[整理]热力学与统计物理——第09章系综理论习题解ok1

[整理]热力学与统计物理——第09章系综理论习题解ok1 第九章 系综理论 1,,Es习题9.1证明在正则分布中熵可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 为其中是系统,,eSk,,,,ln,sssZs 处在态的概率。 s 证:熵的统计表达式是 ,lnZ (1) ,SkZ,,(ln),, 多粒子配分 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 11,,,,,,EEEsss,,,,,,eZeZe1, (2),,,sZ,ss ,,,,EEkk,,EeEe(),,kk,lnZkk (3) ,,,E,k,,Ze,k 由(2)知 ,,Es (4) eZ,,s 1 (5) ,,,，,,,，,,,EZEZlnlnlnln，，ssss，，, (4)X(5)代至(3)得 ,ln111Z; ,,,,,，,，lnlnlnlnZZ，，,,ssss，，,,,,,ss 于是 ,,,lnZ,,,SkZk,,,,lnln,ss,,,,s,, 证明2:准备工作 11,,,,EEsslnlnSkkee,,,,,,,,ssZZss 1,E,s(ln),,,,keEZ,,sZs 11,,EEss,,,，keEkeZln,,s,ZZss ,lnZ,,EEss,,,，keke(),,,,ZZ,ss, ln,Z,,EEss,,,，keke,,,,ZZ,ss,,Zln,,，kkZ,Z,,ln,Z,,，kkZln,,,,lnZ,,kZ(ln) ,,,习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵 N1,,E222s证: ZeEppp,,，，，，,,ixiyizm2,1si 符号 dpdpdpdp,dqdxdydz,,,ixiyiziiiii NN,,222222，,N,，，,，，pppppp，，，，ixiyizixiyiz,,2m1V2m,,ii11Zedpdqedp,,33NN,,NhNh!!,, N3/2N NN222,，,(),，，ppp，，,,,VVm2xyz2m,,,edpdpdpZ,,,,xyz33NN,,,NhNh!!,,,，， 3/2NN，，ln23ZVm,,,,,,3/2NUNkTlnln,,,,,,,,, ,,3NNh!2,,,,,,,,,,,，， 3/2NN，，,,ln1211ZVm,,,,NpVNkTlnln,,,,,, ,,3NVVNhV!,,,,,,,,,,,,，， 3/2NN，，,,,ln23ZVm,SkZkZUkNk,,,，,，(ln)(ln)ln,,,,,,3N,Nh!2,,,,,,，， 3/2NN，，,,Vm23,,,，kkNNklnln!,,,,3Nh2,,,,,，， 3/2，，,,Vm23,,,，，NkkNNkNNklnln,,,,3h2,,,,,，， 3/2，，VmkT25,,,,，NkNkln,,,,2Nh2,,,,，， 习题9.5 试根据正则分布导出实际气体分子的速度分布。 解:实际气体的能量表达式为 N1222Epppr,，，，,() (1) ，，,,ixiyizijm2,,1iij 1,,Es态的概率是，也就是说，第1,2,…N个粒子由正则分布，系统处在,,essZ 的动量分别处在dpdpdpdpdpdpdpdpdp,,,？,位置分别处在111222xyzxyzNxNyNz dqdqdqdqdqdqdqdqdq,,,？范围内的概率是 111222xyzxyzNxNyNz N，，1222,,,,pppr(),，，，，，ixiyizij,,m2,,1,,1iij，，edpdqN3Nh!,pqdpdq(,),N，，1222,,pppr(),，，，，，,,ixiyizij,,m2,,1,,1iij，，edpdq,N3Nh! dpdpdp对于任意1个分子比如第m个分子，位置处在体积V内，动量处在mxmymz dpdpdpdp,范围内的概率是将上式对除以外的变量进行积分dpdqmmxmymz ,,()(,)pdpdppqdpdpdpdpdpdqdqdq,？？mmmmmNN121112,，, N，，1222,,,，，，,,pppr()，，ixiyizij,,2m,,,,iij1，，dpedpdpdpdpdpdqdqdq？？mmmNN121112,，,,N，，1222,,,，，，pppr()，，,,ixiyizij,,2m,,,,1iij，，edpdq, N1222,,,()r，p,，ppij,，，izixiy,,2m,ij,i1dpdpdpdpdpedqdqdq？？