基于多高斯窗的实值离散Gabor变换与展开

基于多高斯窗的实值离散Gabor变换与展开 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 或撰写过的研究成果，也不包含为获 :导(委彳极大雾其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 斗 n f 学位论文作者签名:?争死 签字日期: 叫?年厶月甲日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解善动寰女大学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授柽塞銎毂欠|争以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文作者签名:音缶劾 导师签名:11氮名五 签字日期:沙7z年6月弓日 签字日期: z汐防年6月垆日 学位论文作者毕业去向: 工作单位: 电话: 诵讯地抽[: 邮编: 摘要 摘要 Gabor变换是一种重要的时频变换理论，在数字信号和数字图像中有广泛的 应用。近几十年围绕Gabor变换的研究课题主要有对偶窗的求解方法，Gabor变 换的计算问题，时频分辨率问题。本文主要围绕基于多斯窗的离散Gabor变换进 行了研究。 论文首先回顾信号时频分析的一般理论以及发展历程，然后重点介绍了 Gabor变换的发展状况和最近研究成果。近十几年来国内外学者提出了很多计算 Gabor系数的方法，但是这些计算方法都是基于复数运算的，计算复杂性很高， 而近年来实值离散Gabor变换理论降低了Gabor变换计算的复杂性;其快速算法 的提出也提高了离散Gabor变换实时应用性。 然而，在对Gabor展开与变换及应用深入研究中，我们发现上述研究的 ;abor 展开与变换使用的都是固定的单窗 单个分析窗或综合窗 ，根据Heisenberg不 确定性原理，单窗Gabor展不与变换有一突出缺点:其时频局域性 或时频 分辨 精度 受到很大限制。由于窗 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 是固定的，时频谱的时间分辨精度与频二笨分辨 精度也是固定的，并且不可能同时都好，二者是矛盾的。时域较窄高斯商对应的 时间分辨精度较好但频率分辨精度较差;反之，时域较宽高斯窗对应的时fllj分辨 精度较差但时间分辨精度较好。对包含具有不同时间和频率局域性分肇 即具有 持续时问不同和频带范围不同的分量 的信号，其单窗Gabor变换对应的时频谱 就无法对信号所有分量进行有效地表示。 论文研究了基于多高斯窗实值离散Gabor变换上，Gabor基函数由不同带宽 的高斯窗调制组成，可有效提高的时频分辨率，有为进化谱的计算提供一种 新的 方法，因此能很好的处理随机非平稳信号。基于多高斯窗离散Gabor变换也 为进 化谱的计算提供一种新的方法可更有效地分析和处理非甲稳信号。 关键词:多高斯窗，不确定原理;时频分辨率，进化谱 domain thetimedomainand simultaneously transformcanin frequency AstheGabor hasbeen as betterlocalizedinformation， informationprocessingrecognized toobtain inrecent thebest(Gabortransformation and inoneof representation signalimage dualsolution windowofthe aroundthemain method， Gabor decades(reseal(ch ofthe resolution transform problem( speed，time-frequency computing the brief of the of description Thesisfirstintroduces analysis，a theorytime(frequency a Gabor transform non-orthogonal traditionalGabor developmentprocess(As theory theGaborcoefficients cannot solve window thereforesimply transfonnfunction，and become transformcoefficients ofthe to toGabor oftheinner get productwaythrough transforminreal-time in theGabor applications affecting verycomplex，thereby alotof andabroadmade thelast scholarsathome decade，many engineering(Over