线性代数 n维向量和向量组的线性相关性

线性代数 n维向量和向量组的线性相关性 第三章 线性方程组 ?3.1 n维向量及其线性相关性 教学目标:掌握n维向量及其运算，准确理解向量的线性相关和线性无关的定义， 掌握向量组的线性相关和线性无关的判定定理和判定方法. 重 点: ? n维向量的概念 ? 向量的线性运算 ? 线性方程组的向量形式 ? 向量组的线性组合 ? 向量组间的线性表示 ? 线性相关和线性无关的概念 ? 向量组的线性相关和线性无关判定 难 点: ? 线性相关和线性无关的概念的理解， ? 向量组的线性相关和线性无关的证明 内容要点 n一、维向量及其线性运算 n(a,a,？,a)定义1.1 数域上的个有次序的数a,a,？,a所组成的有序数组 F12n12n nnn称为数域上的维向量, 这个数称为该向量的个分量, 第个数a称为第个分量. Fiii向量常用小写希腊字母,,,,,,来表示; ,,(,,,)aaa向量通常写成一行 称之为行向量; 12n a,,1,,a2T,,,,,(a,a,？,a)向量有时也写成一列 称之为列向量( 12n,, ,,an,, 注:在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有 向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式(三个有次序实数)，此即上面定义的3维向量. 因此，当时，维向量可以把有向线段作为其几何形n,3n 象. 当时，维向量没有直观的几何形象. n,3n n若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组.{数域上n维向量的F,F n全体},实数域上的n维向量的全体. R, aa？a,,11121n,,aaa,,21222nm，n例如，一个矩阵 A,,,？？？,,,,aa？am1m2mn,, a,,j1,,a,,j2每一列组成的向量组称为矩阵的列向量组， (j,1,2,？n),,,,？,,,,A12nj,,？,,,,amj,, ,,(a,a,？,a)(i,1,2,？,m)而由矩阵的每一行组成的向量组称为,,,,？,,A12mii1i2in 矩阵的行向量组. A ,,,1,,,,,2A,根据上述讨论，矩阵记为 或 . A,(,,,,？,,)A12n,,？,,,,,n,,这样，矩阵就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. A n定义1.2 两个维向量,,(a,a,？,a)与,,(b,b,？,b)的各对应分量之和组成的向12n12n ,量，称为向量与的和, 记为，即 ,,，, ,，,,(a，b,a，b,？,a，b) 1122nn 由加法和负向量的定义，可定义向量的减法: ,,,,,，(,,) ,(a,b,a,b,？,a,b). 1122nn n定义1.3 维向量,,(a,a,？,a)的各个分量都乘以实数所组成的向量，称为数与向kk12n ,量的乘积(又简称为数乘)，记为，即 k, k,,(ka,ka,？,ka). 12n向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 注:向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) ; ,，,,,，, (2) ; (,，,)，,,,，(,，,) (3) ,，o,,; (4) ,，(,,),o; (5) 1,,,; (6) k(l,),(kl),; (7) k(,，,),k,，k,; (8) (k，l),,k,，l,. 二、 n维向量空间 定义2.1:数域P上的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的的加法和数量乘法，称 nn为数域上的n维向量空间，记作(称为你n维实向量空间. FRF 三、 向量组的线性组合 定义3.1 给定向量组，对于任何一组实数, 表达式 A:,,,,？,,k,k,？,k12s12s k,，k,，？，k, 1122ss 称为向量组的一个线性组合, 称为这个线性组合的系数. k,k,？,kA12s 注:可以都取零 k,k,？,k12s 定义3.2 给定向量组和向量, 若存在一组数使 A:,,,,？