基于H--Matrix技术的积分方程快速迭代方法的研究

基于H--Matrix技术的积分方程快速迭代方法的研究 博士学位论文 基于.技术的积分方程 快速迭代方法的研究 作 者:胡小情 指导教师:陈如山教授 南京理工大学 年月 : 一’’ .,声 明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果,尽我所知,在 本学位论文中,除了加以标注和致谢的部分外,不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果,也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己在论文中作了明确的说明。 研究生签名: 年 月 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档,可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容,可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文,按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名: 年月 日博』:学位论文 基于.技术的积分方程快速迭代方法的研究 摘 要 随着军事和民用技术的不断发展,如何快速、准确地分析三维复杂目标的电磁散 射和辐射特性以及复杂微波电路问题,长期以来一直是计算电磁学理论和应用领域的 研究重点:近年来,不少学者提出大量快速高精度方法来解决上述问题。本论文主要 关注的是频域电场积分方程数值解法中的快速迭代解法。特别研究了基于阻抗矩阵的 低秩压缩快速算法中的自适应交叉近似和矩阵分解算法.以及线性 方程组快速迭代求解方法和预条件技术。主要内容包括以下几个方面: .在深入研究和应用和.的基础上,根据矩量法离散电场积分方 程导出稠密阻抗矩阵是对称的.,采用纯代数方法构造了阻抗矩阵的 .表示。从而进一步减少计算过程中的内存需求和矩阵矢量乘的计算复杂度, 并且严格证明该代数方法是误差可控的。 .在频域电场积分方程快速直接解法中,多层简单稀疏方法 是一种将稠密阻抗矩阵进行稀疏表示的有效方法。利用阻抗矩阵的对称性,本文提出 了一种有效的误差可控的代数方法来改进,最终将阻抗矩阵表示成 的形式,并且在改进的一表示形式基础上构造了相应的矩阵矢量乘 算法。从而发展了一种快速迭代求解方法,并将其用来分析电磁散射、平面 微带电路和半空间问题。 .本文给出了一种应用于求解电磁场积分方程问题的内外迭代求解算法 .。在.中,内迭代过程中采用近场子块作为预条件矩阵,外 迭代采用已有的.方法将最小特征值对应的特征向量添加到下一次的 子空间之中,从而加快迭代收敛速度,并利用.分析自由空间复 杂目标和腔体的散射问题。 .最后,针对阻抗矩阵的最小特征值对收敛速度影响很大,基于阻抗矩阵特征 谱的信息构造了~种复移位预条件技术方法,并将其与已有的稀疏近似逆相 结 合得到一种新型双步预条件方法,大大加快了线性方程组的求解,并将其应 用于求解 电磁散射单站的计算。 关键词:多层快速多极子,自适应交叉逼近,矩阵分解算法 .,多层简单稀疏算法,.,预条件技术。博.学位论文 基于.技术的积分方程快速迭代方法的研究. . ., .: .?, . ? . . 。 . ?.. . ,.。 . , , . .,?.. ., ? . ., ..、,? .. : ,?,, 基于?技术的积分方程伙速迭代方法的研究 目 录 .......................................??.....?.?......... ..........................?..??............................ .国内外研究概况.本文的主要工作内容及贡献 .本文的结构安排??. 电磁问题的积分方程方法. .表面积分方程 .矩量法基础.. ..矩量法的基本原理? .. 基函数和积分方程离散??. ..快速多极子方法本章小结 基于和构造 .算法.概述?. .自适应交叉逼近算法??。 .矩阵分解算法??.. . .和 .的构造?. .. ?的定义 .. .的构造? .数值算例? ..自由空间的散射问题分析? ..平面微带结构分析? 本章小结 代数方法构造.的方法? .概述?. 目录 . 的定义??.. .改进构造.方法?. .数值算例 ..自由空间的散射问题分析 ..平面微带电路和半空间问题的分析?.. 本章小结?。 基于的迭代算法及其应用. .概述?. .电磁问题的线性方程组迭代算法分类?. .基于特征谱循环的.迭代算法.数值算例?. ..自由空间金属目标的电磁散射..腔体问题的电磁散射 本章小结 基于特征谱的预条件技术? .概述? .预条件技术 ..预条件技术的基本思想..几种常用预条件技术的介绍 .复移位预条件 .数值结果及讨论?. ..金属导体目标的散射分析? ..导体目标的单站计算. 本章小结?.:?.. 结论与研究展望.全文总结?. .后续工作及展望?. 参考文献。 致 谢.......................................??....................?..... ?...................... 