阅读课程-无理数(1)

阅读课程 为什么说2不是有理数 一、中国数学家对无理数的研究: 中国古代在处理开方问题时,不可避免地碰到了无理根数。中国早期的开方术见于刘徽的《九章算术》少广、勾股两章,起源于长度的测度。已知面积求正方形边长;已知体积求立方体棱长;已知圆面积求圆的直径;已知球体积求球的直径或直角三角形勾、股、弦互求。《九章算术》“少广”章的开(平)方术有“若开之不尽者,为不可开,当以面命之”,“令不加借算而命分,则常微少;其加借算而命分,则又微多。其数不可得而定。……故惟以面命之,为不失耳”,这说明刘徽认识到“加不加借算命分”都得到是精确值,只有用被开方数的方根表示才是精确的,接着他在“开方术注”中提一种更为精确的表示方根近似值的方法,即求微数法:“不以面命之,加定法如前,求其微数。微数无名者以为分子,其一退以十为母,其二退以百为母。退之弥下,其分弥细,则朱幂虽有所弃之数,不足言之”,就是用10进制小数来无限逼近无理数[3]。中算学家没有像希腊人那样在发现无理数时出现逻辑上的困难,又能顺利地将理数运算规则推广到无理数,因此把数学向前推进的同时,并没有深究无理数与有理数实质上的不同。由于并没有经历过西方的数学危机革命,中国的数学仍停留在“算术”阶段,在筹算开平方和开立方的基础上,我国从1世纪开始,逐渐摸索数值解高次方程的一般规律。北宋数学家贾宪,在前人的基础上,发明了开任意次幂的“增乘开方法”,它是我国古代数学史上一项杰出创造,是一个非常有效和高度机械化的算法,公元1819年英国数学家霍纳才得出同样的算法。贾宪的“增乘开方法”不仅适用于开任意高次方,而且能得出高次方程的数值解法。经过200多年的不断改善,到13世纪上半叶,由秦九韶最后完成完整的体系——秦九韶求实根法,即解高次方程的“正负开方术”。其方程的各系数可正可负,可以是整数或小数,开方得到无理根时,秦九韶发挥了刘徵首创的计算“微数”的思想,用十进小数作无理根的近似值。这一时期,数学人才辈出,有北宋的沈括、贾宪和刘益;南宋的秦九韶、杨辉;元代的李冶、朱世杰、郭守敬等,使宋元时期的数 学达到了中国古代数学的顶峰,尤其在代数领域达到了西方望尘莫及的水平 1 二、其他国家数学家对无理数的研究 毕达哥拉斯(Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间)从小就很聪明,一次他背着柴禾从街上走过,一位长者见他捆柴的方法与别人不同,便说:“这孩子有数学才能,将来会成为一个大学者。”他闻听此言,便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。毕达哥拉斯本来就极聪明,经泰勒一指点,许多数学难题在他的手下便迎刃而解。其中,他证明了三角形的内角和等于180度;能算出你若要用瓷砖铺地,则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满;还证明了世界上只有五种正多面体,即:正4、6、8、12、20面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数,直到毕达哥拉斯树。然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股定理),即:直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。据说,这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地,经常要计算面积,于是便发明了此法。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后,觉得不能只满足于用来算题解题,于是他试着从数学领域扩大到哲学,用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践,他提出“凡物皆数”的观点,数的元素就是万物的元素,世界是由数组成的,世界上的一切没有不可以用数来表示的,数本身就是世界的秩序。毕达哥拉斯还在自己的周围建立了一个青年兄弟会。在他死后大约200年,他的门徒们把这种理论加以研究发展,形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。 公元前500年,古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐,认为这将动摇他们在学术界的统治地位,于是极力封锁该真理的流传,希伯索斯被迫流亡他乡,不幸的是,在一条海船上还是遇到毕氏门徒,于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。 