arebasedon ofthe thesecalculations Gaborcoefficientsmethod，but computin2 toreducethe coefficientsinorder transform computational numbers，Gabor complex discreteGabor a ofreal-valued Tao theory Liangproposed complexity,Professor of theGaborcoefficients complexityproblem( transfoHnandsolve computational leadtoaconstant a windowfunction Gabortransform Traditional separate using Cannot afixed resolution(Weguarantee bandwidth，withtime(frequency anda while thebestresult separate and resolution time(resolved achieving frequency window functionconstant discussesthemulti-Gaussian window bandwidth(Paper the alsobeformed Can discreteGabortransform，and by tothereal(valued appIlied the Gabor hasahi resolution， both differentbandwidth ghtime-frequency grid，which transform thediscreteGabor speed ofthevalueof algorithm physicalreality tothe of resolution， alsoa solution time-frequency good problem advantages，but wellhandle anew Can of method，it computing evolutionaryspectrum promising random non(stationarysignals( Keywords: Multi(Gaussian window,Uncertaintyprinciple，Time(Frequency Spectrum 目录 目录 摘要„„„ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( I ABSTRACT。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( II ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? III 目录„ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一章绪论„„„„„„„„„„„„„„( 1(1信号的时频处理方法和理 论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„l 1(2信号H’『频处理方法的发腱历 程„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„l 1(2(1信号的短时傅里叶变换理 论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 1(2(2时频联合分布理 论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 1(2-3小波变 换„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 1(3信号时宽和带钯的,1i确定原理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 1(4多高斯窗GABOR变换的研究背景和意义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„((4 1(5论文的 iJ『究内褡和卷节安排„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7 第二章离散GABOR变换理论( 8 2(1币窗复值离散GABOR变换与J琏开理论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„一8 2(2巾(窗吱值离散GABOR变换与J挺开理论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„16 2(3基]:多抽样丰的离散GABOR腱开与变换理论„„„„„„„„„„„„„„„„„„17 2(3(1肇-J:多抽样率的数。