作者在攻读博士期间发表的论文及科研情况? 博士学位论文 基于.技术的积分方程快速迭代方法的研究 绪论 .研究的背景及意义 年,麦克斯韦用一组数学方程对宏观电磁场的基本规律进行概括, 奠定了理论电磁学的基础。在当今电磁现象无处不在的信息时代,电磁场理论在科学 技术的各个领域中得到了越来越广泛的应用,例如无线电波传播、移动通讯、卫星通 信、天线、电磁兼容、雷达技术、电磁成像、遥感、合成孔径雷达、微波电子线路、 地下电磁探测、新型人工电磁材料等。 目标的电磁散射特性分析,特别是雷达散射截面 的计 算是电磁理论的一个重要应用。很长时间以来,雷达散射截面的分析预估一直 是电磁场理论研究的一个重要课题,当前对电大复杂几何结构的目标的分析尤 为关注。当电磁波照射到目标后,电磁能量将朝各个方向散射,散射能量在空间上的 分布称为目标在当前电磁波照射下的电磁散射特性。同时,散射场与入射场之和构成 了空间上的总场。目标的电磁散射特性与目标的形状、尺寸和材质电磁参数,入射波 的频率和波形、入射波与接收天线的极化形式以及目标相对入射和接收的姿态角等有 关【,】。复杂几何结构的目标散射特性分析可应用于目标的隐身与反隐身 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 、雷 达目标识别、制导技术以及雷达系统设计等国防领域。由于大规模集成电路的发展, 电磁场理论广泛应用于天线的辐射和散射分析、微波电子线路的电磁兼容和设计等具 有重大的理论研究意义和实用价值民用领域。 正是上述关系到国计民生和国防安全的需求,推动电磁散射和辐射特性的研究不 断向前发展。这些形式各异的应用对电磁场理论提出了前所未有的挑战,而新的应用 也越来越依赖于各种电磁场问题的快速有效求解。早期的时候,由于计算条件的限制, 理论分析只局限于研究特殊结构和形状的目标。因此,早期研究电磁现象的主要是通 过实验手段。然而,采取实验手段测试成本高、周期长,需要投入大量的人力 和物力。 伴随着计算机技术水平的不断提高:利用计算机进行仿真的理论手段越来越受到重 视。相应地,在电磁学领域内出现了多种分析电磁问题的数值算法,从而诞生了 解决复杂电磁场理论与微波工程问题的新兴学科一计算电磁学。在电磁领域科研工 作者的不懈努力下,计算电磁学已经取得了丰硕的成果。随着多种新型算法的提出和 改进,计算电磁学能够解决的问题越来越大和复杂。计算电磁学可以看作是数学方法、 电磁场理论和计算机技术结合的产物。随着计算电磁学的发展,之前很多不能解决的 复杂电磁场问题都获得了满意精度的数值解。目前,利用电磁仿真进行研究已经成为 设计电路、天线、电磁兼容和电磁散射等实际工程应用领域内不可或缺的、甚至主要 的研究手段。绪论 博十学位论文 .国内外研究概况 从数学角度来看,所有的电磁问题都可以转化为求解麦克斯韦方程在各种不同边 界条件下的边值问题。根据问题求解域的不同可分为时域和频域两大类数值计算方 法。时域方法通常直接离散时域麦克斯韦方程,模拟电磁波的传播,随时间迭代计算, 适合于宽频带特征瞬态电磁场的数值仿真,如典型的时域有限差分法『, 和时域有限元法【,】。时域方法的一个突出优点是可以给出关于问题空间丰 富的时域瞬态信息,更能直观的反应问题的物理现象。频域方法假定入射电磁波为时 谐场,以不包含时间变量或时间变量导数的频域麦克斯韦方程为出发点,求解系统的 相位和频率响应。这类方法是本文的主要研究对象。 频域方法根据目标的几何尺寸与入射电磁波波长的相对关系可分为高频近似方 法和低频数值方法。在高频时,电磁波和目标之间的相互作用是一种局部现象,只与 作用点附近的几何结构,材质参数和入射波性质有关,而与远离该点的其他信息无关。 因此,高频近似方法适合于求解电大尺寸复杂目标的散射问题,具有物理概念清晰、 容易实现、计算效率高等优点。不同的几何结构需要采用不同的散射机理来处理,由 于几何结构的多样性和复杂性,考虑所有的散射机理是不切实际的,所以高 频方法得 到的结果通常是近似解,而非精确解。高频方法大致可以分为基于射线的高频方法和 基于电流的高频方法两大类。基于射线的高频方法有几何光学法 : 、几何绕射理论 :、一致几何绕射理论:等.】。基于射线的高频方法的优点是物理概念 简单,缺点是实际计算时的几何判断比较复杂,并且在空间分布的电磁场会出现不连 续性。基于电流的高频方法有物理光学法 :、等效电磁流 :、迭代物理光学法 :等.】。 基于电流的高频方法的优点是空间分布的电磁场可以保持连续、不会出现奇异点,缺 点是不能方便地处理电磁波的多次反射作用。一种较为实用的高频方法是弹跳射线法:】,该方法有效地结合了和的优点。 低频数值方法一般先离散麦克斯韦方程,再数值求解。低频数值方法计算精度高, 能够有效求解几何结构和组成材质都较复杂的电磁问题。根据求解方程形式的不同, 低频数值方法可以分为积分方程方法和微分方程方法。微分方程法的代表性方法有时 域有限差分法 :和有限元法 :等。是由..于年提出】。该方法直接将 方程组在空间网格中进行离散处理。此后,为了提高的计算精度、建模能力以及减少对计算资源的需求等,出现 .:、曲 :.等 形式,】。是一种在多种学科中应用较广的数值方法,该方法以变分原 博士学位论文 基于.技术的积分方程快速迭代方法的研究 理和剖分插值技术为基础。与相比,可以更好地模拟复杂边界问题,缺 点是产生的矩阵的性态较差。