导数例题精选

导数例题精选 2x,01((2014届惠州二模)(2)证明:当时，; ln(1)，,xx 22x(x,1)'2解:(2)令 则 g(x),1,,,0g(x),x,ln(1，x)221，x1，x 2?上为增函数。? ? gx()0在，，,gxg()(0)0,,ln(1)，,xx，， 32(为何值时，函数有一个零点,两个零点,三个零点, afxxxa()3,,， 2,解:令 fxxxx,,,,,,,3301,1，，12 , 、、的变化情况如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf fxxfx()，， x ,,,,1,，,1,,1 (,1，1) 1 ，，，， ,fx ，，， 0 , 0 ， fx()极大值 极小值 ,,,,11,，,,1,1?的单调递增区间是和，的单调递减区间是 fx()fx()，，，，，， 3faa,,,,，,，,，11312x,,1fx当时，有极大值 ，，，，，，，， 3x,1fxfaa11312,,，，,, 当时，有极小值 ，，，， (1)若有一个零点， fx() a，,20,a，,20,a,,2a,2则或，解得或 ,,a,,20a,,20,, a，,20,a，,20, (2)若有二个零点，则或 fx(),,a,,20a,,20,, a,,2a,2解得或 a，,20,,,,22a (3)若有三个零点，则，解得 fx(),a,,20, a,,2a,2综上，当或时，fx()有一个零点; a,,2a,2当fx()或时，有二个零点; ,,,22afx()当 时，有三个零点。 11,a32()3(【2012高考天津文科】(本小题满分14分)已知函数，fx,x，x,ax,a32，其中a>0.(I)求函数的单调区间;(II)若函数在区间(2，0)内,xf(x)f(x) 恰有两个零点，求a的取值范围; 2,,解:(I)，由得 xxa,,,,1,0fx()0,fxxaxaxxa()(1)(1)(),，,,,，,12 ,当变化时,的变化情况如下表: xfxfx(),() xa ,1 (1,),a(,)a，,(,1),,, , 00，， , fx() 极大值 极小值 fx() 故函数的单调递增区间是、,单调递减区间是 f(x)(,)a，,(1,),a(,1),,, (II)由(I)在内单调递增,在内单调递减,从而函数在 fx()(2,1),,(1,0),f(x) f(2)0,,, 11,f(1)0,,(0,)(2，0)内恰有两个零点当且仅当,解得，所以a的取值范围是 0,,a,,33,f(0)0,, 32ab,,R(已知函数4((1)求函数的单调递增区间; fx()fxxaxb(),,，，，， bRa,3,4(2)若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围( fx(),, 2a,,322,解:(1)因为，所以( fxxaxb(),,，，fxxaxxx()323,,，,,,,,3,, ,a,0当时，，函数没有单调递增区间; fx()fx()0, 2a2,,,a,00,,x当时，令，得(故的单调递增区间为; fx()fx()0,0,a,,33,, 2a2,,,a,0,,x0当时，令，得(故fx()的单调递增区间为( fx()0,a,0,,33,, 2,,a,3,4,,,0(2)解:由(1)fx()知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为0,a，，,,,,3,, 2,,x,0fb0,fx()和(所以函数在处取得极小值， a,，,，，,,3,, 32a24aa,,函数在处取得极大值( x,fx()fb,，,,3327,, 由于对任意，函数在上都有三个零点， Ra,3,4fx(),, ,f00,,，，b,0,,34a,,3所以即解得( ,,,b0,2a,,,4af,0.27，,b0.,,,,3,,27,, 333,,443a，4a因为对任意，恒成立，所以( a,3,4b,,b,,,,,,4,,,,272727,,max b所以实数的取值范围是( ,4,0，， 32aR,5. 设函数,其中, fxxaxax()23(1)68,,，，， (2)若在(-?，0)上为增函数，求的取值范围。 afx() 2,解法一: fxxaxaxax()66(1)66()(1),,，，,,, ,令得,. xax,,,1fxxax()6()(1)0,,,,12 ,a,1时，若x?(-?，)?(1，+?)，则， 当afx()0,所以在(-?，)和(1，+?)上为增函数( afx() 01,,a故当时, 在(-?，0)上为增函数( fx() 2a,1,当时，，在上为增函数， fx()(,),,，,fxx()6(1)0,,, a,1故符合题意。 ,a,1当时，若，则， xa,,,，,(,1)(,):fx()0, a,1所以在和上为增函数，故符合题意。 