，信号处理基础„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„17 2(3_2基J:多抽样丰的离散GABOR腱开„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(19 2(3(3撼‘J:多抽样;年的离散GABOR变换„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(20 2(3(4算法的FPGA实现【i5J„„„„„„„一:„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„22 2(4GABOR，蔓换与展开的框架理沦简 介„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(26 第三章基于多高斯窗的GABOR变换理论 3(1基丁(多高斯窗的复值连续GABOR腱开与变换„„„„„„„„„„„„„„„„„„29 3(2基-Ji多高斯窗的复值离散GABOR变换理论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„30 3(3基J:多高斯窗的实值连续GABOR展开与变换„„„„„„„„„„„„„„„„„„32 3(4基丁(多高斯窗的实值离散GABOR变换理论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„33 3(5基r多高斯窗的实值离散GABOR的进化i:普分析„„„„„„„„„„„„„„„„„39 3(6模拟实 验„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(42 第四章总结与展 望„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„。 „„(47 4(1总 结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„47 4(2J琏j型„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„47 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„ 48 致 谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( 51 硕士期间发表的学术论 文„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„52 硕士期间参加的科研项 目„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„52 第一章绪论 第一章绪论 1(1信号的时频处理方法和理论 我们可以把给定的信号表示成很多形式，不同的应用场合使用不同的信号表 示方法。例如，在 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 应用中的信号通常用时间的函数来表示，但是在研究或者 设计,个系统时，对信号的描述和研究通常在频域里进行，这是因为信号或者系 统的很多重要性质很容易在频域里获得。尽管有很多方式来描述一个给定的信 号，但在自然界中最基本也最重要的两个变量是时间和频率，时问函数描述信号 的振幅如何随着时间的变化而变化，频域函数能反映出多久这些改变发生。时域 到频域变换桥梁是Fourier[IJ变换。 Fourier变换可以将信号分解成不同振幅的正余弦之和，虽然这样分解很好 理解频率的概念，但是Fourier变换对某些非平稳信号分解不是很好的工具【2J， 例如生物信号，地震信号等。地震信号在时域内从负无穷持续到『F无穷，因此正 弦模型并不实用于地震信号的分析。频域表示法就存在的问题，因为它无法表示 出某时刻信号的频谱的分布情况，为了克服上述问题，学者开始研究联合时频分 析方法 即将信号从时域变换到时频联合域晕 和信号的子带分解方法等。主要的 时频分析方法有三大类:线性变换 STFT，6aborexpansion，Wavelet变换 ， 非线性变换 Wigner―Ville分布，Cohen分布 ，参数化时频分析。 1(2信号时频处理方法的发展历程 1946年，匈牙利籍英国科学家Dennis of Gabo一31首次在《Theory 在1932年提出的Wignger时频联合分布理论运用到信号处理理论中，得到了一 种新的信号时频处理方法和理论。 皋于多高斯窗的实值离散Gabor变换‘j腱开 1(2(1信号的短时傅里叶变换理论 of D(Gabor就在 TheoryCommunication 中提出短时傅里叶变换的思想 也是最早的一种时频分析方法【3】和理论，用来对实时语音信号的处理。连续时间 信号x r 乘以一个以t为中心的窗函数w( f―t 然后做傅晕叶变换被定义为x f 的短时傅罩叶变换 (S印z ，即 1(1 STFT。 