE＝DF，∴点E，F重合，∴∠BED＝90°，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝AC，同（2）可证：△CAB≌△EBA（SAS），∴BC＝AE＝2AP，∴存在m＝，使得BC＝2AP，26．解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，∴FA＝FQ，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴FQ＝CF，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，由旋转知，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝90°，∴∠CBF+∠BEC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF+∠BEC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BEC，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BEC＝∠CFE，∴CF＝CE＝2，∴AF＝FQ＝CF＝；（2）AG＝CD，理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，∵G是BE的中点，∴AG＝ME，∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠DAE＝∠CAM，∴∠DAC＝∠EAM，∵AB＝AM，AB＝AC，∴AC＝AM，∵AD＝AE，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴CD＝EM，∴AG＝CD；（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，∴∠DAE＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，∵∠AEC＝150°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∵∠AEC＝150°，∴∠ABC+∠AEC＝180°，∴点A，B，C，E四点共圆，∴∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，∵AE＝DE，∴AN＝DN，∴BE是AD的垂直平分线，∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，∴∠ACE＝∠ABE＝15°，∴∠DCE＝45°，∵∠DEC＝90°，∴∠EDC＝45°＝∠DCE，∴DE＝CE，∴AD＝DE，设AG＝a，则DG＝a，由（2）知，AG＝CD，∴CD＝2AG＝2a，∴CE＝DE＝CD＝a，∴AD＝a，∴DN＝AD＝a，过点D作DH⊥AC于H，在Rt△AHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a，∴DH＝a，根据勾股定理得，CH＝a，在Rt△AHD中，根据勾股定理得，AH＝＝a，∴AC＝AH+CH＝a+a，∴BD＝a+a，∴＝＝．27．解：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，∴BG＝BF，∠FBG＝60°，∴△BGF是等边三角形，∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝AB＝3，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，∴∠BCG＝∠DBC，∴BF＝CF，∴GF＝CF，Rt△FDC中，CF＝＝＝2，∴GF＝2，Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°＝，CH＝CD•cos30°＝，∴FH＝CF﹣CH＝，∴GH＝GF+FH＝，Rt△GHD中，DG＝＝；②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，∴△EGF是等边三角形，∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABC+∠EFH＝180°，∴B、E、F、H共圆，∴∠FBH＝∠FEH，而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，∴∠FEH＝30°，∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，∴EF＝HF＝GF①，∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，∴∠EPF+∠EGF＝180°，∴E、P、F、G共圆，∴∠GPF＝∠GEF＝60°，∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，∴∠BMH＝60°，∴∠BMH＝∠GPF②，而∠GFP＝∠HFM③，由①②③得△GFP≌△HFM（AAS），∴PF＝FM，∵EP⊥AB，BP中点N，∠ABD＝30°，∴EP＝BP＝BN＝NP，∴PF+NP＝FM+BN，∴NF＝BM，Rt△MHB中，MH＝BM，∴NF＝MH，∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝BE，Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝BH，∴BF＝BE+BH，∴BE+BH＝BF；（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，如图：Rt△PMH中，HP＝MP，∴NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，∴F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，∴∠BKM＝60°，∵∠ABD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°，∴∠BML＝∠A，∴ML∥AC，∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，而BD⊥AC，∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，∴四边形GHND是矩形，∴DN＝GH，∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，∴CD＝3，又DN＝2NC，∴DN＝GH＝2，∵等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，∴BM＝，BD＝AB•sinA＝6×sin60°＝3，Rt△BGM中，MG＝BM＝，BG＝BM•cos30°＝，∴MH＝MG+GH＝，GD＝BD﹣BG＝，Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°＝，∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝，∴S＝PN•DN＝．△DPN