,,k,k,？,k,,12s12s ,,k,，k,，？，k,,1122ss 则称向量是向量组的线性组合, 又称向量能由向量组线性表示(或A:,,,,？,,,,A12s线性表出). 注:(1)能由向量组唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组,,,,？,,,12s 有唯一解; ,x，,x，？，,x,,1122ss (2) 能由向量组线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组,,,,？,,,12s ,x，,x，？，,x,,有无穷多个解; 1122ss (3) 不能由向量组线性表示的充分必要条件是线性方程组,,,,？,,,12s 无解; ,x，,x，？，,x,,1122ss 四、向量组间的线性表示 A,:,,,？,,;B:,,,,？,,,定义4.1 设有两向量组如果向量组:A12s12t,,,,？,,,(i,1,2,？,t),,,,？,,中每一个向量都可以经向量组线性表出，B:12ti12s ,,,,？,,,,,,？,,那么向量组就称为可以经向量组线性表出.如果两个向量组互12t12s相可以线性表出，它们就称为等价. ,,,,？,,由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组可以经12t ,,,,？,,,,,,？,,,,,,？,,向量组线性表出，向量组可以经向量组线性表出，12p12s12s ,,,,？,,,,,,？,,那么向量组可以经向量组线性表出. 12p12t 向量组之间等价具有以下性质: 1)反身性:每一个向量组都与它自身等价. ,,,,？,,,,,,？,,,,,,？,,2)对称性:如果向量组与等价，那么向量组12s12t12t ,,,,？,,与等价. 12s ,,,,？,,,,,,？,,,,,,？,,3)传递性:如果向量组与等价，与12s12t12t,,,,？,,,,,,？,,,,,,？,,等价，那么向量组与等价. 12p12p12s TT,,(2,,4,1,,1),,,(,3,,1,2,,5/2),例1 设 如果向量满足 12 3,,2(,，,),0, 求. ,12 3,,2,,2,,0解 由题设条件,有 则有 12 331TTT,(6,,5,,1/2,1). ,,,(2,,3,),,,，,,,(,3,,1,2,,5/2)，(2,,4,1,,1)2121222 例2 设,,(1,0,2,,1),,,(3,0,4,1),,,(,1,0,0,,3). 问是否可由,,,线性表示. ,1212 ,,k,，k,k,2,k,,1解: 设，可求得，所以有, ,,2,,,12112212 因此是的线性表出. ,,,,12 例3 证明:向量是向量的线性组合并具体将,,(1,2,3),,,(0,1,4),,,(2,3,6),,(,1,1,5)123用表示出来. ,,,,,,123 证 先假定其中为待定常数，则 ,,,,，,,，,,,,,,,,112233123 ,,(1,2,3)，,(0,1,4)，,(2,3,6),(,,2,,3,)，(0,,,4,)，(2,,3,,6,)(,1,1,5)12311122333 ,(,,2,,3,)，(0,,,4,)，(2,,3,,6,)11122333 由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组: ,,,，2,,1,1,,131,,,,,,2，，3,12., ,,1232,,3,，4,，6,,5,,,11233,, 于是可以表示为的线性组合，它的表示式为 ,,,，2,,,.,,,,,,123123向量组的线性组合 T,,(a,a,？,a)nn例4 任何一个维向量都是维单位向量组 12n TTT,,(1,0,？,0),,,(0,1,0,？,0),？,,,(0,0,？,0,1)的线性组合. 12n 解:因为 ,,a,，a,，？，a,. 1122nn 例5 零向量是任何一组向量的线性组合. 解:因为o,0,,，0,,，？，0,,. 12s ,,,,？,,,(1,j,s)例6 向量组中的任一向量都是此向量组的线性组合. j12s ,,0,,，？，1,,，？，0,,.解:因为 j1js 五、线性相关性的概念 A:,,,,？,,,k,k,？