t，厂 ex r ‖ r―f e-J2Jrlrdf 上式称作信号x f 的短时傅晕叶展不。w t 足一个时域宽度很短的函数，一般称 为窗函数，常用的窗函数有矩形窗函数，高斯窗函数，汉明窗函数，汉宁窗等。 从公式 1(1 中可以看出，在时亥1(1t，S盯r是信号x r 乘以平移的窗函数‖ f―t 后在做Fourier变换，因此可以有效的抑制窗函数以外的信号，反映局部信 息‘51。 1(2(2时频联合分布理论 布使用在量子力学领域的研究，但是在接下米的很长时|1IJ内并受到科研工作者的 1le分布【4】也是 理领域才开始得到学者们的注意和肯定，因此被称为Wigner―Vi 时频联合分布中最重要的一个分布。连续信号工 ， 的Wigner-Ville时频联合分布 定义如下: 七2， wV毗舻,x r+妒 r一三 唧一2斫胁 由 1(2 式可以很容易可看出，信号x t1在表达式坦出现了两次，因 此 两个连续时间信号，则五 f 与t f Wigner-Ville时频联合分布定义如下: wV。-_cr，,， E z- c，(3， x。 ，+乏 x; r一乏 expc―j2万(厂’r，d 若有x f alxI t +a2x2 t ，则 2 第一章绪论 1(4 义为: 式中痧 善，r 是在 善，f 平面内的核函数，决定了PAt，厂 的若干性质。 早在1946年，DenniSGabor就提出用二维的时频平面上的离散的点来分解 一维信号的思想， 1(6 工 f -??C m，n h t-mT exp jn-Qt 变换近年来在信息处理领域获得了越来越广泛的应用。 1(2(3小波变换 法国学者J(Morlet在1982年首先提 5了小波变换的思想，后经过其它几位法国 学者,系列的改造和完善，已经成为一种,。。泛应川的信号时频分析的工具。小波 分析定义为: w耻纠2击,m矿 等户r 七7 其中a是常量，妒 f 为皋本小波函数或母小波函数。若把缈 f 看成是一个窗函数， 则缈 f,口 的宽度由a决定。小波变换足在20世纪80年代后期发展起来的理论， 信息处理领域和数学领域的得到广泛的应用[7,81。 1(3信号时宽和带宽的不确定原理 时宽和带宽是时频分析中最毖本的概念，时宽一带宽乘积定理即测不准 或 称不确定性 原理 9】'是关于Fourier变换的基本描述。根据傅艰叶变换的性质 可得: ax at H 1(8 X , 甚于多高斯窗的实值离散Gabor变换1j展开 从式中可知信号的时宽和带宽之间存在着相互制约的关系。假设连续时间信号 工 f 是有限能量零均值复信号，工 f 的有限时间宽度?，和频谱X f 的有限频带 宽度?。分别称为信号的时宽和带宽，并定义为 ?; 去emf 12出 1(9 dQ 2(o Ix n 2 ?三2壶eQ2 E e九I‘出 EIx Q I。dr2 2(1 根据公式 1(9 ， 2(0 ， 2(1 可以得出时宽和带宽满足下列不等式: ?;?毛?吉 或 ?，?Q?专 2(2 不定原理是信号处理中一个重要的基本定理，又称Heisenberg测不准原理，或 Heisenberg―Gabor不确定性原理，可以看出一个给定信号的时宽与带宽的乘积为 一个常数。当信号时宽减小时，带宽将相应的增大，当时宽减小时，带宽将变为 无穷大。在这基本关系的制约下，人们探索既能得到好的时问分辨率 或窄的时 宽 3LN‘(‘(得到好的频率分辨率 或窄的带宽 的信号分析方法„01。 1(4多高斯窗Gabor变换的研究背景和意义 Gabor变换理论是一种重要的数字信号和数字图像处理的方法。Gabor变换的重 要性质是Gabor变换系数反映了信号在时频联合域内的局部信息，因此被广泛应 ?于信息处理，模式识别，数字系统的建模等方面。可是由于Gabor变换算法的 具有较高的计算复杂性和固定的时频分辨率，因而限制了其实时应用。Gabor变 换ji要有三大研究课题: 1 对偶窗的求解方法，比较典型的有双正交分析法 变换并行算法【14】，格型并行算法【15】; 3 时频分辨率问题，时频分辨率是个重 要研究课题，如何提高时频分辨率值得深入研究。从1946年以来，围绕这些课 题国内外许多学者相继提出了很多解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 和思路，最近导师课题小组提出的基 予多抽样率的 ;abor变换算法具有较高的计算速度【141，我对用FPGA实现该并行 算澍?J进行了研究，在对Gabor展不与变换及应用深入研究中，我们发现上述研 4 第一章绪论 究的Gabor展开与变换使用的都是固定的单窗 单个分析窗或综合窗 【17】，单窗 不与变换的时频局域性 或时频分辨精度 受到很大限制【18】。由于窗函数是固定 的，时频谱的时间分辨精度与频率分辨精度也是固定的，并且不可能同时都好， 二者是矛盾的。窄窗对应的时间分辨精度较好但频率分辨精度较差;反之，宽窗 对应的时问分辨精度较差但时间分辨精度较好117】。