fx()(,1),,(,)a，, a,0综上，的取值范围是 a 2,解法二:?在(-?，0)上为增函数 ? fx()fxxaxa()66(1)60,,，，,在x,(-?，0)上恒成立，即在x,(-?，0)上恒成立 (1)(1),,,xaxxax,a,0x,a?在(-?，0)上恒成立，?的取值范围是 26. (2014届珠海一中等六校联考)已知函数(a,R) fxxax()ln,， a(2)若函数f(x)在(1,，,)为增函数，求的取值范围; a,fxx()20,，,f(x)(1,，,)x,，,(1,)解:函数在为增函数，所以当时，恒成立， x 22,,x,1分离参数得:，设，则?当时，，ax,,2gxx()4,,gx()0,gxx()2,, a,,2在是减函数，?，从而有:. gx()(1,，,)gxg()(1)2,,, 1,x17.已知函数，若函数在上为增函数， [,+),fxx()ln,，fx()2ax 求正实数的取值范围; a 111ax,,x,0解法一:(2)，因为为正实数，由定义域知， fx(),,,a22xaxax 11所以函数的单调递增区间为，因为函数在上为增函数， [,)，,[,)，,fx()a2 11a,2所以，所以 0,,a2 111ax,1,解法二:，若函数在[,+),上为增函数， fx(),,,fx()222xaxax ax,11,0则在[,+),上恒成立， fx(),,22ax 1x,0ax,,10因为[,+),为正实数，由定义域知所以在上恒成立， a2111[,+),a,在上恒成立，所以a,,()2 即max2xx a2fxx()ln,,8.已知函数，若在上恒成立，求的取值范围. a(1,)，,fxx(),x a22xx，,,ln0解:若在(1,+)上恒成立，即在(1,+)上恒成立, fxx(),,,x 3axxx,,ln等价于在(1,+)恒成立， , 32,令.; gxxxxx()ln,(1),,,gxxxx()1ln3,(1),，,, 2,令， hxgxxxx()()1ln3,(1),,，,, 2116,x,,x,1hxx()6,,,则显然当时， hx()0,xx hxh()(1)20,,,,在(1,+)上单调递减,, hx(),max ,gxg()(1)1,,,即恒成立,说明在(1,+)单调递减,; gx()0,gx(),max 3a,,1axxx,,ln所以在(1,+)上恒成立，所以. , fx()9(已知函数(2)若函数在是单调减函数， ，，，，，，，，fx,lnx,ax,1,a,0.1,，,a求实数的取值范围 11,ax/f，，x,,a,fx()解:(2) 函数在是单调减函数， ？，，1,，,xx 11,,,x1a,fxa()0,,,?，即对恒成立 xx 1x,1a,101,,a[1,)，,？ ? ? 故实数的取值范围是 x a10(已知函数 fxxaxaR()(1)ln,,,,，,x (?)若在上的最小值为，求的值。 ,21,eafx(),, (1xxa,,()),x,0解: f (x)的定义域为,x |,( fx(),2x ,a,1?当时，在上恒成立，?在恒为增函数( f(x),0f(x)[1,e][1,e] a,3，得(舍去)( ？[f(x)],f(1),1,a,,2min ,,1,a,e1,x,ax,a或1?当 时，令，得(当时， ， f(x),0f(x),0 ,在上为减函数;当时，，在上为增函数; a,x,ef(x)(1,a)f(x),0f(x)(a,e)？？ ，解得(舍去)( ？[f(x)],f(a),a,1,(a，1)ln(a),,2a,emin ,ae,?当时，在上恒成立，此时在恒为减函数( f(x),0f(x)[1,e][1,e] a？[f(x)],f(e),e,,(a，1),,2，解得 .综上可知 . a,ea,emine 11(已知函数(?)当a >0时，求函数在1,2上的最小值. fxxaxaR()ln(),,,fx(),, 1,,ax()11a,a,0x,解:(?) ??，令得 ,fx()0,fxax()(0),,,,axx 1a,1,1? 当,即时,函数在区间[1,2]上是减函数, fx()a ?的最小值是. fx()fa(2)ln22,, 11,2a,? 当，即时， 在区间[1,2]上是增函数，?的最小值是. fx()fx()fa(1),,a2 1111，，，，12,,,,a1?当，即时，函数在上是增函数，在是减函数( fx()1,,2,,,,a2aa，，，， 1,,aln2又，?当时,最小值是; ffa(2)(1)ln2,,,fa(1),,2 ln21,,a当时,最小值为. fa(2)ln22,, 0ln2,,aa,n2lfxa(),综上可知,当时, 函数fx()的最小值是;当时，函数fx() min ,2afx()ln2,的最小值是.min 2fxxaxax,,，,ln212((2014届广州市高三上学期末文数)已知函数( ，，，， 2fx()(2)求函数在区间上的最大值 [,]aa (21)(1)xax,，2,01,,a12(解:(2)因为，所以(( aa,fx(),,x ax，,10因为，所以( x,，,(0,) 11,,当时，;当时，( x,0,,xfx()0,fx()0,22 11,,,,所以函数在上单调递增;在上单调递减( fx()0,,，,,,,,22,,,, 12?