微分方程法的缺点是难以精确拟合目标的曲面边界和存 在网格的数值色散误差。此外,微分方程法采用全空间离散,为了分析开域问题需要 引入截断边界条件,这样就产生了大量的未知量。因此,微分方程法适合分析非均匀 介质问题和封闭区域内的复杂电磁问题。积分方程法的代表性方法有矩量法 :,和边界元法等。与微分方程法相比,积分方程法 在公式中已经隐含了无穷远处的辐射边界条件。因此,积分方程法只需对目标进行离 散,从而产生的未知量远远小于微分方程法。积分方程法主要可分为基于矩量法的体 积分方程法 :和基于矩量法的面积分方程方法 :两种。由于求解只需要对物体表面进行剖分,而需要 对整个物体进行剖分,所以相对于方程来说,方程只需要较少的未知量就可 以解决问题。在分析规则形状的均匀介质体问题时,和都是可行的。但是 方程可以很好处理复杂介质夹层之类的复杂结构。由于函数的非局部性, 积分方程法的缺点是产生的阻抗矩阵是稠密的。从而对计算机的存储量和计 算量的需 求分别为和,其中?是矩阵的维数。当未知量?很大的时候,就需要很 大的内存和很长的计算时间。这些在现实应用中都是难以忍受的。因此需要 引入快速 算法来求解频域积分方程问题。 基于矩量法的面积分方程快速算法主要分为三类:其一,基于函数展开的 快速方法。年耶鲁大学的数学家 等人提出快速多极子 :用以求解二维粒子散射以及泊松方程静电问题。随后,美国 的周永祖教授课题组将其发展到求解三维问题,以及利用插值方法提出多 层快速多极子 :【,并且开发出能在高 性能微机和小型工作站上解决百万量级电大尺寸目标的电磁散射问题的电 磁计算软 件 。能将计算机的内存需求和矩阵矢量乘的计 算复杂度降低到掣。然而是强烈依赖于问题的函数。当问题 的函数很复杂,对其作展开就相对复杂。有些问题的函数很难得到 函数的展开式形式,因此就无法采用。类似的方法还有浙江大学的王浩刚博 士在年提出的多层函数插值方法 :【,美国大学的 教授在年提出的 .以及方法,。 其二,基于快速傅里叶变换 :的方法。年 ..提出?,其主要是先对函数在正交网格点作展开,然后对 形成的矩阵在正交网格点上做,从而来加速矩阵矢量乘的计算。类似的还有 自适 应积分方程方法 :,稀疏矩阵规则网格方法绪论 博上学位论文 / :等等:它们都能在一定程度上解决内存和计算时间 需求问题。 其三,基于阻抗矩阵的低秩压缩方法。年德国数学家.提出自 适应交叉逼近算法 :,年.等将其 应用于静态电磁问题】。随后年美国俄亥俄州立大学的李金发教授将应 等人提出 用于三维动态电磁兼容问题。类似的算法还有年 多层矩阵分解算法 :来分析. :散 射问题。年.将其推广到一大型结构的散射问题。年.在 基础上提出了 : 。类似的算法还有方法【】,方法】,分解方法】等 等。低秩压缩快速算法最大的优点在于其不依赖问题函数,通过代数的方法就 可以得到阻抗矩阵的低秩表示形式。而且相对于其它算法,很容易在矩量法的基础上 实现低秩压缩算法的代码。本质上来说,低秩压缩方法得到的阻抗矩阵都可以看作是 .】。本文主要研究的是基于阻抗矩阵的低秩压缩方法。 其次,从实际应用来看,需要快速求解由矩量法离散积分方程导出的线性方程组。 在计算数学里,线性方程组的求解主要有直接解法和迭代解法。直接解法的计算量是 。而迭代解法只需要知道矩阵矢量乘的信息就可以实现。当未知量很大的时候, 求解线性方程组主流方法是迭代解法。迭代法求解线性方程组收敛速度和求解物理问 题,矩阵维数以及迭代方法本身都有密切的关系。因此发展适合实际物理问题的迭代 解法和预条件技术很有必要。在积分方程方法预条件技术方面土耳其的.和 美 国伊利诺伊州立大学香槟分校的周永祖教授的课题组做了一些有实用意义的 工作,国内陈如山教授的课题组也做了很多有意义的工作。 .本文的主要工作内容及贡献 : 作者在博士期间研究了电磁场中频域积分方程的快速数值解法,主要对低秩压缩 快速算法中和.算法作了较为深入细致的研究,对一些电磁结构进行 了分析与计算,并对最终形成的线性方程组快速迭代解法和预条件技术进行了研究。 本文的主要工作包括如下几个方面: 在低秩压缩快速算法中,和.算法将阻抗矩阵表示成.的 形式。在.基础上,采用代数方法构造了 .。频域积分方 程的数值方法主要是矩量法。由于问题函数的非局部性,导致数值 离散电场积分方程得到的阻抗矩阵是稠密的满阵。对于电大尺寸复杂目标,直接 求解所需的计算机资源和时间是难以忍受的。当问题函数比较简单,基于 对函数的作展开的算法能够解决内存和计算时间的瓶颈。当问题 阵是对称的,本文提出了一种有效的误差可控的代数方法来改进。在改 进基础上构造了相应的矩阵矢量乘算法,从而发展了一种基于改进 的积分方程的快速迭代求解算法。相对于原来的低秩压缩算法,基于改 进的积分方程的快速迭代求解算法在内存需求和矩阵矢量乘的计算复杂 度上有优势。改进的实际上将阻抗矩阵表示成的形式。从本 质来看,这里的一具有多层快速多极子 :类似的结构。 其次,本文给出了一种应用于求解电磁场积分方程导出的线性方程组问题的新型 内外迭代算法?。在应用或者快速求解频域积分方 程的过程中,阻抗矩阵被分解成近场强相互作用子块和远场弱作用子块。从物理 意义来看,表示强相互作用的近场子块保留了阻抗矩阵重要的谱信息。因此在 .的内迭代过程中采用近场子块作为预条件矩阵。同时,从代数角度 来看,绝对值较小的特征值对迭代求解方法收敛速度有很大影响。因此外 迭代采用已有的.