,k,定义5.1 给定向量组 如果存在不全为零的数 使 12s12s k,，k,，？，k,,0, (1) 1122ss 则称向量组线性相关, 否则称为线性无关. A 线性相关的概念的理解:“有一组不全为零的常数”，“存在一组不全为零的常数”，“找到一 k,，k,，？，k,,0,组不全为零的常数”使得则称向量组A:,,,,？,,,线性相12s1122ss 关. ,，,，,，,，,，,，,，,，判定该向量组线性相关. 例5.1 向量组12233441 (1,，,)-(1,，,)，(1,，,)-(1,，,),0解:取一组常数1，-1，1，-1使得， 12233441 ,，,，,，,，,，,，,，, 所以线性相关. 12233441 线性无关的定义的理解: ,,,,,,线性无关的定义:若向量组不线性相关，即没有不全为零的数12s kkkP,,,,kkk,,,，，，,0,,,,,,，使则称为线性无关的( 12s1122ss12s ,,,,,,kkk,,,，，，,0等价定义:一个向量组，若， 12s1122ss kkk,,,,0,,,,,,只有时成立，则称为线性无关的( 12s12s ,,,,,,kkkP,,,,等价定义:一个向量组，对于任意一组不全为零的数，使12s12sk,，k,，？，k,,0,则称该向量组线性无关. 1122ss ,,,,,,kkkP,,,,等价定义:一个向量组，存在一组常数使得 12s12skkk,,,，，，,0kkk,,,,0,,,,,,，可求得，则称为线性无关. 1122ss12s12s ,,(1，0)，,,(0，1),，,例5.2 若向量组，则向量组线性无关. k,kk,，k,,0找不到一组不全为零的常数使得，所以向量组,，,线性无1212 关. k,kk,，k,,0k,k,0或者，若存在一组常数使得，则可求得， 121212 ,，,所以，向量组线性无关. 例5.3 若向量组,,(1，1)，,,(k,k)，则向量组,，,线性相关. ,,k,,有k,,,,0k,,,,0 因为，即存在k,,1不全为零的数使得， ,，,所以向量组线性相关 TTT,(1,0,？,0),,(0,1,0,？,0),？,,(0,0,？,0,1),,,例5.4 向量组线性无关 12n A:,,,,？,,,k,k,？,k,注: 给定向量组 如果存在数 使得 12s12s k,，k,，？，k,,0, (1) 1122ss k,k,？,k,0? 当且仅当时，(1)式成立, 向量组线性无关; ,,,,？,,12s12s ? 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ,? 向量组只含有一个向量时，则 ,(1)的充分必要条件是是线性无关的; ,,0 ,(2)的充分必要条件是是线性相关的; ,,0 ? 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例; 反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ? 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是 这三个向量共面. 六、线性相关性的判定 定理6.1 向量组,,,,？,,(s,2)线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量12s 可由其余个向量线性表示. s,1 ,,,,,,证明:必要性 设向量组线性相关，即存在不全为零的数 使 k,k,？,k,12s12s kkk32s,,-,,,,？,,k,0k,，k,，？，k,,0,不妨设，，则有， 1122ss123s1kkk111 所以必要性成立. ,,,,？,,,,l,，l,，？，l,,,充分性 不妨设可由线性表示，即于23s12233ss1 ,,，l,，l,，？，l,,0,,1,l,l,？l是有成立.因为不全为零，故向量组12233ss23s,,,,,,线性相关. 12s 定理6.1的逆否命题是: 定理6.1’ 向量组,,,,？,,(s,2)线性无关的充分必要条件是向量组中任一向量不能由其12s 余个向量线性表示. s,1 TTT,(1,0,？,0),,(0,1,0,？,0),？,,(0,0,？,0,1),,,例6.1 设n维向量组，证明该12n向量组线性无关. k,k,？