希伯索斯的发现,第一次向人们揭示了有理数系的缺陷,证明了它不能同连续的无限直线等同看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是,古希腊人 把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机,对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直觉、 经验 班主任工作经验交流宣传工作经验交流材料优秀班主任经验交流小学课改经验典型材料房地产总经理管理经验 而转向依靠证明,推动了公理几何学和逻辑学的发展,并且孕育了微积分思想萌芽。 不可约的本质是什么?长期以来众说纷纭,得不到正确的解释,两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”,17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。 然而真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。这才是真理! 无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环,也就是说它是无限不循环小数。常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中,无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信无理数的存在。但是他始终无法证明不是无理数,后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死,其罪名等同于“渎神”。 为什么说2不是有理数 人教版数学七年级下册第六章实数——“阅读与思考” 一、教学目标 1.通过阅读追溯勾无理数的历史,追寻前人的足迹,感悟前人的思想,品味无理数的文化 价值,提升民族自豪感. 2.通过思考分析和欣赏无理数证明的几种常见方法,理解数学知识之间的内在联系,领悟 反证法的思想,在自主探索创新证明的过程中,形成一定的创新意识和探究意识.二、教学重、难点 经历探索数学证明的过程. 三、教学过程 (一)教学 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 图 无理数 我国对无理数的研究阅读 希伯索斯发现无理数阅读 无理数的证明方法先思考,再交流 用反证法证明无理数先阅读,再思考 阅读课程阅读 (二)教学环节 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 教学环节教师活动学生活动设计意图 一、引入课题导入课题 在日常生产生活中,遇到如: 在一个直角三角形的田地 中,一条直角边和另一个直 角边都是1,那边斜边是什 么,引入课题 师:今天我和同学们一起追 寻前人的足迹,感悟前人的 思想. 通过在实践生活中问题,知 道今天学习的课题. 利用生活中的 问题,吸引学生 注意,激发学习 兴趣,同时显示 了今天的学习 方式:阅读与思 考. 二、阅读与思考1.什么是无理数点击进入 页面无理数. 师:认真阅读这段文字,思 考:为什么这些数叫做无理 数,怎么产生的 阅读文字,思考老师提出的 问题. 设置悬念,引发 思考,激发兴 趣. 2.我国古代无理数的发现 点击进入页面“我国古代无 理数的研究”. 师:阅读文字,谁来介绍一 下中国古典数学著作? 点击进入拓展阅读. 阅读文字,交流对中国古代 数学著作的了解,并进入拓 展阅读. 让学生知道我 国古代数学家 最早无理数,增 强民族自豪感. 师:阅读文字.阅读文字.让学生了解中国古代数学家对无理数的研究. 4.如何来证明一个数是无 理数”. 师:这是我国祖先的智慧阅读文字,并思考问题,然 后全班交流. 无理数的证明, 引导学生思考, 有利于学生推 理能力的发展. 5.用反证法如何说明一个 数是无理式 阅读文字,并思考问题,然 后小组交流,交流结束后展 示.反证法是一种不同于一般的证明方法,能更好地吸引学生注意和引发学生思考. 三、反思与小结点击进入页面“反思与小 结”. 师:根据问题,相互交流. 独立反思,然后交流. 进一步体会思 想和方法,感受 前人的伟大. 四、教学反思 虽然本节课只是一节选修课,但通过借助电子白板这一工具,融合文字和网络,让学生上了一堂不一样的数学课,得到了不一样的成长,也一定会在他们的心中留下抹不去的记忆. 1.经历了一次数学文化之旅.