方法将最小特征值对应的特征向量添加到下一次的 子空间之中,从而加快收敛速度。 最后,针对矩量法离散得到线性方程组迭代求解收敛缓慢的问题,构造一种复移 位预条件,并将其和已有的稀疏近似逆预条件相结合形成双步预条件。采 用类迭代算法求解离散积分方程得到的线性方程组时,由于阻抗矩阵最小 特征值对收敛速度影响很大,因此本文基于阻抗矩阵特征谱信息构造了一种复移 位预条件方法,并将其与已有的稀疏近似逆相结合得到一种新型双步预条 件方法,大大加快了线性方程组的求解,并将其应用于求解散射问题单站 的计算。 本文的主要创新点包括如下几个方面: 绪论 博士学位论文 .,从而进一步减少低秩压缩算法形 提出一种纯代数方法来构造 成的.对计算机内存需求和矩阵矢量乘的计算复杂度,并且证明该方法是 误差可控的。 利用离散得到阻抗矩阵的对称性,提出一种代数方法来改进直接求解方法 中的方法,发展了一种迭代算法,并将其应用于求解电磁场中 复杂积分方程问题。 利用阻抗矩阵近场子块的特性和最小特征值对子空间迭代法收敛速度影 响,给出了一种内外迭代算法.来求解频域积分方程方法导出的线性 方程组,能够大大减少迭代收敛步数。 根据最小特征值对子空间迭代法收敛速度影响很大,构造了一种复移位预 条件矩阵,并将其与已有的结合,形成双步预条件,从而加快了的 迭代收敛速度,并将其应用于求解散射问题单站的计算。 .本文的结构安排 本论文正文分为七章,具体安排如下: 第二章详细介绍了电磁散射计算常用的积分方程、矩量法和多层快速多极子, 作 为全文研究的理论基础。 第三章频域积分方程的数值方法主要是矩量法。由于问题函数的非 局部性,导致数值离散得到的阻抗矩阵是满阵。对于电大尺寸目标,直接求解所需的 计算机资源和时间是难以忍受的。当问题函数比较简单,基于对函数的 做展开的算法能够解决内存和计算时间的瓶颈。当问题函数比较复杂, 低秩类压缩快速算法将阻抗矩阵表示成.的形式,在一定程度上解决内存需 求和时间问题。本章详细介绍并分析了, .这两种典型的低秩压缩算 ., 法及其.表示。在.基础上,通过纯代数方法构造了 从而进一步减少计算机的内存需求和计算复杂度,并且证明该代数构造方法是误差可 控的。 第四章在直接方法求解频域积分方程的过程中,是一种将稠密阻抗矩阵 的稀疏表示的有效方法。利用电场积分方程导出的阻抗矩阵的对称性,本章提出了一 种有效的误差可控的代数方法来改进并将其应用于积分方程的迭代解法里。 最终将阻抗矩阵表示成的形式,并且在基础上构造了相应的矩 阵矢量乘算法。从而发展了一种基于改进的快速迭代求解方法。 第五章提出了一种应用于求解电磁场积分方程导出的线性方程组问题的新型内 外迭代算法.。在应用快速求解频域积分方程的过程中,阻抗 矩阵被分解成近场强相互作用子块和远场弱作用子块。从物理意义来看,表 示强相互 博上学位论文 基于技术的积分方程快速迭代方法的研究 作用的近场子块保留了阻抗矩阵重要的谱信息,因此在.的内迭代过程 中采用近场子块作为预条件矩阵。同时,从代数角度来看,绝对值较小的特征值对 迭代求解方法收敛速度有很大影响,因此外迭代采用已有的.方法 将最小特征值对应的特征向量添加到下一次的子空间之中,从而加快收敛速 度。 第六章针对矩量法离散得到线性方程组求解问题,采用迭代求解方法。 由于阻抗矩阵最小特征值对收敛速度影响很大,因此本文基于阻抗矩阵特征谱信息构 造了一种复移位预条件方法,并将其与已有的稀疏近似逆相结合得到一种新型 双步预条件方法,大大加快了线性方程组的求解,并将其应用于求解散射问题单站 的计算。 第七章总结和回顾了本文的工作,指出了值得进一步研究的内容,对与论文相关 快速算法的发展趋势作了展望。 电磁问题的积分方程方法 博士学位论文 电磁问题的积分方程方法 在分析电磁问题时,矩量法是一种广泛应用的数值方法。矩量法的第一步是根据 实际问题建立相应的积分方程。根据积分区域的不同,积分方程可以分为线积分方程、 表面积分方程和体积分方程。线积分方程的主要用于分析一维问题,如半径远小于波 长的导线,应用范围极为有限。面积分方程适用于分析均匀介质、分段均匀介质或者 理想导体问题,它的优点是只需对目标表面进行离散,因此在实际中具有广泛的应用。 体积分方程适用于分析非均匀介质体问题,在实际工程中同样具有重要的应用价值。 在本论文中主要利用表面积分方程来分析复杂目标的电磁问题。 .表面积分方程 考虑处于自由空间中的理想金属散射体,定义其表面上的外法向单位矢量为 ,单位切向矢量为。当一入射的时谐平面波访。,?。照射到该散射体上时, 在散射体外部空间叫所激发的散射场,满足麦克斯韦方程组 』斌一扣‰ 九 、 【×加 和电磁场边界条件 ..沁 『叭 以及辐射条件】 .. ?,?和厕× 其中 。,‰分别表示真空中的介电常数与磁导率。散射体外部空间的总场‘, ‘可以表示为 。 。 .. 、 ‘。 定义散射体表面上感应产生的等效电流为‘,由公式 可知,在散射体外部空间的总场具有如下的形式 』氕。。,?艿’ .. 【去弘脾,拶 其中,??‰ 。是自由空间中的波数,?为角频率,为单位张量,为理想导 体表面电流密度,,’为自由空间的并矢格林函数,,为自由空间格林函数分方 程快速迭代方法的研究 .. .. 理想导体表面电场积 .. 我们也可以把感应电流产生散射电场用磁矢量位和电标量位来表示: 一问五一? .. 其中,.为角频率,天和?分别为矢量磁位和标量电位: ? 砷十 、, ?声 亿 ? 