,k,k,，k,，？，k,,0,证:设一组常数 使可得 12n1122nn k,k,？,k,0，故该向量组线性无关. 12n ,,,,？,,例6.2 如果向量组中有一部向量线性相关， 12m ,,,,？,, 则整个向量组线性相关. 12m ,,,,？,,(j,m)线性相关，由线性相关的定义， 证:不妨设12j k,k,？,k,k,，k,，？，k,,0,存在不全为零的数 使 1122jj12j k,k,？,k,0,？0,从而有不全为零的数 12j k,，k,，？，k,，0,，？，0,,0,使得 1122jjj，1m ,,,,？,,故，. 12m ,,,,？,,该题的逆否命题是:如果向量组线性无关， 12m ,,,,？,,(j,m) 则该向量组中一部向量组线性无关. 12j ,,,,？,,,,,,？,,结论:向量组部分向量线性相关， 则整个向量组线性相关. 12m12m ,,,,？,,向量组整体线性无关，该向量组部分向量线性无关. 12m a,,j1,,a,,2j,,,,？,,定理6.2 设列向量组 则向量组线性相关的充要,,,(j,1,2,？,r),12rj,,？,,,,anj,, 条件是齐次线性方程组 (3.1)有非零解，其中 AX,0 aa？ax,,,,r111211,,,,aa？ax,,,,r212222A,(,,,,？,,),X,矩阵 ,.12r,,,,？？？？,,,,,,,,aa？axnnnrr,,,,12 x,，x,，？，x,,0,证:设 (3.2) 1122rr a0aa,,,,,,,,1112r1,,,,,,,,aa0a,,,,,,,,22122r即. (3.3) x,x，x，？，12r,,,,,,,,？？？？,,,,,,,,,,,,,,,,aaa0nn2nr1,,,,,,,, 将(3.3)式做向量的线性运算，即得(3.1)线性方程组. ,,,,？,,x,x,？,x向量组线性相关，就必有不全为零的数 12r12r使(3.2)成立，即是齐次线性方程组 有非零解; AX,0 反之，如果齐次线性方程组 有非零解，也就是有不全为零的数 AX,0 x,x,？,x,,,,？,,使(3.2)成立，则向量组线性相关. 12r12r ,,,,？,,该定理的等价命题:向量组线性无关的充要条件是齐次线性方程组 12r 只有零解 AX,0 n结论:任何个维向量都是线性相关的. n，1 理由:由定理6.2 当方程个数少于未知数的个数时，齐次线性方程组有非零解. ,,,,？,,,,,,？,,定理6.3 若向量组线性无关，而,,线性相关，则可由,12r12r ,,,,？,,线性表示，且表示法唯一. 12r ,,,,？,,k,k,k,？,k,证:因为,,线性相关，则存在不全为零的数 12r12r使k,，k,，k,，？，k,,0,其中(如果，则由,,,,？,, k,0k,01122rr12r k,k,k,？,k,k,k,k,？,k,线性无关，又使得必须全为零，这与不全为零矛盾) 12r12r kkk12r,,,,？,,,,-,,,,？,,于是可由线性表示，且， ,12r12rkkk ,,l,，l,，？，l,,在证表示法唯一，设有两种表示法: 1122rr ,,h,，h,，？，h,, 1122rr (l,h),，(l,h),，？，(l,h),,0.于是 111222rrr l,h,0,l,h,i,1,2,？,r,,,,,？,,因为向量组线性无关，所以必有即 iiii12r ,,,,？,,故可由线性表示，且表示法唯一. ,12r nnn,,,,,？,,推论6.4 如果中的向量线性无关，则中的任意向量可由FF12n ,,,,？,,线行表示，且表示法唯一. 12n 例6.1 设有3个向量(列向量): ,111,,,,,,,,,,,,,,0,,,2,,,2, ,,,,,,122,,,,,,124,,,,,, 2,，,,,,0,,,,,,不难验证 因此是3个线性相关的3维向量. 123123 10,,,,,,,,e,,e,,例6.2 设有二个2维向量: 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数12,,,,01,,,, ,,010,,,,,,,,,,11,,,,,,,,,,,，,,0,，,,0.,,,, 使,e，,e,0,也就是 12121122,,,,,,,,,,,,01022,,,,,,,,,, 于是,,0,,,0, 这同,,,不全为零的假定是矛盾的. 