dpem121112mmNN,，,,,N1222,()r,，，ppp,,ij,，，,ixiyiz,2mij,,i1edpedq,, 1222,，，ppp，，mxmymz,2mdpdpdpemxmymz,N1222,，，ppp，，mxmymz,,2m,i1edpdpdpmxmymz, 23/2m222,，，vvv,，，mxmymz,,32m,mdvdvdve,mxmymz,,2m,,, 即 3/2m222,，，vvvm，，mxmymz,,kT2,(),pdpedvdvdv ,,mmmxmymz2,kT,, 由此可见，实际气体分子也遵从麦氏速度分布。 习题9.12用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程，内能，熵和化 学势。 解:巨配分函数的定义是 ,,,,NEs,,e,, (1) NS 上式可改写为 ,,E,,,,NNs,,,eeeZTV(,),,,N (2) NSN ZTV(,)其中是个粒子的正则配分函数 N N,222,，，ppp，，ixiyiz,2m1,,,,EEsli1,(,),,,ZTVeeedpdq,,,NlN3,!NhSl NN222,，,NN222,，，ppp,，，ixiyiz,，,,，，ppp()，，VVxyzm2i1,m2,,edpedpdpdp,,xyzNN33,,,,NhNh!!，，,, 3/2NN,,Vm2,,,,N3!Nh,,, (3) 代入(2)求得巨配分函数为 3/23/2NNNN,,,,VmVm212,,NN,,,,,,,ee,,,,,,33NNNhNh!!,,NN,,,, N3/23/2N,，，,,,,1212mmNN,,,,,,,,eVeV,,,,,,,,22NhNh!!NN0,,,,,,, (4),,，， 3/2，，,,2m,,,,expeV,,,,2h,,,,,，， 巨配分函数对数是 3/2,,2m,,,ln,,eV,, (5) 2h,,, 系统的平均粒子数为 3/23/2,,,,,,22mm,,,,,,,,,, (6)Nln =lnΞeVeVΞ,,,,,,,,,,,22hh,,,,,,,,,,,,,, 由此定出 3/2，，,,Vm2, (7) ln,,,,,,2Nh,,,,,，， 由,,,,,进一步得粒子的化学势为 3/2，，,,Vm2, (8)/lnkTkT,,,,,,,,,,,,,,2Nh,,,,,，， 系统的内能 3/23/2,,,,,,2233mm,,,,,,,,,, (9)Uln =ΞeVeVNkT,,,,,,,,,,,22hh22,,,,,,,,,,,,,,, 上式的计算用到式(6)的结果。气体的物态方程是 3/23/2,,,,,,221mmN,,,,,,,,,,pln =ΞeVekT,,,,,,,,,,,22VVhhV,,,,,,,,,,,,,,, (10) 即 pVNkT, (11) 系统的熵是 ,,Sk(lnlnln) =(ln)ΞΞΞ,,,,kΞNU,,,，，,,,, (12) 将(6)(7)的结果代入(12)得 3/2,,，，,,Vm23,,,SkNNUkNNNkT=()ln，，,，，,,,,,,,,,2Nh2,,,,,,,，，,, 3/23/2,,,,，，，，,,VmVmkT2325,,,,,,,,,，，,，NkNk1lnln (13),,,,,,,,,,,,22NhNh22,,,,,,,,,,,,,，，，，,,,, 3/2，，325Vmk,,,,，，，NkTNkNklnlnln,,,,222Nh,,,,，， 习题9.17利用巨正则分布导出玻耳兹曼分布。 解: 巨正则分布为 1,,,,NEs,,e (1) Ns, 巨配分函数是 ,,,,NEs,,e,, (2) NS ,(1,2,)l,？假设系统只含一种近独立粒子，粒子的能级为，当粒子在各能l a级的分布为时，系统的粒子数和能量为 ,,l (3) NaEa,,,,,lllll (2)式对N,S的求和可以变换为对一切可能的分布求和，并乘上一个分布所对应 a/1, ll的系统的微观状态数。在粒子不可分辨且满足的情况下，一个分布所 对应的系统的微观状态数 al,,,MBl (4) ,,Na!!ll 巨配分函数是可以表示为 al,,，(),,,alll,,e,,!a,,alll (5)al1,，(),,,l，，,,,e,,,,，，ll!alalll 其中 a1l,，,，()(),,,,,,ll，，，，,,ee,,, (6)exp,lll，，，，a!all ,粒子的能级上的平均粒子数是l ,,ln,，(),,,llae,,,, (6) ll,, 上式就是玻耳兹曼分布。 ,,ln,，(),,,llae,,,,,,,ll,,lll ,, ,,,,,,lnln,,ll,,ll,, , ,,,,lnN ,,