二次函数根的分布和最值

二次函数根的分布和最值 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 2ax，bx，c,01、一元二次方程根的分布情况 22设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，axbxca，，,,00fxaxbxc,，，,0xx,xx,，，，，1212 方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) x 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) 分两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0， 布 情 一个大于0 xx,,0,0xx,,0,0xx,,0，，，，，，121212况 大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,0,,0 ，，f0,0的,,2a2a结,,论 f00,f00,,,，，，，,,大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,0,,0，，f0,0的,,2a2a结,,论 f00,f00,,,，，，，,,综 合,,0,,0,,结,,论bb,,) ，，,,0,,0a,f0,0 ,,不2a2a,,讨af,,00af,,00，，，，,,,,论a ) k表二:(两根与的大小比较) kkk分k两根都小于即 即 ，一个大于即 两根都大于一个根小于布 情 x,k,x,kx,k,x,kx,k,x况 121212 大 致 图 象k)kka,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,k,,k ，，fk,0的,,2a2a结,,论 fk,0fk,0,,，，，，,,大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,k,,k，， fk,0的,,2a2a结,,论 fk,0fk,0,,，，，，,,综 合,,0,,0,,结,,论bb,,) ，，,,k,,ka,fk,0 ,,不2a2a,,讨afk,,0afk,,0，，，，,,论,,a ) 表三:(根在区间上的分布) 分内 一根在内，另一根在两根有且仅有一根在，，，，，，m,nm,np,q布两根都在内 ，，m,n情内， m,n,p,q(图象有两种情况，只画了一种) 况 大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,fm0,，， ,,得fm,0，，fn,0，，,fmfn,0，，，，,,,出或 ,,, ，，，，fn,0fm,fn,0的，，fpfq,0,fp,0，，，，，，,,,结,,b论fq,0，， ,mn,,,,2a,,大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,,fm0，，,得fm,0,，，,fn,0，，出,fmfn,0，，，，,,,fn,0 ，，，， 或 fm,fn,0的，，,,,fpfq,0fp,0，，，，，，结,,,,b论 ,,mn,,,fq,0，，,2a,,综 合 结，，，，fmfn,0论,,)，，，，fm,fn,0—————— ,不,，，，，fpfq,0讨,论a ) xmxn,,,，，m,n根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外，即在区间两侧，(图形分别如下)12 需满足的条件是 fm,0fm,0,,，，，，,,a,0a,0(1)时，; (2)时， ,,fn,0fn,0，，，，,,,, 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况: ，，m,n 1: 若fm,0或fn,0，则此时fmfn ,0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，mn，，，，，，，， 2可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程mxmx,，，,220，，m,n，， 2221,3f10,mxmxxmx,，，,,,2212在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由13,,，，，，，，，，，，mm2,,m2得即为所求; 3 ,,0,,02: 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数，，m,n 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2xmxm,，，,4260,3,0ff,,300 有且一根在区间内，求的取值范围。分析:?由即m，，，，，， 1532,,0m,,1141530mm，，,,,,,3m164260mm,，,m,得出;?由即得出或，当，，，，，，142 33m,,1m,,1x,,,,23,0m,x,,,33,0m,时，根，即满足题意;当时，根，故不满足题意;，，，，22 15m,,1,,,,3m综上分析，得出或 14 根的分布练习题 221210mxmxm，,，,,m例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 ，，，， 12100mf，, 2110mm，,,,,,m1解:由 即 ，从而得即为所求的范围。 ，，，，，，，，2 2210xmxm,，，,m例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。 ，， 解:由 ,,0,2,mm，,,180，，,,，m1,,，，,mm,,,，322322或,,,0 m,,1,,,,,,22 m,0,,,,m,0f00,,，，,, 或即为所求的范围。 0322,,,mm,，322 2例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实ymxmxm,，,，，，22433x，，，，，， 数的取值范围。 m 1解:由 即 即为所求的范围。 mf，,210 mm，，,2210 ,,,2m,，，，，，，，，2 2例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。 mxmx，,，,2340m，， 1解:由题意有方程在区间上只有一个正根，则 m,,即为所0,1ff010 ,4310 m，,,,，，，，，，，，3求范围。 ,,0(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由计算检验，均不复合题意，，，计算量稍大) 1(二次函数及图象 22设有一元二次函数y=ax+bx+c(a?0)，判别式Δ=b-4ac，当Δ,0时y=f(x)与x轴有二交点;当Δ=0时， y=f(x)与x轴仅有一交点;当Δ,0时，y=f(x)与x轴无交点( 当Δ,0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x,x(一元二次函数y=f(x)与x轴交点x，x就是相应一元二1212次方程f(x)=0的两根( 观察图象不难知道( 图像为 观察图象不难知道?=0，a,0 , ?=0，a,0 当?,0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为 观察图象不难知道( a,0时,绝对不等式f(x),0解为x?R( a,0时,绝对不等式f(x),0解为x?R( 2(讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式(组)的求解问题，其方法有3种: (1)应用求根公式; (2)应用根与系数关系; (3)应用二次函数图象(在进行转化时，应保证这种转化的等价性( 就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法( 22设f(x)=ax，bx，c(a,0)，方程ax，bx，x=0的个根为α，β(α?β)，m，n为常数，且n,m，方 程根的分布无外乎两种情况: ?α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑 三、好题解给你 (1) (1) 预习题 21. 设有一元二次函数y,2x-8x+1(试问， 当x?[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小, 由此y,f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么, 2解:经配方有y,2(x-2)-7 ?对称轴x,2，区间[3，4]在对称轴右边， ?y,f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此 y=f(4),1( max y,f(3),-5( min222.设有一元二次函数y,2x-4ax+2a+3(试问，此函数对称轴是什么, 当x?[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小,与a取值有何关系, 由此，求y,f(x)在[3，4]上的最大值与最小值( 2解:经配方有y,2(x-a)+3( 对称轴为x=a( 当a?3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x?[3，4]时，随x变大，y的值也变大( a在区间[3，4]内，此时，若3?x?a，随x变大，y的值变小，但若a?x?4，当3,a,4时，对称轴x= 随x变大，y的值变大( 当4?a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x?[3，4]时，随x变大，y的值反而变小( 根据上述分析，可知( 22当a?3时，y=f(4)=2a-16a+35(y=f(3),2a-12a+21( maxmin 当3,a,4时，y,f(a),3( min2其中，a?3.5时，y,f(4),2a-16a+35( max2a?3.5时，y,f(3),2a-12a+21( max22当a?4时，y,f(3),2a-12a+21(y,f(4),2a-16a+35( maxmin (2) (2) 基础题 2例1(设有一元二次方程x+2(m-1)x+(m+2),0(试问: (1)m为何值时，有一正根、一负根( (2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1( (3)m为何值时，有两正根( (4)m为何值时，有两负根( (5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内, 解:(1)设方程一正根x，一负根x，显然x、x,0，依违达定理有m+2,0( 2112? m,-2( 反思回顾:x、x,0条件下，ac,0，因此能保证?,0( 12 (2)设x,1，x,1，则x-1,0，x-1,0只要求(x-1)(x-1),0，即xx-(x+x)+1,0( 1212121212 依韦达定理有 (m+2)+2(m-1)+1,0( (3)若x,0，x,0，则x+x,0且x，x,0,故应满足条件 121212 依韦达定理有 (5)由图象不难知道，方程f(x),0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)?f(4),0，即 [9+6(m-1)+(m+2)]?[16+8(m-1)+(m+2)],0( ?(7m+1)(9m+10),0( 例2. 当m为何值时，方程有两个负数根, 解:负数根首先是实数根，?， 由根与系数关系:要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正( 由以上分析，有 即 ?当时，原方程有两个负数根( (3) (3) 应用题 2例1. m取何实数值时，关于x的方程x+(m-2)x，5-m=0的两个实根都大于2, 2解:设f(x)=x+(m-2)x+5-m，如图原方程两个实根都大于2 所以当-5,m?-4时，方程的两个实根大于2( 2例2(已知关于x方程:x-2ax，a,0有两个实根α，β，且满足0,α,1，β,2，求实根a的取值范围( 2解:设f(x)=x-2ax，a，则方程f(x)=0的两个根α，β就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标，如图0,α,1，β,2的条件是: ,1，β,2( 2例3(m为何实数时，关于x的方程x+(m-2)x，5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2. 2解:设f(x)=x，(m-2)x，5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f(2),0，即4，2(m-2)，5-m,0(解得m,-5(所以当m,-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2( (4) (4) 提高题 例1(已知函数的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围( 解:(1)当，则所给函数为二次函数，图象满足: ，即 解得: (2)当时， 若，则的图象不可能都在x轴上方，? 