因此e,是线性无关的二个e121212向量. n例6.3 维向量组 TTT,(1,0,？,0),,(0,1？,0),？,,(0,0,？,1),,, 12n n称为维单位向量组, 讨论其线性相关性. n解 维单位坐标向量组构成的矩阵 10？0,,,,01？0,,, E,(,,,,？,,)12n,,？？？？,,,,00？1,, E,1,0,n是阶单位矩阵.齐次线性方程组，由只有零解 EX,0EX,0故该向量组是线性无关的. 102,,,,,,,,,,,,1,2,aa,a,,4例6.4 已知 , 试讨论向量组a,a,a及的线性相关性. a,a,,,,,,12312312,,,,,,157,,,,,, 解 由定理6.2 求齐次线性方程组的解，由高斯消元法， A,(a,a,a)AX,0123 对矩阵施行初等行变换成行阶梯形矩阵，可同时看出矩阵 A,(a,a,a)A123 102102102,,,,,,5r,rr,r21,,,,,,122022,124022,,,,(,,,,,,) ,,,,,,,,123r,r31,,,,,,157055000,,,,,, 有非零解 AX,0 ,,,,,,故向量组线性相关. 123 B,(,,,)同样，a,a有 只有零解，故向量组线性无关. BX,01212 例6.5 证明:若向量组线性无关, 则向量组亦线性无关. ,,,,,,，,,,，,,,，,证 设有一组数k,k,k,使 123 k(,，,)，k(,，,)，k(,，,),0 (1) 123 (k，k),，(k，k),，(k，k),,0成立，整理得 131223 由线性无关，故 ,,,,, k，k,0,13,k，k,0 (2) ,12,k，k,023, 101 110故方程组(2)仅有零解.即只有时(1)式才成立. 因为k,k,k,0,2,0,123 011 因而向量组线性无关. ,，,,,，,,,，, 例6.6 设向量组a,a,a线性相关, 向量组线性无关, 证明 a,a,a123234 (1) 能由线性表示; aa,a123 (2) 不能由a,a,a线性表示. a4123 证明(1)因,,,,,线性无关，故,,,线性无关，而线性相关，从而能由,,,,,,,,,23423123123线性表示; (2)用反证法. 假设能由线性表示，而由(1)知能由,,,线性表示，因,,,,,,,4123123此能由,,,表示，这与,,,,,线性无关矛盾.证毕. ,423234 随堂练习: 1. 判断下列命题是否正确，如正确，证明之，如不正确，举反例: ,,,,？,,(m,2)(1) 线性无关的充要条件是任意两个向量线性无关; 12m ,,,,？,,(m,2)(2) 线性相关的充要条件是有个向量线性相关; m,112m a,a,,,k,k(3) 若向量组线性相关, 向量组线性相关，则有不全为零的数，使得121212 k,，k,,0,k,，k,,0,k(,，,)，k(,，,),0,且从而使 11221122111222 ,，,,,，,故线性相关; 1122 a,a,,a,,,a,,,,,,(4)若向量组线性无关，则线性无关; 123122331 a,a,,,,a，,,a，,,,，,,,，,(5)若向量组线性无关，则线性无关; 123412233441 a,a,？,,a，,,a，,,？,,，,,,，,(6)若向量组线性相关，则线性相关. 12n1223n,1nn1 ,,,,？,,(m,2)(7)线性无关的充要条件是任意一个向量都不能由其余的向量线性12m 表示; k,k,？,k,0,k,，k,，？，k,,0,(8)若有一组全为零的数使得则 12r1122rr ,,,,？,, 线性无关. 12r k,k,？,k,k,，k,，？，k,,0,使得则向量组 (9)若有一组不全为零的的数1122jj12j ,,,,？,, 线性无关. 12j ,,,,？,,(10)若向量组线性相关，则任一向量可由其余向量线性表示. 12r 2. 试证明: ,(1) 一个向量线性相关的充要条件是; ,,0 ,(2) 一个向量线性无关的充分条件是; ,,0 (3) 两个向量线性相关的充要条件是或者(两式不一定同时成,,,,,k,,,k, 立)。 3. 判断向量组 TTT,(1,2,0,1),,(1,3,0,,1),,(,1,,1,1,0),,,是否线性相关. 123