不完全信息动态三维价格博弈模型及其分析

不完全信息动态三维价格博弈模型及其分析 不完全信息动态三维价格博弈模型及其分 析 昌吉学院2006年第3期 不完全信息动态三维价格博弈模型及其分析 苗杰蔡华2 (新疆大学数学与系统科学学院新疆鸟鲁木齐830046) 摘要:在相关文献的基础上,进一步讨论在单位生产成本为不完全信息条件下,两个企业关于具有不替 代性的三种产品价格的动态三维博弈模型,并求得其精练Bayes均衡,然后分析了企业对这三种产品价格进 行动态博弈的精炼Bayes均衡相当于对这三种产品价格单独进行博弈的精炼Bayes均衡的简单组合. 关键词:三维;不完全信息;精炼Bayes均衡 中图分类号:029文献标识码:A文章编号:1671—6469(2006)03—0120—05 1,引言 在现实经济生活中,存在许许多多博弈人同 时在多个方面或多领域内博弈的现象.并且所博 弈的各个方面或各个领域之间存在着一定的相互 联系或影响.如两个企业或多个企业同时对多种 产品价格进行博弈并且所博弈的这几种产品在市 场上相互之间存在着影响(如替代性),由于这类 博弈具有多维眭,因此称之为多维博弈J,着者还 在该文中对完全信息静态多维Bertrand模型进行 了讨论,此外,还对不完全信息静态多维Bertrand 模型进行了讨论,[J进而讨论了关于相互之间具 有替代型两种产品的不完全信息二维Bertrand博 弈的动态形式.3本文讨论不完全信息动态三维 价格博弈模型.当两个企业对三种具有替代关系 的产品进行价格博弈时计算太繁琐,所以本文主 要讨论两个企业不存在替代关系的三种产品价格 的动态三维博弈模型,并求得其精练Bayes均衡, 然后分析了企业对这三种产品价格进行动态博弈 的精炼Bayes均衡相当于对这三种产品价格单独 进行博弈的精炼Bayes均衡的简单组合. 2,不完全信息动态三维Bertrand模型及其贝 叶斯均衡 假设某地区有两个企业生产不具有一定替代 关系的三种产品,并且两个企业所生产的同种产 品在质量上有差异;再假设两个企业生产的这三 种产品完全供给该地区,并垄断该地区这二种产 品的市场.在企业1和企业2的三种产品单位生 产成本为不完全信息条件下,如果企业1先行动. 企业2后行动,那么两个企业如何选择这三种产 品的价格策略才能使各自的总利润最大化,这个 问题属于不完全动态三维Bertrand博弈模型. 设企业i选择这三种产品的市场价格为(Pi1' p泣,pi3)I>0,i=1,2,(pil,p泣,pi3)?pilxp泣×pi3,Pil xP泣×pB表示企业i这三种产品的价格策略空间 (即可选择的价格策略集合),第一个下标表示企 业,第二个下标表示产品,由于在市场上这三种产 品之间不存在替代性,那么对于一个企业的某一 种产品,其顾客需求量只与对手同类产品的市场 价格有关.因此,企业i的第l,2,3种产品顾客需 求函数分别为 Qil=a—pi1+apil(1) Qia=b—p控+f3Ij2(2) Qi3=c—pi3+Ypj3(3) 其中i,j=1,2,i?j代表不同的企业;a(a>0) 表示企业j的第一种产品市场价格对企业i的第 一 种产品顾客需求量的影响系数;13(13>0)表示企 业i的第二种产品市场价格对企业i的第二种产 收稿日期:20o一19 第一作者简介:苗杰(19r78一),女,昌吉学院数学系,助教,研究方向:ig筹学与控制论 (数理金融). 120 昌吉学院2006年第3期 品顾客需求量的影响系数;7(7>0)表示企业j的 第三种产品市场价格对企业i的第三种产品顾客 需求量的影响系数(注:上式中实质有一点假设: 在市场上两个企业所生产的同一种产品相互之间 有相同的影响系数). 在不影响讨论问题情况下,我们不考虑固定 生产成本.