若，则y=3的图象都在x轴上方 由(1)(2)得: 反思回顾:此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论( 22例2(已知关于x的方程(m-1)x-2mx，m+m-6=0有两个实根α，β，且满足0,α,1,β，求实数m的取值范围( 22解:设f(x)=x-2mx+m，m-6，则方程f(x)=0的两个根α，β，就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标( 如图，0,α,1,β的条件是 解得 2例3(已知关于x的方程3x-5x，a=0的有两个实根α，β，满足条件α?(-2，0)，β?(1，3)，求实数a的取值范围( 2)=3x解:设f(x-5x，a，由图象特征可知方程f(x)=0的两根α，β，并且α?(-2，0)，β?(1，3)的 解得-12,a,0( 四、课后演武场 21.已知方程(m-1)x+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是( B ) A( B( C( D( 22+(-1)2.方程xmx+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是( C ) A(0,m,2 B(-3,m,1 C(-2,m,0 D(-1,m,1 3.已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( C ) A( B( C( D( 24(已知关于x的方程3x+(m-5)x，7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围( 可知方程f(x)=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是:f(4),0) 25(已知关于x的方程x，2mx，2m，3=0的两个不等实根都在区间(0，2)内，求实数m的取值范围( 征可知方程f(x)=0的两根都在(0，2)内的充要条件是 ,,m,n2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨 2设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况: ,,m,n，，，，fx,ax，bx，c,0a,0 bbbb m,n,,m,,,n,,,,m,n,,m,n 即 2a2a2a2a 图 象 fx,maxfn,fm，，，，，，,,最maxfx,fmfx,fn，，，，，，，，大maxmax 、 最b,,小，，fx,f,，，，，，，，，fx,fn,,fx,fmminminmin值2a ,, 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论: ,,,,bbb,,,,(1fx,minfm,f,,fn)若，则fx,maxfm,f,,fn，; ,,,,m,n，，，，，，，，，，，，,,,,,,,,maxmin2a2a2a,,,,,,,, b(2)若，则， ,,,,m,n，，，，，，,,，，，，，，,,fx,maxfm,fnfx,minfm,fnmaxmin2a 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大;反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。 二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。 2例1、函数fxaxaxba,,，，,220在2,3上有最大值5和最小值2，求的值。 ab,，，，，,, x,,12,3fx2,3解:对称轴，故函数在区间上单调。 ，，,,,,0 ,,fxf3325ab，，,a,1，，，，,,,maxa,0fx2,3(1)当时，函数在区间上是增函数，故 ; ,,，，,,,,,fxf,2b,0，，，，22，,b,,,min, ,,fxf2b，,25a,,1，，，，,,,maxa,0fx2,3(2)当时，函数在区间上是减函数，故 ,,，，,,,,,fxf,3b,3，，，，322ab，，,,,,min, 2fxxaxx,,，,21,1,3例2、求函数的最小值。 ，，,, 解:对称轴xa, 0 a,1yfa,,,122(1)当时，; ，，min 213,,ayfaa,,,1(2)当时，; ，，min a,3yfa,,,3106(3)当时， ，，min 改:1(本题若修改为求函数的最大值，过程又如何, a,2fxfa,,,3106解:(1)当时，; ，，，，max a,2fxfa,,,122 (2)当时，。 ，，，，max 2(本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行, a,1 解:(1)当时，，; fxfa,,,3106fxfa,,,122，，，，，，，，maxmin 212,,a(2)当时， ，; fxfa,,,3106fxfaa,,,1，，，，，，，，maxmin 223,,a(3)当时，，; fxfa,,,122fxfaa,,,1，，，，，，，，maxmin a,3(4)当时， ，。 fxfa,,,122fxfa,,,3106，，，，，，，，maxmin 2例3、求函数在区间上的最小值。 tt,1，yxx,,，43,, 解:对称轴 x,20 22,tt,2(1)当即时，; yfttt,,,，43，，min tt,,，2112,,t(2)当即时，; yf,,,21，，min 221,，tt,1(3)当即时， yfttt,，,,12，，min 2例4、讨论函数fxxxa,，,，1的最小值。 ，， 2xa,,xxa，,，1,2fxxxa,，,，,1解:，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为，，,2xa,xxa,，，1,, 111111x,,,,aa,直线x,,，，当a,,，，时原函数的图象分别如下(1)，(2)，(3) 222222 113,,a,,因此，(1)当时，; fxfa,,,,，，,,min224,, 112,,,afxfaa,,，1 (2)当时，; ，，，，min22 113,,a, (3)当时， fxfa,,，，，,,min224,,