二次函数与方程根的讨论
函数与方程的思想，是数学
高考
地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词
考查的热点，也最能反映学生的综合素质，有利于发展学
生的创新思维能力。
二次函数与方程的根的讨论也贯穿于函数问题考查的始终。
1( 已知含参数的一元二次方程的根在某区间，求参数范围，可借助二次函数的图像。设
22 ，方程 的两根为，f(x),(a,0),,,(,,,)ax，bx，cax，bx，c,0m,n
n,m为常数且。
?分居两区间时，只需考虑端点函数值符号。 ,,,
,,如:(,?，，，+?) m),,(mf(m),0,
,, (,?，n)，,,(m，+?)f(n),0且f(m),0 ,
b,?位于同一区间时，不但要考虑端点函数值符号，还要考虑?及的范围。,,,,02a
f(m),0,f(m),0,,f(n),0,,b,,2,如,,,,(m,，,) ，,,,,(n,m)，， ,,,m,,,,b,4ac,02a,,b2,,,,b,4ac,0n,,,m,,2a,
f(n),0,
,b,,,,,(,,,n),,,n ， ,2a,2,,,b,4ac,0,
2( 确定方程的实根个数或实根范围，注意数形结合，往往起到事半功倍的效果。
22(1,m)x，2mx,1,0xm例1:已知关于的方程的根在区间[0，1]内，求实数的取
值范围。
分析:函数与方程的有机统一是解决本题的关键，而数形结合思想的应用则是解决本题的
突破口。
mm解:本题是含有字母的方程，可能是一次方程，也可能是二次方程，对讨论如下:
2?当1,m,0，即时，原式为一次方程。 m,,1
1?时，x,,[0，1]，是解(舍去)。 m,1？m,1m,,12
2?时，原式为二次方程。 1,m,0
22,,4m，4(1,m),4>0，则方程有两个不等的实根，以下的解法有两种:
11方法一:原方程根为:， x,x,12m，1m,1
1,0,,1,,m，1x,？?[0，1]， 解得 m,2,1,0,,1,m,1,
m由?、?知的取值范围为或。 m,2m,1方法二:，结合二次函数图象使其两根在[0，1]内，,,0
分图象开口向上、向下两种情况加以研究。
2,1,m,0
,f(0),0,,当开口向上时: ,f(1),0
,b,0,,,1,2a,
当代入方程，有f(0),,1,0与f(0),0矛盾， x,0
?此种情况不成立。
2,1,m,0
,f(0),0,,当开口向下时: ,f(1),0
,b,0,,,1,2a,
得。 m,2
由?、?知或。 m,2m,1
2f(x),ax，bx，1a,b,R,a,0f(x),x:已知二次函数 ()，设方程的两个实例2
xx数根为和。 12
x,xx,,1x,2,x,4f(x)?如果，设函数的对称轴为，求证:; 0012
?如果，求的取值范围。 x,2,x,x,2b121
分析:本题主要考查函数与方程的思想，利用数形结合考查根的分布等综合运用所学知识
的能力。
2g(x),f(x),x,ax，(b,1)x，1解:?设 () a,0
得，， 由条件x,2,x,4g(2),0g(4),012
4a，2b,1,0,31即，解得: ? ,4a,b,,2a,4216a，4b,3,0,
311显然必有，得 ? ,4a,,2aa,842
3b1b14,,,,1,??得:，故，结论成立。 (,2a)x,,,1,,,108a2a4a2a4a
12g(x),ax，(b,1)x，1,0?由方程可得 ，？x,x同号 x,x,,01212a01 若0,x,2，同x,x,2(负根舍去) 121
？x,x，2,2 ，即 ? ？g(2),04a，2b,1,021
2(b,1)42(x,x),,,4又， 212aa
2 (?，负根舍去) ？2a，1,(b,1)，1a,0
12代入?式可得， 解得。 2(b,1)，1,3,2bb,40,2,x,0x,x,2,,22 若，则(正根舍去) 121
？g(,2),0，即， ? 4a,2b，3,0
2又代入?式得 2a，1,(b,1)，1
722(b,1)，1,2b,1，解得 b,4
170,x,2,2,x,0综上可得:当时，;当时，。 b,b,1144
浙公网安备 33021202002483