几何学概论期末试题及答案

《几何学概论》试题（１） 1. 试确定仿射变换，使 轴， 轴的象分别为直线 ， ，且点（1，1）的象为原点.( ) 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.( ) 3. 写出直线 + - =0, 轴, 轴,无穷远直线的齐次线坐标.( ) 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.( ) 5. 已知 (1,2,3), (5,-1,2), (11,0,7), (6,1,5),验证它们共线,并求( )的值.( ) 6. 设 (1,1,1), (1,-1,1), (1,0,1)为共线三点,且( )=2,求 的坐标.( ) 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.( ) 8.一维射影对应使直线 上三点 (-1), (0), (1)顺次对应直线 上三点 (0), (1), (3),求这个对应的代数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式.( ) 9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( ) 《高等几何》试题（２） 1.求仿射变换 的不变点和不变直线. ( ) 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.( ) 3.求证 (1,2,-1) , (-1,1,2), (3,0,-5)共线,并求 的值,使 ( ) 4.已知直线 的方程分别为 ， ， ，且 ，求 的方程.( ) 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( ) 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应. ( ) 7.求两对对应元素,其参数为1 ,0 2,所确定对合的参数方 程. ( ) 8.两个重叠一维基本形 成为对合的充要条件是对应点的参数 与 满足以下方程: ( ) 《高等几何》试题（３） 1. 求仿射变换 的不变点和不变直线. ( ) 2. 求椭圆的面积.( ) 3. 写出直线 + - =0, 轴, 轴,无穷远直线的齐次线坐 标.( ) 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.( ) 5. 已知直线 的方程分别为 ， ， ，且 ，求 的方程.( ) 6. 在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. ( ) 7. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( ) [2005—2006第二学期期末考试试题] 《高等几何》试题（A） 一、 填空题（每题3分共15分） 1、     是仿射不变量，      是射影不变量 2、 直线 上的无穷远点坐标为            3、 过点（1,i,0）的实直线方程为                4、 二重元素参数为2与3的对合方程为            5、 二次曲线 过点 的切线方程                                                                                                                                                                                    二、 判断题（每题2分共10分） 1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形                              （  ） 2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变                                （  ） 3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边                                （  ） 4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集    （  ） 5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线                              （  ） 三、(7分)求一仿射变换，它使直线 上的每个点都不变，且使点（1,-1） 变为（-1，2） 四、（8分）求证:点 三点共线，并求 使 五、(10分)设一直线上的点的射影变换是 证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。 六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。 七、（10分） （1）求点（5，1，7）关于二阶曲线 的极线 （2）已知二阶曲线外一点 求作其极线。（写出作法，并画图） 八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理 九、（10分）求通过两直线 交点且属于二级曲线 的直线 十、（10分）已知 是共线不同点， 如果 《高等几何》试题（B） 一、 填空题（每题3分共15分） 1、 仿射变换 的不变点为                      2、 两点决定一条直线的对偶命题为                                3、 直线[i ,2,1-i] 上的实点为                4、 若交比 则             5、 二次曲线中的配极原则                                                                                                                                                                                    二、判断题（每题2分共10分） 1、不变直线上的点都是不变点                                            （  ） 2、在一复直线上有唯一一个实点                                          （  ） 3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应                        （  ）                            4、射影群 仿射群 正交群                                            （  ） 5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数            （  ）                        三、(7分) 经过 的直线 与直线 相交于 ，求 四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群 五、（10分）已知直线 的方程 分别为： 求证四直线共点，并求 六、(10分) 利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点 七、（10分）求（1）二阶曲线 的切线方程 （2）二级曲线 在直线L[1，4，1] 上的切点方程 八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法） 九、（10分）已知二阶曲线（C）： （1） 求点 关于曲线的极线 （2） 求直线 关于曲线的极点 十、（10分） 试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束 《高等几何》试题（C） 一、填空题（每题3分共15分） 6、 直线 在仿射变换 下的像直线              7、 轴 轴上的无穷远点坐标分别为                     8、 过点（1,-i ,2）的实直线方程为                