对包含具有不同时间和频率局 域性分量 即具有持续时问不同和频带范围不同的分量 的信号，其单窗Gabor 变换对应的时频谱就无法对信号所有分量进行有效地表示【l引。例如，有一信号包 含一固定频率的证弦分量 持续时问长、频带窄 和一瞬时冲激分量 持续时间 短、频带宽 ，如图l一1所示。使用窄分析窗时其单窗Oabor变换对应的时频谱 如图卜2所示，由于窄窗的时问分辨精度比频率分辨精度好，时频谱中只有瞬时 冲激分量很好地表示出来了;使用宽分析窗时其单窗Gabor变换对应的时频谱如 图卜3所示，由于宽窗的频率分辨精度比时问分辨精度好，时频谱中只有固 定频 率的J下弦分量很好地表示出来了。若同时使用这二种窗函数，其多窗Gabor变换 对应的时频谱如图1-4所示，此时这两个具有不同时间和频率局域性的分量都得 到了较好地表示，由此可见，多窗Gabor变换可有效改善其时频表示精度。由于 非平稳信号或时变信号大多包含具有不同时间和频率局域性分量，研究多窗 Gabor变换对这类信号的分析和处理具有十分重要的理论和应用意义。 图1-1包含一同定频率正弦分量和一瞬时冲激分鲑的信号 O O 图卜2使Hj窄窗时单窗Gabor变换对应的时频谱 船爨分 O0 图卜3使川宽窗时单窗Gabor变换对应的时频谱 X10 4 薰。 莒 :7 120 0 1I _ I 60 O 0 图1-4多窗Gabor变换对应的时频瞒 为此，文献[18】利用框架理论将传统单窗复值离散Gabor变换推广剑多窗复值离 6 第一章绪论 散Gabor变换，但计算分析窗的算法较复杂，也没研究给出多窗复值离散Gabor 变换及其逆变换快速算法;目前，对多窗实值离散Oabor时频变换研究更是空白。 多窗离散Gabor展开与变换比单窗离散Gabor变换及其逆变换计算量有成倍增 长，研究快速窗函数计算算法及快速多窗离散Gabor展不与变换算法，对实时应 用十分重要。另外，采用多窗的Gabor变换不仅可以改善传统的单窗Gabor变换 时频精度，还可以用来进行进化谱分析。 1(5论文的研究内容和章节安排 换的理论，然后介绍了由导师等人提出的实值Gabor变换基本理论【19,20】及其基于 多抽样率的快速算法【14】，这些Gabor变换的新算法都是基于单窗的，因此具有固 定的时宽和带宽这一缺点，为此我们捉f 了基于多高斯窗的离散Gabor变换的新 算法。 论文的结构安排如下所示: 第一章，简要介绍了信号的时频分析方法和历程，以及论文各章的主要研究内容。 第二章，简要交代了Gabor变换理论的发腱历程，重点阐述了基f双iF交分析法 换理论。并着重介绍了计算速度最快的坫于多抽样率的离散Gabor变换理论。 第三章，重点介绍了基于多高斯窗的离散Gabor变换理论包括基于多高斯窗的离 散复值Gabor变换理论和基一:多r岛斯窗的离敞实值Gabor变换理论，以及在多高 斯窗下双J下交关系式的研究。 第四章，对论文的研究工作的总结平?后续研究内容和方向的展望。 从而得到了时频联合域内的局部信息。本章主要介绍以双正交分析法为辅助的传 统Gabor变换，基于多抽样率的Gabor变换算法以及Gabor框架理论。 2(1单窗复值离散Gabor变换与展开理论 2??01 C m，以 Jll„ f J f ZZ 式 2(01 中: 朋，" 0，?l，?2，„ 2??02 矗。。 f h t―mT exp jnf2t 连续Gabor反变换定义为: c 刚 ,x f 成。 t dt 2??03 其中: ?。 , y t-mT exp jnQt 2??04 ?。 f 疋IA?*，， f 的共轭函数。?(。 f 与?(。 f 的双正交关系式 如下 为了将连续Gabor变换理论改成可以实际应用的离散Gabor变换【211， 便于推 导公式我们选用M和露两个正整数并且有: U 聊 瓦砺 2(06 并且定义气 f 和吃 f 如下: 屯( f ?x t+kU 2??07 玩( f h t+kU 2(08 上 第二二章离散Gabor变换理论 入式 2(07 ，可得: 而 f ?x t+kU @D卵 :圭壹?刀 ?地+kU-mT expm四 ??C m，n hu t―mT exp jnQt 令m p+sM;p 0,1，„，M一1;s 一oo+oo，则式 2(09 可改写如下: M,l， 、 2(10 ?? ?C p+sM，以 Ihu[f―pT]exp j触 ??CM p，n hU[t-pT]exp jnf2t 式中: CM p，以 ?C p+sM，刀 2(11 为了使公式 2(10 更简洁，我们使用『F整数?和『F整数而并且有: V 洲 QoN 2(12 其中V一般称为频域的抽样角频率，分别以角频率V对xu t 和, f 进行抽样。 由于存在Q。 2石,r关系，所以在矿 Q。丽情况下，信号的时域抽样间隔是r,而。 xc t 和气( f 都是连续且具有周期性的信号，它们分别进行抽样和离散化后可得 到在一个完整周期U内的抽样数: L u, r,刃 MTI TIN 腑 厨瓦, 瓦,N 廊 即为: ,:廊 脚 2(13 并记为: 屯 足 而 七r,丙 2(14 钆 七 , 七r,丙 2(15 9 桀于多赢斯窗的实值离散Gabor变换‘j展开 和, f 经过时域离散后的离散周期信号，其中周期的大小为,。 