谬 卟? 一轨。一慨 .。. ’‖ 式中,和 分别为磁导率和介电常数,’和分别表示点处的感应电流和 电荷,且它们满足如下关系: .. ’?’ 因此,理想导体表面的电场积分方程也可以表示为 .. ;.一;.如五;.。 电场积分方程的优点是可用于计算任意结构,缺点是产生的矩阵性态通常较 差,尤其 是对于低频问题需要特殊处理,且在分析闭合体时会出现内谐振现象。 同理,通过..式中理想导体表面的磁场边界条件,我们可以得到磁场积分方 程 :】 .. 而ד。一??一而×× ,’’ ? 当,时,磁场积分方程式..存在奇异点,奇异项为/,可方便地剔 除。这里,是奇异点所展成的立体角。对于常见的光滑曲面,,这样去掉 奇异性之后的磁场积分方程式..可写成. .. 疗ד。主一砉五××.?。,’’ 式中,.表示积分的主值。去掉奇异性之后的方程..匕式..更有效。方 程..用磁矢量位表示为 电磁问题的积分方程方法 博上学位论文 .. 去一二南××卉×眦 与电场积分方程相比,磁场积分方程产生的矩阵的性态更好,缺点是只能计 算闭合体 结构,且计算精度没有电场积分方程高。因此对于开放表面来说,它的厚度为 零,向 上或者是向下的方向都可以作为法线的方向。但是根据理想导体表面的边界 条件: ‘,? ‘,从而得到电流为零的结论。这显然是不对的。同 样地,磁场积分方程对于闭合结构也存在着内谐振问题。 从上面的讨论可知,电场积分方程和磁场积分方程对于闭合体结构均存在着内谐 振现象。在谐振频率点处,电场积分方程和磁场积分方程的解均不唯一,从而产生的 阻抗矩阵出现奇异性。文献】对消除内谐振现象做了详细的讨论,并且指出将电场 积分方程和磁场积分方程线性叠加而成的混合场积分方程 :可以较好的解决这一问题。混合场积分方程可以写为: .. ?【,? 式中,?/ 为波阻抗,【为定义在~之间的实数。由于的内谐振频率 为复数,所以不会出现伪解,也就是解是唯一的。很明显,当【时,混合积 分方程即转化为电场积分方程;当仅时,混合积分方程转化为磁场积分方程。对 于开放结构【取,对于闭合结构【通常取.。分析理想导体表面散射问题三种积 分方程中,混合场积分方程的性态最好,磁场积分方程次之,电场积分方程最差。在 实际应用中,混合场积分方程和磁场积分方程仅适用于场点和源点都在封闭结构表面 的情形;电场积分方程对开放结构和封闭结构都适用。 平面分层介质中微带结构电流源满足的积分方程可以用表示为: /?巾 .. 其中?和 分别为介质的磁导率和介电常数,和巾分别表示矢量磁位和标量 电 ’ 位: ,露爿,?出’ ..‘ 巾,.?’ 式中.代表微带贴片上的未知电流,’代表理想导体表面或者微带贴片区域, 霞爿 和‖代表类空域格林函数,可以由谱域函数,作傅罩叶反变换得到。 根据金属表面切向电场为零的边界条件一洒。×疗,将式..代 入式..可以得到 博.:学位论文 基于.技术的积分方程快速迭代方法的研究 而×卜加 霞月,.’士,.×沁.. ;; 沁为激励源在理想导体表面或者微带贴片金属表面产生的电场。 同理,分析有耗半空间中理想导体的散射和辐射问题时,相应的电场积分方 程为 .. 抽。×如? 古’卜,,.’幽 一 ,. 其中,’为半空间的格林函数】。 综上所述,从数学理论来看,上述积分方程的本质都是解积分方程的边值问题, 唯一不同的是不同的实际应用问题所对应的函数不一样。 .矩量法基础 从 .于年提出矩量法,在求解电磁场问题中的应 用到现在,矩量法已经广泛的用于各种天线辐射、复杂目标的散射以及静态或准静态 等领域。历经多年的演进,时至今日,其内容和技术仍在不断地充实和发展之中, 并且成为分析电磁辐射和散射问题最基本的方法之一。矩量法的优点是精度高、所用 格林函数直接满足辐射条件,无须雹吸收边界条件。但是矩量法所产生的阻抗矩阵是 满阵,需要的存储量大。因此在求解高频区电大尺寸目标时,未知量很大,由于存储 量的限制而难以实现。矩量法是我们以后研究的基础,所以对矩量法的深入 研究是本 文研究工作至关重要的一步。 本节首先简要介绍了矩量法的基本原理,求解过程,接着讨论矩量法在计算电磁 问题中的具体细节,包括:选取基函数和检验函数的选择,加速矩量法计算的快速多 极子技术。 ..矩量法的基本原理 从数学角度来看,在求解理想导体目标的电磁散射或辐射问题时,根据麦克斯韦 方程和边界条件,最后得到的是一个非齐次线性积分算子方程,其中积分核函数是问 题的函数。假设非齐次线性积分算子方程形式如下: /。 .. 式中三为线性积分算子,是已知函数如激励函数,厂为未知函数,如响应,或导体 面电流。假设上述算子存在逆算子,则..的解是存在且唯一,从而有 厂。 实际上,只有一些特殊的问题,才有可能得到积分方程..的解析解。因此 在实际应用中可以通过近似求解方法来获取方程的近似解。将未知函数.厂在三的定义 域内近似展开为已知函数彳,左?.的线性组合,如博十学位论文 电磁问题的积分方程方法 .. /?厂??% 式中:%为展开系数;?,,...,为一组线性无关的已知函数称为基函数, 展开函数或形函数。 当基函数选取比较合适时,基函数的数目增大,厂‘?能精确逼近精确解厂,也就 是说厂‘?满足收敛特性。因此,一般情况下,当?有限时,式..中厂。?是未知函 数厂的近似表示。将未知函数展开为基函数的过程称为对未知函数的离散。将离散后 得到的近似函数代入..,方程一般来说不能严格成立。定义余量为 .. 三?%‘一?