从3000年前走到现代,从中国到世界,感受历史人文,领略前人风采,正是这样一个阅读的过程,开拓了视野,感受到了不一样的数学,经历了一次数学文化的旅行. 证明思路: 证明方式一: 无理数不能写成两整数之比。 利用有理数和无理数的主要区别,可以证明√2是无理数。 下面给出欧几里得《几何原本》中的证明方法: 证明:假设√2不是无理数,而是有理数. 既然√2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式:√2=p/q. 再假设p和q没有公因数可以约,所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式. 把√2=p/q 两边平方得2=(p^2)/(q^2), 即2(q^2)=p^2, 由于2(q^2)是偶数,p 必定为偶数,因此可设p=2s, 由2(q^2)=4(s^2) 得q^2=4s^2 由于4s2是偶数,同理q2是偶数,而只有偶数的平方才是偶数,所以q必然也为偶数. 既然p和q都是偶数,他们必定有公因数2,这与前面假设p/q是最简分数矛盾. 这个矛盾是由假设√2是有理数引起的. 因此√2是无理数. 证明方式二: 反证法如下: 假如根号2是有理数,那么它一定可以用一个最简的(不能再约分的)分数m/n 表示,也就是m、n的最大公约数是1 则:m^2/n^2=2 所以m^2=2*n^2,所以m^2是偶数 偶数的平方一定是偶数,反之亦然,若一个偶数是完全平方数,那它的平方根也一定是偶数,所以m是偶数 假设m=2k,,k是整数。那么2*n^2=(2k)^2=4*k^2 所以n^2=2*k^2,与上面同理 所以说n也是偶数 既然m,n都是偶数,那么m/n就不是最简分数,它们的最大公约数就不是1, 至少2也是它们的公约数,很显然2>1,与原题设的1是它们的最大公约数矛盾故根号2是无理数 口诀记忆 √2≈1.414:意思意思 √3≈1.7320:一起生鹅蛋 √5≈2.236:两鹅生六 √7≈2.645:二妞是我 √8=2√2≈2.82842我发我发誓儿 e≈2.718:粮店吃一把 π≈3.14159,26535,897,932,384,6264,3383,27:山巅一寺一壶 拓展阅读: 东西方数学的比较与分析 由此可以看到第一次数学危机后,东方和西方的数学走向了两个不同方向,那么这种差异的产生究竟是因为什么呢?首先,东方中国的古代文化的经济基础基本上是农业经济。因此中国古代数学也与农业经济有着密切的关系。《九章算术》所记载的问题大都与农业生产有关,用来解决农田的测量、粟米的称量,农业水利 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 的测算等这种自给自足的自然经济的生产力状况 决定的生产力关系是以家族为中心、以血缘关系为纽带的宗法等级关系, 社会 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 是宗法等级制度。在这种社会制度的影响和作用下,形成中国古代稳定的上下尊卑等级秩序的文化心理。主要特点是静态的、和解的、自然的、消极的心理特点。造成安于现状的生活方式、工作方式、管理方式。另一方面,汉王朝建立以后的“重农抑商”政策使数学研究受不到贸易的诱惑。农业经济的财富有限和填饱肚子的生活状况,不允许人们的思想向实用以外的地方延伸;隋朝开始的科举制度也扼杀了大批在数学研究上具有不凡才华的人。这些都导致了中国古代数学过于注重于实际的传统从而限制了对理论问题作更深层次的探讨,因 而也阻碍了无理数的发现,使得中国古代数学的许多成就只处在应用和描述过程阶段,没有提高到抽象的、系统的理论阶段,从而使数学的发展和升华受到限制。此外,未发现无理数还与刘徽“一者数之母”的观念有密切关系。“一者数之母”的主张,不是从来就有的。中国古代广泛存在着“一以统众”的思想,如《管子·轻重》提出“天下之数,尽于轻重”,把古代统治者所推行的政治和经济措施,全用“轻重”二字统御起来;而道论更是把一切都置于“道”的统领之下,至王弼他一方面说“演天地之数,所赖者五十。其用四十有九,其一不用也;不用而用以通之,非数而数以之成,即易之太极也”,认为“一”是统一包括数在内的一切的“太极”而“一”本身不是数;一方面又说“一,数之始而物之极也”,“一,少之极也”,虽然这里已隐约含有“一为万物之母”,而且“一”也可 以是数的思想,但这是一种非常模糊的观念。刘徽在这种“一以统众”的思想氛围之下,从前人的思想和自己的数学实践中提炼和升华出“一者数之母”的原理来,这条原理,一旦在他的工作中得到大量的验证,而没有遇到什么困难,是很难想到要怀疑它的。