假设企业1所生产的三种产品单位生 产成本分别为c…cl2和cI3,且每种产品单位成 本可能有两种类型:低单位成本和高单位成本,即 ch和c,cL2和cH2,cL3和c,上标L和H分别表 示低单位生产成本和高单位生产成本,则有 ch<cf{,cL2<c,cL3<c,于是企业1可能有的 Ui=Ui(pil,Pi2,pi3,Pjl,pj2,p) 成本类型为:(cLl,cL2,cL3),(cLl,cL2,c),(cLl, cH2,c),(c,cH2,c),(c,cL2,cL3),(c,c, cL3),(c,cL2,c),(cLl,cH2,cL3),.再假设企业 2所生产的三种产品单位生产成本分别为C2.,C22 和C2,,并企业2三种产品的单位生产成本只有企 业2自己知道,企业1不知道,但知道企业2三种 产品的单位生产成本概率分布,不妨设其概率密 度函数为F(C2l,C22,C23),且C2l,C22和C23是相互 独立的,即有F(C2l,C22,C23)=Fl(C21)?F2(C22).F3 (C23). 企业i的总利润函数为 = [a—Pil+apj1][PCil]+[b—Pi2+][pi2一Ci2]+[c—Pts+"/Pj3][Pi3一Cis](4) 首先讨论企业1的单位成本为(CLl,CL,CL3)的情形. 当企业2的三种产品单位生产成本为c2l,c22和c2s,企业2的总利润函数为 U2=U2(p2l,p22,p23,Pll,Pl2,Pl3) = Q2l[P2l—C21]+=Q=[p22一C22]+=Qzs[trzs—c2s] = [a—P2l+apl1][P2l—C21]+[b—p22十l2][p22一C22]+[C—p23+7pl3][p23一c2s](5) 由于上式利润函数是光滑可导的,因此可以求关于p2-,p22和p23的导数,并令=.,=., :一p2l+l+a—p2l+印ll=一2p2l+l+a+apll=0(6) =一p22+C22+b—p22+l2:_2p22+C22+b+l2_0(7) =一p23+C23+c—p23+l3:一2p23+C23+c+l3=0(8) ]+[斟搓 整理得: 00 00 00 121 (9) 1???????j 1???????j abC +++ —......................L + 1???????j l23 ppp —......................L 昌吉学院2006年第3期 p2l=(叩ll+C2l+a).(10) p22=(l2+C22+b)(11) p23= 1( l3+C23+c)(12) 第二阶段: 当企业1的成本是(cLl,cL2,cL3)时,由(4)式可知企业1的总利润函数为 ul=[a—pll+ap21][PH—ch]+[b—Pl2+][Pl2一cL2]+[c—Pl3+][Pl3一cL3] 对于企业1,由于不知道企业2三个产品的具体单位成本,而只知道其联合概率分布,企业1只能希 望它的期望利润最大化来选择最优价格策略向量.企业1盈利函数的期望利润 EUl=?F(C2l,C22,C23)ulldC22dC23 展pEU1=[a—pll+a?F(C21)F(C22)F(C23)p2ldc2ldcdc](pll—ch)(13) [b—pl2+p?F(C21)F(C22)F(C23)p22dC2ldC22dC23](pl2一cL2) [c—pl3+7?F(C21)F(c22)F(C23)p23dc2ldc22dC23](pl3一cL3) 将(10),(11),(12)代入(13),整理得到 EU1=[a—Pll+1a2pll+1aa+C21](pll—cL1)(14) [b—P12+吉fj2pl2+吉+吉c22](pl2一cL2) [c—Pl3+吉pl3++吉7Ec23](pl3一cL3) 其中,EC21=』C2lFl(C21)dC2l,EC22=』C22F2(C22)dC22,EC23=』C23F3(C23)dC23 利用最优化一阶条件:0,_8EU1: 0,:0,计算并整理得到dp llpl2dpl3……一一一 (.