%三一用来定量地表示由近似解的误差引起算子方程两端的误差。在线性函数空间中定义 ‘ 内积为 .. 厂,。厂 其中表示厂的共轭。在算子值域内选择一组线性无关的函数,?:,...,?.?,用 这些函数对余量进行检验可得到下面的线性方程组 .. ?,,,,..., 其中,函数?称为权函数,检验函数或者试验函数。方程组可写成下面的矩阵 形式: .. %】‰】 其中 ?。, 如., 厶?。, 石?:,三五?:,上厶 .. 【】 ??,三石?,三五?如?,三 哆 .. 】 ??? ?。,蜀.. 【胂】 ,踟 当矩阵三。】非奇异时,其逆【乙。】存在,则【%】可以通过下式计算得到 .. %】【。】【‰】 基函数的系数%得到后,可通过式..获得算子方程的近似解。 总之,求解电磁问题的矩量法的一般过程可以归纳成下面的三个基本求解过程: 博士学位论文 基于.技术的积分方程快速迭代方法的研究 离散化过程 这一过程的主要目的是将算子方程化为线性方程组,包括适当的选择一组线性无 关的基函数;将未知函数表达为该组基的线性组合,并且取有限近似表示;利 用算子的线性,将算子方程化为代数方程。只要求出基函数的系数就可以得到方程的 近似解。 取样检验过程 为了使近似解和精确解之间的误差极小,必须进行取样检验。在这个过程中,要 适当地选取一组线性无关的权函数;将权函数与算子两边进行抽样,实际上是取内积。 在抽样点上,使加权平均误差为零,从而建立线性方程组,将求解代数方程的问题转 化为求解线性方程组的问题。 线性方程组的求解过程 对于线性方程组..可以采用直接求解方法,如分解,消元法等 等;也可采用迭代求解方法,如迭代法,.迭代法,子空间 迭代法等等。后面我们将会着重讨论线性方程组..迭代求解算法。 以上所阐述的是矩量法求解算子方程的基本过程,在矩量法的所有应用中,通常 都要遵循这个统一的过程。上面所述方程的求解方法称为加权余量法。当选取疋?。 时,该方法称为伽略金方法。在方程的求解过程中,式..中所定义 的余量关于所选择的检验函数是等于零的,即误差与检验函数张成的函数空间互相垂 直。由于检验函数张成的空间是有限维函数空间,因此不能判定误差为零,通过这种 方法得到的解仍是近似解。 基函数.疋的选取决定了近似解的函数空间,从而决定了近似解对精确解的收敛 特性。检验函数?。的选取决定了近似解对基函数的展开系数。基函数和检验函数的 选取对于算子方程和的求解是至关重要的,直接决定了算子方程近似解的精确性,甚 至方程的可解性。因此对任何的一个给定的特定问题,方程求解的关键就是基函数和 检验函数的选取。 矩量法属于加权余量法中的一种,在不同的技术领域,术语“矩量法”具有不 同 的定义。在电磁计算领域中矩量法指离散积分方程的加权余量法,也就是当方程中算 子 为积分方程算子时,该方法称为矩量法。对于理想导体的散射和辐射问题,我们 主要研究是前节中介绍的表面积分方程。下面主要介绍矩量法应用过程中采用的 ,,基函数。 .. 基函数和积分方程离散 当采用矩量法求解理想导体目标和均匀介质目标的表面积分方程时,需要将目标 表面划分为许多小的子区域,平面三角形是应用最为广泛的一种划分方法。如图.电磁问题的积分方程方法 博七学位论文 所示的平面三角形,其中,和分别表示三角形三个顶点的位置矢量,与三个顶 点正对三条边边长为,,,和如。三角形内任意一点,与三个顶点连线矢量定义为 。,和。,,和分别表示垂直于三条边指向三角形外的单位矢量,表示 三角形的面积。 图.平面三角形内的几何关系. 平面三角形内任意点处未知电流可展开为: .. ,??% 其中 , .. 去, 可以很容易验证,。,在第条边上的法向分量为,,在其他两条边 上法向分量为零。这样构造出的基函数通常称为基函数。在两个三角形公共边 上,由于两个三角形基函数在边上法向分量均为,因此可以采用同一个展开系数来 表示,这样,两个三角形上的电流在边界上满足法向连续。如图.所示,在与第 条边内边相关的一对三角形:,和:,一上分别利用式..建立与边,。相关的 基函数。为了使两个三角形内的电流能公用一个展开系数,在三角形上取。正方 向为。,在三角形:一上取。负方向为。一。建立与边乙相关的两个三角形上的基函 数表示如下: ? 寿: 一寿:?丐.. 其它 式中:。和。一分别表示三角形和一的面积;厶表示第条边的边长。 博七学位论文 基于?技术的积分方程快速迭代方法的研究 图.相邻三角面?对的几何关系. 定义耳的三个顶点分别为聪,%和呓,三个顶点与三角形的法向矢量满足右 手螺旋法则。相应地,定义耳的三个顶点分别为%,%和%。 容易看出,由于两个三角形面电流在公共边上满足连续条件,所以面电流基 函数 从连续地流向耳;展开系数表示电流在公共边上的法向分量;两个三角形上 的电 流基函数在另外两个边上没有法向分量等于零,和另外两个边相切。 此外,表面电流基函数仅与:有关,则表面散度算子定义为 、.‘’‘‘ ‘士 一、 ? ?由缚掣 ? ” 通过计算可得表面散度为: 、 ? 川 每 钟? 、 ” .. 一每 其它 根据方程,基函数的散度表示单元表面内的电荷密度,可以看出,每一 个三角形表面电荷是常数,并且每一对三角单元内部总电荷为零,而且公共边上线电 荷为零。这和电荷守恒定律是相一致的。 由于表面电流基函数总是与面元对间的公共边厶相关,因此目标表面的感应 电流可以用基函数近似展开为: 上 一 .. ??% 这里?是表面上的内边的个数。