三元均值不等式均值不等式 姓名
一、均值不等式。
1、二元均值不等式
设
,则：
,当且仅当
时取等。
即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
2、三元均值不等式
设
,则：
,当且仅当
时取等。
利用最原始的方法先证明：
，（
）。
证明：
所以:
把“
→ a ,
→ b ,
→ c”得
即
,当且仅当a = b = c时上式取”=”号.
*3、n元均值不等式
设
,
调和平均数：
几何平均数：
算术平均数：
平方平均数：
则
...
均值不等式 姓名
一、均值不等式。
1、二元均值不等式
设
,则：
,当且仅当
时取等。
即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
2、三元均值不等式
设
,则：
,当且仅当
时取等。
利用最原始的方法先证明：
，（
）。
证明：
所以:
把“
→ a ,
→ b ,
→ c”得
即
,当且仅当a = b = c时上式取”=”号.
*3、n元均值不等式
设
,
调和平均数：
几何平均数：
算术平均数：
平方平均数：
则
，当且仅当
时取等。
二、利用三元均值不等式求最值
设
,则：
,当且仅当
时取等。
变形1：(1)
（
，
）等号成立
。
积为定值时，和有最小值（积定和最小）
变形2：
（
，
）等号成立
。
和为定值时，积有最大值（和定积最大）
注意：一正，二定，三相等
例1、 求函数
的最小值。
:变式1：求函数
的最小值。
例2、 求函数
的最大值。
变式2：求函数
的最大值。
变式3：求函数
的最大值。
变式4：求函数
的最大值。
例3、 已知
，且
，求
的最大值。
:变式5：已知
，且
，求
的最小值。
例4、 已知
求
的最小值。
:变式6：已知
求
的最小值。
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