【2—2)pll+(专a+1)a+吉C2l一(Ia2—1)ch=0(15) (fj2—2)pl2+(p+1)b+c22一(fj2—1)Ci=0(16) (一2)pl3+(吉7+1)c+c23一(吉一1)cia=0(17) 将(15),(16),(17)写成矩阵形式 20P 02 2一fj2lll2l- 一 JLpl3j 1a+1)a+C2l一(12— 1)cL (p+1)b+C22一(fj2—1)cL2 (吉7+1)c+吉7Ec一(一1)cia 由(18)式得到企业1的最优策略向量为 目=ch.2a+aa+C2l2.2(2一Ct2).2b++C222.2(2一fj2) CL3.2c++ 2.2(2一) 将(19)式代入(9),得到企业2的最优策略向量为 122 (18) (19) 昌吉学院2006年第3期 lpl2I=lI LPI3j ach. 2aa+oc2a+oc2Ec21. a+c2l 一 4+—+?厂 睦.竖??堡.—b+—C'-a 4十4(2一(;2)十2 7cL3. 2c7+72c+72EC23. c+c23 4十4(2一)十2 (20) 以上两式构成了当企业1的单位成本为(ch,ch,cL3)时的精练贝叶斯三维均衡. 当企业1的成本分别为(ch,ch,c),(ch,cH2,c),(c,c,c),(c,ch,cL3),(c,cH2,cL3), (c,cL2,c),(ch,cH2,cD时,同理分别可以得到两个企业的精练贝叶斯三维均衡,只需在上面得到的 均衡中将(cLl,ch,cL3)分别换成(cLl,ch,cH3),(ch,cH2,c),(c器,cH2,cH3),(c器,ch,ch),(cHl,cH2, cL3),(c}l,cL2,cH3),(ch,cH2,cL3)即可. 3,对每种产品价格单独进行博弈的精练贝叶斯均衡 下面讨论如果三种产品不存在替代关系,并且在同样不完全信息条件下,两个企业分别对每种产品 价格单独进行博弈的情形. 关于产品1,当企业1的单位成本为ch时,两个企业对产品1单独进行博弈,企业1和2的利润函 数分别为 Ul=[a—Pl1+ap21][Pll—ch](21) U2=[a—P2l+apl1][p2l一](22) 对企业2的利润函数U2,利用最优化一阶条件=0,z侍到-3U2 =一p2l+C2l+a—p2l+叩ll=一2p2l - I-C2l-I-a-I-apn=0 于是企业2的最优反应函数为p2l: 将上式p2l代入Ul,得到Ul:[a—pll+a][pll—c] 由(21)式,企业1关于产品1的期望利润EUl=』Fl(C21)uldCal,利用最优化一阶条件=0,得 到(oc2—2)pll+(a+1)a+QEC2l=(oc2—1)CL=0,其中ECal=』C2lF,(c21)dC2l.得到=+ , 再将其代入,得到=ach++ 学 于是得到了两个企业关于产品1的价格博弈的精练贝叶斯均衡{p^,}为 Pn=+,P21=+ 高+c+?百'+—+— 同理,能得到关于产品2,当企业1的单位成本cL2时,两个企业对产品2单独进行博弈的精练贝叶 斯均衡=ch +++(24) 同理,能得到关于产品3,当企业1的单位成本为cL3时,两个企业对产品3单独进行博弈的精练贝 叶斯均衡为,p矗=ch +— 2c+c7+7EC,~ , p鑫=+—2c7_+c72+"taEC_m +(25) 从(23),(24)和(25)得到的关于产品1,产品2和产品3的单独价格博弈的精练贝叶斯博弈均衡实 质就是(19)(20)式精练贝叶斯三位均衡的分量. 