要注意到上面所讨论的边也称为内边,表示平面三 角形对之间的边,并非真正的边。对于开放结构,不连续处称为边界边,由于不能构 成三角形对,需要将该边的法向电流强加为零,即开放结构边界边不存在法向电流。 因此在建立线性方程组时,只需要考虑内边除边界边外的法向电流。每一个三角 ..电磁问题的积分方程方法 博上学位论文 面元内的电流由三条边上的基函数加权组成,加权系数为边界上电流值。对混合场积 分方程使用测试,即权函数和基函数均选择为基函数,可得矩阵方程: . .. 其中,为矩量法生成的阻抗矩阵,『,,?为待求的电流系数,为施加的激 励向量。和的元素表达式为 。 如岫一?【而××..’,嬲’.厶 ...坐卜’.’,’.厶 。 ? 。。 ;.石’.厶 “ .. 衲。?‘五×沁.无嬲 在阻抗矩阵的填充过程中,为了提高矩阵填充的计算效率可以采用平面三角对组合计 算来代替传统的边对边阻抗元素计算方法】。矩量法产生的矩阵填充过程中的难点 之一是需要处理矩阵元素的奇异性和近奇异性问题。目前,已有大量的文献涉及这方 面的处理,文献,较好的总结了相关的奇异性处理方法。 ..快速多极子方法 快速多极子【?和多层快速多极子方法是当今最令人瞩 目的积分方程数值算法,具有精度可控和高效率的优点,被广泛应用于各种复杂目标 的电磁散射分析,并且被美国计算物理学会评为世纪十大算法之。 快速多极子方法的数学基础是矢量加法定理,即利用加法定理对积分方程中的格 林函数进行处理,通过在角谱空间中展开,利用平面波进行算子对角化,最终将稠密 矩阵与矢量的相乘计算转化为几个稀疏矩阵与该矢量的相乘计算。其基本原理为:将 散射体表面上离散得到的子散射体分组,任意两个子散射体问的互耦根据它们所在组 的位置关系而采用不同的方法计算。当场点和源点处于近邻组时,耦合作用采用传统 的矩量法直接计算;而当它们处于非近邻组时,则采用聚合、转移和配置三步进行计 算,实现场点和源点的分离。对于一个给定的场点组,首先将它的各个非相邻组内所 有子散射体产生的的贡献“聚合”到各自的组中心表达;再将这些组的贡献由这些组的 组中心“转移”至给定场点组的组中心表达;最后将得到的所有非相邻组的贡献由该组 中心“配置”到该组内各子散射体。对于散射体表面上的?个子散射体,直接计算它们 的互耦时,每个子散射体都是一个散射中心即为一个单极子,共需要的数值计算量为 ;而应用这种快速多极子方法,任意两个子散射体的互耦由它们所在组的组 中 心的联系。各个组中心就是一个多极子,其数值计算量为?’。对于源点组来 说, 该组中心代表了组内所有子散射体在其非相邻组产生的贡献;对场点组来说, 该组中 心代表了来自该组的所有非相邻组的贡献,从而减少了散射中心的数目。 基于.技术的积分方程伙速迭代方法的研究 博十学位论文 图.将两元素的直接作用分解成三部分:聚合、转移、配置. 下面给出具体公式。由加法定理司知,自由空间的格林函数司以展开为 雨母喜一,?膨纠扫异博阳.. 其中,从切为第一类,阶球函数,办,’为第二类,阶球函数,另?为 ,阶多项式。由等式 .. 材日?子够玉一正珂弓蠡? 则格林函数可以进一步表示为 .。 罱一等够谊艰。言砒?蚋啪“ 其中 毋丘” 瓦最?艺?巧’扫弓最? 上式中,为无穷求和的截断项数,在图中,对于场点和源点,有 朋一,钿 一, ?, 妒钿锄 由于在远区组间,满足锄唧%,则 .. 等一等?托瓤’‘铲啊丘。‰ 其中 仅‘?‰?一‖巧’%只 ?‘ 于是根据式..,中的矩阵矢量乘运算可以表示为 .. 芝删%??乙%够叩丘??用良,‘?%丘以蠡 其中 %蠡巩小’啊一斌?。 五巩~一越‘。一仅蠡?搬 电磁问题的积分方程方法 博上学位论文 用良,‘砉善一‖,巧’%曰良。‰ 上式中彩代表来自附近组的贡献,已和唧‘分别为聚合因子和配置因子。由 于聚合和配置因子只与球坐标中的和妒有关,因此又称为辐射方向图和接收 方向图。 从式..可以看出阻抗矩阵和矢量的乘积分成两部分:其一,近场强相互作用 部分,对应于..右边第一项;其二,远场弱相互作用,对应于..右边第二 项。远场弱相互作用写成矩阵形式就是三个稀疏矩阵相乘。 第九一层 父组 第九层 父组子组 第层 子组 图.二维多层快速多极子方法中的树形结构. 对于电大尺寸目标的散射,其未知量数目?,此时应用多层快速多极子方法 将获得比快速多极子方法更高的效率。多层快速多极子方法是快速多极子方法在多层 级结构中的推广。对于?体互耦,多层快速多极子方法采用多层分组计算。即对于 附近区强耦合量直接计算;对于非附近区耦合量则用多层快速多极子方法实现。多层 快速多极子方法基于树形结构计算,其特点是:逐层聚合、逐层转移、逐层配置、嵌 套递推。对于二维情况,它将求解区域用一正方形包围,然后再细分为个子正方形, 该层记为第一层。将每个子正方形再细分为个更小的子正方形,则得到第二层,此 时共有个正方形。依次类推得到更高层。对于三维情况,则用一正方体包围,第 一层得到个子正方体。随着层数增加,每个子正方体再细分为个更小的子正方体。 显然,对于二维,三维情况,第层子正方形和子正方体的数目分别为。,。对于 散射问题,最高层的每个正方形或正方体的边长为半个波长左右,由此可以 确定求解 一个给定尺寸的目标散射时多层快速多极子方法所需的层数。由于每层数值计算量均 为?量级,共有层,所以多层快速多极子方法计算矩阵与矢量相乘的工作 量为?量级。内存需求也为伙量级。 