当时，在上单调递增， 0,,afx()[,]aa2 1,a,,,12,232所以(?当即时，在fxfaaaaa()()ln2,,,，,fx(),,a,,,max1222,a,.,,211,,,,2上单调递增，在上单调递减， ,aa,,,,,22,,,, 12aaa,,,所以( fxf()ln21ln2,,,,，,,,,,,,max2424,, 1222,a?当，即时，在上单调递减， ,,a1fx()[,]aa22 2532fxfaaaaa()()2ln2,,,，,所以( ,,max 综上所述: 1322ln2aaaa,，,当0,,a时，函数在上的最大值是; fx()[,]aa2 a122,,1ln2当时，函数在上的最大值是; fx(),,a[,]aa422 253222ln2aaaa,，,当时，函数在上的最大值是(… 14分 ,,a1fx()[,]aa2 1aR,fxax()ln,,13((2014届揭阳一中、金山中学联考)已知函数.() x (2)求函数在上的最小值; fx()(0,]e 11aax，fx'(),,,,,解:(2)?， 22xxx a,0ax，,10?当时，?，? xe,(0,],,fx'()0 1fxfea()(),,,函数在上单调递减，? fx()(0,]emine 1a,0x,,?当时，令fx'()0,得 a 111a,,,,e,x,,(0,)当即时，对，有fx'()0,; eaa 1(0,),fx()即函数在上单调递减; a 11对，有，即函数在上单调递增; (,],exe,,(,]fx'()0,fx()aa 11?; fxfaa()()ln(),,,,,,minaa 11当即时，对有，即函数在上单调递减; a,,,,e,xe,(0,]fx'()0,fx()(0,]eea 1?; fxfea()(),,,mine 11,,,,aa(),,ee综上得 fx(),,min1,,,,,,aaaaln()(),,e 14((2008浙江卷)已知是实数，函数。 afxxxa()(),,求函数在区间上的最小值 ,,0,2fx() xaxa,,3,x,0解:函数的定义域为，()( [0)，，,fxx(),，, 22xxa,0 若，在上单调递增，所以( fxf()(0)0,,fx()[02]，min aa，，,，06,,a若，在上单调递减，在上单调递增， fx()0，，2,,,,33,，，， aaa2,,所以( fx(),,,fmin,,333,, a,6若，在上单调递减，所以( fx()[02]，fxfa()(2)2(2),,,min 00，，a,, ,2aa,综上所述， fxa()06,,,,，，,min33, ,2(2)6,,aa，(, 215((2011辽宁文)设函数，曲线过P(1,0)，且在P点处yfx,()fxxaxbx()ln,，， 的切斜线率为2( (I)求a，b的值;(II)证明:fxx()22,,. b,fxax()12,，，解:(I) x fa(1)0,10,,，,,,即,,,ab,,,1,3.fab(1)2.122.,，，,,,由已知条件得，解得 2(II)的定义域为，由(I)知 fx()(0,)，,fxxxx()3ln,,， 2设则 gxfxxxxx()()(22)23ln,,,,,,， 3,，,2()(1)xx32 ,gxx()12,,,，,xx ,,当时当时01,()0;1,()0.,,,,,xgxxgx 所以在单调增加在单调减少gx()(0,1),(1,).，, x,0而,故当时,即 g(1)0,gxg()(1)0,,fxx()22,, 1216、(2014届衡水中学文数)(本题满分12分)已知函数f(x),x,alnx(a,R) 2(1)求的单调区间;(2)设，若在上不单调且仅在f(x)g(x),f(x)，2xg(x)[1,e] 处取得最大值，求的取值范围( ax,e 2axa,,)fxxx()(0),,,, 16、解:(1xx ,a,0当时，，此时只有递增区间。 fx()0,fx()(0,)，, ,,a,0xa,0,,xa当时，由，得;由，得 fx()0,fx()0, 此时递增区间为，递减区间为 fx()(,)a，,(0,)a 2ax，2x,a'2g(x),x,，2,(x,0)(2)，设 (x,0)h(x),x，2x,axx 2 若在上不单调，则， g(x)[1,e]h(1)h(e),0？(3,a)(e，2e,a),0 23,a,e，2e -------------10分 ？ 同时x,e？只要g(e),g(1)g(x)仅在处取得最大值，即可 225ee52a,，e,(3,，2e,)a得出:----------11分 的取值范围是---12分 ？2222