这表明当企业进行不完全信息动态的三种产品价格博弈,且这三种产品不存在替代关系时,其精练 贝叶斯三维均衡相当于对各种产品单独博弈得到的精练贝叶斯均衡的简单组合. 1, 昌吉学院2006年第3期 4,结束语 上面在两个企业的三种产品的单位生产成本都是不完全信息情况下,讨论了对不存在替代性的这 三种产品价格同时进行了动态博弈的模型,并获得了其精练贝叶斯三维均衡.它相当于对三种产品单 独价格博弈得到的精练贝叶斯均衡的简单组合.当三种产品具有一定替代性时,只要把上面的三种产 品顾客需求函数改为Qil:a—pil+apjl+一p~2+ ,' pg+ ,l pi3+ ,' p~ , Q恐:b—pi2+j2+盟?+e2 Pi3+ ,' pj3 , Qi3:c—pi3+"rpo++,3Pi2 ,' +P~ ,其中(l>0),,l(,l>0)分别表示第二种产品和第三 种产品的平均市场价格对企业i的第一种产品顾客需求量的影响系数:(赴>0),E:2(E:2>0)分别表示第 一 种产品和第三种产品的平均市场价格对企业i的第二种产品顾客需求量的影响系数;(>0),e3(e3 >0)分别表示第一种产品和第二种产品的平均市场价格对企业i的第一种产品顾客需求量的影响系 数.使用类似的方法可以得到存在替代性的三种产品价格同时进行动态博弈模型,及其精练贝叶斯三 维均衡.由于篇幅所限,将另文讨论. 参考文献: [1]谭德庆.胡培,Bertrand双寡头多维博弈模型及其均衡[J].西南交通大学,2002,(6):698—702 [2]谭德庆.刘光中,不完全信息静态多维Bertrand模型及其分析[J].中国管理科学,2004,(1):85—88 [3]谭德庆.胡培,不完全信息动态二维价格博弈模型及其均衡[J].数学的实践与认识,2005,(12):36—43 (上接87页)欣赏具有较高艺术水准的音乐会(这 里主要是尤指钢琴独奏,重奏,协奏等音乐会),使 他们能够在现场切身体会和感受到钢琴演奏艺术 的无穷魅力,从而激发起更高的钢琴学习热情. 另一方面,我们也可以经常性地安排,组织学生自 己的各种形式的钢琴音乐会,促使他们走出琴房 和教室,走上钢琴演奏的舞台,展示自己勤学的丰 硕成果.这类音乐会可为音乐教育专业学生开展 其必不可少的艺术实践活动创造有利条件,同时, 也为学生乃至教师提供了相互观摩交流和学习的 良好机会,"教学相长"也就是这个道理. 综上所述,本文以现代教育理念及现代教育 技术为基本依据,参照国内外同类课程的有益经 验,从教学内容和课程体系这两个角度讨论了钢 琴课程的教改问题.21世纪人类社会将更加趋 于全球一体化和多元文化的世纪,从世界各国的 课程改革的经验当中,我们知道以弹性制或多元 化的课程结构将更加有利于学生的综合素质的提 l24 高和综合发展.反之,一元化或过于单一的课程 结构只会使学生的思维水平停滞于同一层次上, 阻碍学生个性的发展,禁锢学生的创造能力,是不 符合复合型人才的培养的.作为一名教师,应该 n,-tN积极吸收消化当今世界上最先进和最前沿的 教学思想和教学方法,以更新颖的教学方法和理 念加快促进音乐教育专业学科内部各课程之间的 合理交叉与优化整合,使我们的教学工作更加符 合学生的实际需要,也更加符合二十一世纪社会 对人才素质的全面需求,使高师钢琴教学改革标 准顺应高校教育改革和自身教学专业训练发展的 总体趋势. 参考文献: [1]王耀华,邓锦扬,马达,宋谨着.高师音乐教育学 [M].福建人民出版社,1996 [2]陈狭着.课程论[M].人民教育出版社,1993 [3]陈时见主编.课程与教学理论和课程与教学改革 [M].广西师范大学出版社,20012001