把式 2(10 代入式 2(14 ，我们使用公式 2(11 ，可得: xL k xu kT,N 2(16 一M一-I 一, ??, p，n hL k-pN exp j2n'nk,N H p 0 X(己 ，L 七 、?， Il 920,7 , 2(17 ^，一l ?,，Jv p，q h。 k-pN exp j2n'kq,N 九?脚州?舢 其中: ,，』v p，g ??C p+sM，g+州 2(18 式 2(17 称为离散时问信号的CDGT展开公式，离散信号的周期为,。 我们可得: o，? _r，z，以 ??C m+sM，，z+州 上面的公式推导过程中我们利用了泊松 Possion 求和公式: ;eX卧J2邪6， 2吉莓烈卜r,b 并记为: 托 f ?r t+sU 2(19 2(20 儿 七 丙T托 尼丁,? lO 第二章离散Gabor，叟换理论 令，( 七+dL;k 0，1，„，L一1;d 一00,+oo，贝U: ,一l 2(21 ,(, 朋，，z ?t 七 以 七一mN exp 一j2n'nk,N 公式 2(21 称为单窗复值离散Gabor变换展开。 我们同样也可以把双正交关系式离散化为: 2??22 oy』』’ 篆虻 露 吃 尼+历? eXp -J2石融,? 拈赤万 跏 万 七 O 历 0，1，„，M―l;万 0，1，„，N一1 在连续时间Gabor展不和变换的理论中，其临界抽样条件实Tf2 2x，由式 个离散时间周期信号或者一个数字序列。接下米我们将重点介绍临界抽样下的有 限长离散时间序列的离散Gabor变换与展不理论。 期信 设x k 是周期为,的有限长离散时问序列或者经过离散化的连续时fnJ 号，或者在时域内进行周期性延拓的时间序列n剧期为,。如果满足条件L MN 或者露 M、N 丙的条件下，由式 2(1 展不公式为【3】: M―I(V―I 工 七 ?ZC m，门死， 七 2(23 朋 0n 0 x k 的离散Gabor变换公式定义如下 2(24 所示: ,一l C m，，z ?工 七厩， 七 2(24 其中: 露(。 七 石 后一mN W脯 2(25 死，(。 七 夕 七一mN W”‘ 2(26 I,V exp j2n",? 2(27 石 后 是综合窗函数办 足 的周期拓展，夕 七 是分析衡函数7 七 的删j l】拓展，也就是 即: 捶+'F多高斯窗的实值离散Gabor变换‘j腱开 左 足 ?矗 七+江 石 尼十, 2(28 ， 尹 七 ?厂 七+圮 夕 尼+三 2(29 i 从式 2(23 与式 2(24 可以看出，使用MxN L个Gabor系数来完各地 表示一个离散周期信号，但是满足MxN L的任何组合都是可以的进行信号的 分解。 由式 2(22 可可以得出歹 七 的离散双正交关系: ?L-I[石 七+脚N W一从】尹’ 足 :?L-I【五+ 七+朋N Wnt] 尹 后 :万 朋 万 刀 k 0 ^ O 0?，以?M―l，0?n?N一1 2(30 上式的矩阵形式表示如下: H(, V 2(31 其中: y 1，0，0„(，0 7’ 2(32 2(33 7 夕 o ，夕 1 ，„， 7 L-1 7 y o ，y0 ，„，z L 一1 7’ xL阶矩阵向量，其 构成是: nA_l:i两式中V和7都是K度为L的矢量，并_晶(H是L 四? „ 日 o 1 H ;肛 小一j脚 日 ‘?„?IM一2 I 篓ill焉(((HiM-i H12 _ 2(34 上式中，何《j’是NxN阶矩阵，结构如下: ‖IO ‖10 朋肛 ,^ ×diag[h。 ,N+厂 】 ‖ O ??(((? ;川 吣_(一 叭叭:叭 2(35 为对角线元素，其中，， O，1，(((，N一1。H是一分块HankeJ『矩阵，如 果能选择合 适的币整数M和诈整数N，就可以完全保ilEaL!阵H是可逆的。此时，由式 2(31 可得: 7 H,(V 2(36 1 M:16，N 8，临界抽样，图2-2 N 32抽样率M, 8图2―9。 图2―1Gauss综合窗，L 128 图2-2所示Gauss综合窗对应的分析窗 L 128，M 16，N 8 13 图2-4所示Gauss综合窗对应的分析窗 L 128，M_-4，N 32 图2-5所示Gauss综合窗对应的分析窗 L 128，M 32，N 4 14 ――――――――――_―――――――― _――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――一一一一一笙三皇墨垫鱼!!!!壅堡墨笙―― 图2-6所示Gauss综合窗对应的分析窗 L 128，M_-16，N 16 图2―7所示Gauss综合窗对应的分析窗 L 128，M-_16，X_-:32 图2-8所示Gauss综合窗对应的分析窗 L 128，M 32，、 16 15 基十多I面斯窗的实值离散Gabor变换‘j腱开 图2-9所示Gauss综合窗对应的分析窗 L 128，M_-32，N 32 2(2单窗实值离散Gabor变换与展开理论 I研[Is]定 义为 将长度为L的信号处王里成周期为L的序列“七 ，实值离散Gabor 式 2(38 和Gabor变换系数【18bL-"Y(x? 2(39 。 ^，一IN, 一 x 后 ??a m，n h一” 天 2(38 ,一l 口 聊，刀 ?x 足 歹。。， 七 2??39 ^ 0 公式 2(38 和公式 2(39 称为实值离散Gabor限变换和逆变换，其中 ?护砸一厕cas 警 2(40 甜七 -h七一朋确s‘百 2rtnk ( 2(41 其中cas x cos x +sin x 称之为Hartley函数【231 hm(,, 七 和歹。 七 有如公式 2(42 所示的双证交关系 篆L-I礅删 cas 警衲 高跏州 2(42 O?甩?M一1，0?胛?N一1 其中矗 尼 可取高斯窗。L，M，N，一M，一N之问的关系，在第2(1 节已经作出 了介绍，这!强就不累述了。 16 第二章离散Gabor变换理论 2(3基于多抽样率的离散Gabor展开与变换理论 基于多抽样滤波器组技术的信号处理，基本原理是用一个分析滤波器组对应 的一个综合滤波器来对信号的分解和重建，基本框架结构以及原理与Gabor变换 与展不有一定的异曲同工之处。 2(3(1基于多抽样率的数字信号处理基础 我们研究的各种数字信号处理的算法和理论中以及实现这些算法的系统都是 把抽样率Z看成,个定值，也就是在系统中只有一个固定的抽样率，然而在实际 的工作中，经常要转换抽样率。设x n 是经过离散抽样后的离散时间信号，采样 频率为，，为了使Z减少M倍，最为方便快捷的方法是将x ，z 中每M个点抽取 一个，组成一个新的序列少 刀 也就是【19201: y n x Mn 2(43 公式 2(43 叫做信号的抽取，此时序列的抽样率变为嘉，其中y 刀 和z 胛 的 DTFT的关系如 2(44 所示【19,20】: 缈r 吉蒸非牮 2(钳 如果希望将x 刀 的抽样率从Z变为M，最简单的方法是将x0 每两个点之间添 加L(1个0，假设补0后的序列为v n ，称作信号x n 的插值，那么 1， 门 x 詈 n 0，?,，+2L，„ 2(45 x n 和’， 刀 的DTFT关系 1， 扩’ X e’”‘ 2(46 将信号的抽耿和捅值相结合就可以实现抽样率的转换从而实现了多抽样率的信 号处理。如果先对信号进行M倍的抽样再作L倍的插值会造成信息的丢失有些 情况‘F还会产生频率响应的混叠失真，所以科学的做法是先对信号做插值运算然 后事 抽l 《运算如图2(10所示。 皋于多f向斯窗的实值离散Gabor变换‘j展开 。，里„母„二牾里„(争臣叠„臻 Z 锐 嘉Z 图2-10抽取过科和插值过科的组合 在多抽样率转换中，选取不同的计算方法会产生不同的计算量，有效的方法是采 用信号的多相结构表示【19'201。 信号的多相表示在多抽样率数字信号处理中有着非常重要的功能，使用多相表示 不但可以在抽样率转换过程中省去许多不必要的计算，从而很大程度上提高运算 的速度。设给定数字序列h n ，令n 0,00，M多相级数，那么 M―l ? 日 z ?z。1?h Mn+1 z啪 2(47 令 E z --Zh Mn+1 z一” 2(48 n 0 则 M-I ? z ?z?局 zM 2(49 其中公式 2(49 的多相表示对FIR和IIR系统都适用。我们讨论完信号的 抽取 和插值以及多相结构以后，接着讨论下抽耿和插值滤波器的实现方法。抽取的滤 波器实现有很多种方法，有直接抽取法，先卷积在抽取，先抽取在卷积等不同方 法，但为了使用多相结构简化计算所以使用将滤波系数分组来实现信号的抽取。 第二章离散Gabor变换理论 2(3(2基于多抽样率的离散Gabor展开 如果把连续时间信号x f 经离散抽样后得到离散时间周期信号x KT ，其中 采样间隔为T，信号长度为,:MN一:M―N。可以将公式 2(24 进行更改为。”: y。 聊疋 :?L-Ix 七五沙 【七一埘刃]正 exp 一j。2xnk,N k 0 2(50 , 一 ?x kTi r [k―mN]T1 exp 一J02rmk,? k l 61，T2 胛l，后 厂?一p，，( 1，2，„，面， 其中肌似黝称为Gabor展不系数【14，1 ’ 2(5 rN-p-mN一]IP mN]TI exp j027【np,N Nry。，，。[ ??工 [r?一:?MTN?-I工 [r?一 1T]p 2Tor 15 r -Ip 0 2(51 变为 令小:f+伊，扛o'l，(1一，‖一1，， o，l，„，M一一1， 2(52 r lp O 再设 2(53 Xp rT2 x [rN―p】正 2(54 gia [j一，IT2 ???7 【州、，一p一力矿一，?】五 ?‘7 【一 (，一，( 』v―p―i?15 所以 2(52 式变为 圳“ 磁 ]expc，。2兀月p，?，卜如2彻‖M 娌55’c2??55， 以ct，+ 专笔[薹Xp rT2垮: [j-r]T2 jfl]TO2专?匡 设 M―l f “ II X r 一 r II 2(56 ，L 砭 、， ，L 疋培，p ，L，_L 1j疋、， EXp 厂疋泣: u一，1砭 P P 砑?