本章小结 在本章我们首先介绍电磁场应用领域里的表面积分方程和不同应用问题的 基于和算泫构造 .算法 博士学位论文 基于和构造 .算法 .概述 众所周知,离散电场积分方程得到的阻抗矩阵是稠密的。求解这个稠密线性 方程组主要有两大类方法:直接解法和迭代解法。其中直接解法就是直接求出阻抗矩 阵的逆或分解形式。传统直接解法的计算量和内存需求分别是?和?, 这里?是阻抗矩阵的维数。近年来不少国外学者发展了一些针对稀疏表示的快速直 接求解算法?。虽然这些快速直接求解算法较传统方法在内存需求和计算量上有 优势。但是当目标的电尺寸变得很大导致阻抗矩阵维数很大时,这些快速直接求解算 法是无能为力的。因此,对于求解电大尺寸目标问题,迭代解法是优先选择的方法。 在过去的二十多年里,针对电磁场积分方程,国内外很多学者发展了一系列的快 速有效的迭代解法。这些算法大致可以分成三类:其一,基于问题函数展开的 快速算法,主要有多层快速多极子,多层函数插值算法,. 以及.方法等等。该类算法可以将内存需求和计算复杂度由?降低到 。其二,基于类算法,主要有.,自适应积分方程方法,稀 疏矩阵正交网格方法,预校正的.,该类算法可以将内存需求和计 算复杂度由 降低到。其三,基于函数特性的低秩类压缩方 法,主要有自适应交叉逼近方法,多层矩阵分解算法,., 多层方法等等。其中,前两种算法可以归结为基于物理意义的快速算法。相比低 秩压缩方法而言,它们在内存需求和计算复杂度方面具有一定的优势,但是在应用中 存在一些问题。基于函数展开方法需要对问题的函数作展开,当处理多 层媒质问题的时候,函数形式十分复杂,对其作展开就十分困难,而且实现起 来也很繁琐。基于的快速算法,则需要将源点和场点分别投影到规则正交网格 上产生一个矩阵,从而利用来加速矩阵矢量乘的计算。但是,当目标具 有紧凑结构时,这类方法才比较有效。基于阻抗矩阵低秩压缩快速算法,主要利用阻 抗矩阵中很多子块是低秩的。其主要优点有:其一,不依赖于问题函数的展开, 因此很容易应用于函数复杂的情况;其二,物理层面的意义简单容易理解;其 三,对于低频和中频问题,处理方式一样,程序不需要做修改,程序代码简单。 基于阻抗矩阵低秩压缩快速算法的加速原理基于如下理论:在一般情况下矩量法 形成的阻抗矩阵是一个稠密的满秩矩阵出现内谐振时除外,但是由于函数 在空间衰减特性,阻抗矩阵的很多子块却是低秩矩阵。因此,可以利用低秩矩阵的特 性对阻抗矩阵进行压缩表示,同时加快迭代求解的矩阵矢量乘的运算。本文主要讨论 两种典型的低秩分解算法??自适应交叉逼近算法和矩阵分解算法。博上学位论文 基于.技术的积分方程快速迭代方法的研究 .自适应交叉逼近算法 在基于函数的低秩压缩算法里,自适应交叉逼近算法因为其适应性 强,操作便利受到广泛关注。算法最初是由.教授于年提出来, 并发表在数学期刊“ ”上【】。年,.内等人将其 应用于分析静态电磁问题【】。随后,年美国俄亥俄州立大学的李金发教授课题 组将其应用于分析动态电磁兼容问题】。 算法主要是基于问题函数的特性:在利用矩量法求解积分方程时, 相距比较远的两个基函数组,,其对应的阻抗矩阵子块。。是低秩矩阵。也就是矩 阵的秩远小于其行数和列数,具体数学表达式是:。坍?””,,.《所,玎, ,其中?脓,??。低秩矩阵,,。在计算过程中的有以下主要特点。 其一,存储量小,只需要存储和,对应存储量是。显然沏,,.??。 其二,矩阵矢量乘的计算复杂度小,即当矩阵。与矢量相乘时的计算量是, 同样有,??。正是基于以上两个主要优点,算法广泛应用于求解电磁 场积分方程问题中。 算法的不仅可以得到阻抗矩阵子块。。的秩,而且可以得到具体矩阵表示 形式。令。表示矩阵的第列,表示矩阵的第列,,:表示矩阵的第 ‘行,四为第次循环得到的近似矩阵。具体算法如下: 初始化过程: 令厶,‘’; 令“,:,:,确定的第厶行中模值最大分量对应的位置以,即 ‘,以 ,“,; 令“,:/“,‘; 确定第的逼近误差矩阵为:,‘:,以,并且:,; 从而得到, ?‘?。; 确定第二行的指标厶:心,‘』,‘。 以上确定的是第一次行与列之间的交叉迭代。按照上面类似的容易得到第次 迭代: 更新第丘行的近似误差矩阵为: 丝 瓴,: ,:一?,厶; / 确定第列指标以:,以,瓴,歹,并令?,:/厶,以; 更新第以列的近似误差矩阵: :,以:,以一?:,厶,; 令:,以,同时可以得到: ? 渺??州,。.?六; ,基于和算法构造 算法 博十学位论文 检验‘’状红皮暑口,州心、《’:。?? ‘‘’。如果满足要求则停止迭代, 否则返回到,计算下一个行指标厶?:小以,,以,这里 要求?厶,厶,?,厶。 从上述具体实现过程可以看出:算法只需要原始矩阵部分行和列的信 息就可以将原始矩阵删表示成低秩分解的形式,.,,,其中?“,?。 这就意味着在填充阻抗矩阵的过程中,利用算法只需要填充部分阻抗矩阵元 素, 这大大提高了填充的效率。因此这也是算法另一大优点。 由于算法是用低秩分解的形式来近似原始矩阵,因此就必须要对近似误差 进行分析。实际上,在第次迭代时的误差矩阵应该表示为:‘‘’籼‘扣?, 其 中‘扣’是秩为缸的矩阵, 。 .. ‘’“‘扣?扣啦”?闰 。但是由于原始矩阵事先并不知道, 在算法终止应该满足‘? 就更无法求出。因此在实际算法执行的过程中,根据第次得到的行与 列是‘。’中占主要部分的值,采取了以下有效的方式来确定误差‘‘’,即 .. 。』 。一一似一’。 九 同