9、 射影变换 自对应元素的参数为            10、 二级曲线 在直线上[1,4,1]的切点方程                                                                                                                                                                      三、 判断题（每题2分共10分） 1、仿射变换保持平行性不变                                              （  ） 2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变                                （  ） 3、线段中点与无穷远点调和分离两端点                                    （  ） 4、 如果 点的极线过 点，则 点的极线也过 点                        （  ） 5、不共线五点可以确定一条二阶曲线                                      （  ）三、(7分)已知 轴上的射影变换 ，求坐标原点，无穷远点的对应点  四、（8分）已知直线 的方程分别为 且 求直线 的方程。 五、（10 分）已知同一直线上的三点 求一射影变换使此三点顺次变为 并判断变换的类型， 六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。 七、（10分）求射影变换 的不变点坐标 八、（10分）叙述并证明帕斯卡定理 九、（10分）求通过两直线 交点且属于二级曲线 的直线 十、（10分）试证:双曲型对合的任何一对对应元素 ,与其两个二重元素E,F调和共轭即( )=-1  [参考答案] 高等几何标准答案（A） 一、 填空题：（每空3分共15分） 1、单比，交比  2、（1,-3,0）  3、     4、 5、 二、判断题（每题2分共10分） 1、错，2、错，3、对，4、错，5、对 三、解：在直线 上任取两点           2分 由 设仿射变换为 将点的坐标代入可解得 7分 四、证明：因为 所以三点共线                  4分 由：   解得   所以                    8分 五、证明：令 解得   即有两个 自对应点                                  4分 设k与 对应，有 为常数    10分                    注：结果 有 也对，不过顺序有别。 六、证明：设两直线为： 相似变换为：     将变换代入直线a的方程得：     5分 即 即两直线的夹角是相似群的不变量                      10分 七、解：（1）设（5，1，7）为P点坐标， 二阶曲线矩阵为 A=                                       所以点P的极线为SP=0 即  得  x2=0                5分 （2）略 八（在后边） 九、解：通过直线 的交点的直线的线坐标为 2分 若此直线属于二阶曲线则有 即   解得                 10分 十、解：设 由 由 所以                         10分 八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。                                    4分 证明; 如图三点形ABC与A1B1C1的三对应边交点L,M,N共线，证明对应顶点连线共点,考虑三点形BLB1与CMC1则有对应顶点连线共点N ，故对应边的交点A,A1,0共线 高等几何标准答案（B） 一、 填空题：（每题3分共15分） 1、 ,  2、两条直线确定一个交点，3、(2,-1,2) 4、     5、如果 点的极线过点 则 点的极线也过 点。 二、 判断题：（每题2分共10分） 1、错，2，对， 3、错， 4、对    ， 5、对 三、解：过 的直线方程为：                     2分 直线 与 的交点为                       4分 所以                                              7分 四、 证明：设平移变换的表达式为 T: 设任意两个平移变换为： 仍为一个平移变换 4分 又对任意变换T: 也是一个平移变换 所以平移变换的集合关于变换的乘法构成群。                    8分 五、 解：方程转化为齐次坐标形式： 2分 所以四直线共点。              6分 因为： 所以： 10分 六、 证明：如图 考虑三点形 与 则 平行 ， 也平行 所以 与 相交于无穷远处。同理 与 与 相交于无穷远处。故共线。有的萨格定理，三点形对应顶点连线共点。即 相交于一点。                            10分 七、（1）因为点 在二阶曲线上，所以切线方程为： SP=           5分 （2） 因为直线[1，4，1] 在二级曲线上所以切点方程为 TL=(1,4,1)                 10分 八、证明： （1）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应线的交点在一条线上。  3分                                （2）如图 因为 共线，所以   同理  故有 即 同理   三式相加得   所以三点共线。                        10分 九、解： (1) 点的极线为： SP=(1,2,1) 9x1+2x2+4x3=0                          5分 （2）设直线的极点为 则有 解方程组可得极点             10分 十、证明：如图 为圆内接正方形， 为圆上任意点。因为 所以 为角 的平分线。 同理可证明 是角 平分线。即 是角 的内外角平分线。 所以直线 构成调和线束。                            10分 高等几何标准答案（C） 一、 填空题：(每题3分共15分) 1、     2、（1，0，0），（0，1，0） 3、     4、-1，3      5、 二、判断题：（每题2分共10分） 1、 对 ， 2、错， 3、对， 4、对， 5、错 三、解：变换化为齐次坐标形式：           3分 将坐标原点（0，1），无穷远点（1，0）代入得对应点分别为： （-1，3）和（2，1）                                  7分 四、解：由题意得   设 则 3分 而       所以 整理得：                                   8分 五、解：在直线上建立适当坐标系使 的坐标分别为 3分 则有 设变换为   将坐标代入可求得 7分 非齐次形式为： 因方程  无实数解  所以变换是椭圆形。          10分 六、证明： 设两直线为： 相似变换为：     将变换代入直线a的方程得：     5分 即 即两直线的夹角是相似群的不变量                                                        10分 七、解： 由特征方程：     4分 将   得   ,故 上的点都是不变点 时不变点列。                                    10分 八、对任意一个内接于非退化二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。                                  证明： 如图 对应边交点分别为 ，以 为射心 与 成射影对应，而 与点列 成透视对应 与点列 成透视对应 所以点列 与 成射影对应。而 位自对应点，所以两点列成透视对应。 故对应点连线共点。 即 共点， 交点 在 上。      10分 九、解：通过直线 的交点的直线的线坐标为 2分 若此直线属于二阶曲线则有 即   解得 所求直线的坐标 [1,2,2]和[-1,-14,10]                      10分 十、证明： 为自对应元素， 与 对应 则有   而 所以   得   因为 不重合 故                                           10分