脚 r 0 于是 2(55 式变为 1 N―I 2(57 yn 【f+jfl]r2 。亩奢: 歹砭 exp J02Itnp,N 有 11 式可得出，对“:， ,丁z 做N点的快速离散傅罩叶变换的逆变换就可得: j离 19 肇卜多，:’i斯窗的实值离散Gabor变换’j展开 Gabor变换中的分析窗函数与多抽样率的Gabor变换中的分析滤波器组有如 2(58 的关系【14l: g: ,疋 y 【一jN―H―iN]Tt ??N 2(58 因此得到分析滤波器组，结构如图2(11所示。 L'^?? I， J0tr』2， ub J#2， IN ? ?? 萌 【_，一rlT2 二l z Z,( 一山?F功??眇非沪删P几’- Z-I， 卜 k Z-I ‘苔 巳 是 一J，?I[xn rT2 -p蝴沪，(】砭，II"I' ,T2 - Z-I， 2-IU，I，^，I?,-, rT2 Iy 嘁(《fi―r1兀 11孙，乃! --*1州。I 7l争r瞒肛nu叫也’I 7 图2(一11基丁多抽样的Gaborif(变换的分析滤波器细级联结构 2(3(3基于多抽样率的离散Gabor变换 将 2(01 改写如下n制: 肘一l?一I 2(59 工 后五 ??y，， mT2 h [k―m刃]Ti exp jI 27mk,N nt On 0 令设k rN―P，厂 l，,---,砑，p 0，l，„，N―I，m i+伊，i o，l，„，‖一I， _， o，l，„，面一1，过抽样率‖ MN,L N,N M,砑取整数，并且令 Xp r疋 x [rN―p】『1 x kT, 2(60 那么 2(59 式变为 |-一I(v―I r r 、J p，t 砭 ??y，， 【，+‖]疋彬 【，_一,]疋 exp 一J021trip,N 纠?枷 n 0 j o ??I?n 【f+:篁熏1『-艺n?+ 2rolp,N 【，一,】疋 【，一,】疋 2(68 2(68 i Oi 0tl 0 20 第二章离散Gabor变换理论 令 2(69 1， JilT2 ?j，。 【f+jfl]Te exp -j02nn,o,N 41， 而 2(62 式可变为: p―IM一1 口一1 L，(p』2 2(70 Xp ，疋 ??VPiJ，pi 【，(一J]T2 ?x: ，(砭 i 0j o i 0 式中 x: r疋 ?、’: 识 ‖ Jr―j]T2 2(71 有上述分析，图2(12是多抽样率的离散Gabor逆变换的综合滤波器组级 联结 构图，dq 2(51 式知，图2(12中长度为己的传统的离散Gabor变换综合 窗函数 h kT?? 和皋于多抽样率的Gabor变换中的综合滤波器组的冲激响应有如下 的关 系: ,:j ,疋 h [jN一盯一厉]五 2(72 和分析滤波器组原理一样，综合滤波器组对取不同的『F整数i和萨整数 I， 0，(，(1一，而一1也采用并行处理的方法，以便减小每个通道的计 算复杂性，而且 与‖无关【14】。 。Llt，PJo:， 吼7‖71叫yI( ，觚,胍 „‘’2’刊v‖,If(、P “”。1个lv I一 卅7„加“一”川I 卅厶。0r，I 7l?„r ， z―I 【i+‖】疋 I’“叫，到手I t ?卜 肌一阳P”l司。I十P7三’-l r z―I b- k 也 一 + 。【“‖】疋1 , r Z-I t h?心’-lt?k p刊叫‘。 ‖』叫，习?l 2’引?小? I l ' ，z―I I I I I I I l ? ? ? - I '??f~一II力9L 工l?一( rL 一 ，，、 [Ii+(‖V2 -T^，一It厂，2’ ，z―o H露， 叫y‖一II(、 -t? 一 7 司?舳卜胍， 一厶fIo、7 2"--I l割2(12基丁多抽样的Gabor逆变换的综合滤波器细级联结构 皋于多商斯窗的实值离散Gabor变换’j腱开 2(3(4算法的FPGA实现1151 作简单，功能强大，所以在不发中使用Quartus作为仿真工具以及Modelsim， Matlab等辅助软件，利用这些专业软件来对算法进行设计以及仿真‘‘51。FPGA 工程项目不发的一般 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 如图2(13所示。 图2(13FPGA一般开发流程图 要的一个阶段，Modelsim由于界面友好，操作简单与平台无关性，„目前是广 泛应用的仿真软件‘23,15】。设计综合都是选用FPGA芯片的制造商提供的综合 5】 [24(I 0 51。 仿真算法使用24位有符号数作为数值编码，其格式如图2―14所示【21，22，1 23 22 19 18 0 l s, 整数位 小数位 ? Jl | 符号位 小数点 图2一14实验定义的浮点数格式 为了降低仿真算法的难度，本实验的信号长度是32，时域抽样点数为4，频 域抽样点数为8的临界Gabor变换，正变换一般称为分析滤波器组和逆变换一般 称为综合滤波器组【151。分析滤波器组将数字序列分解成离散Gabor系数，综合滤 第二章离散Gabor变换理论 51。 波器组把离散Gabor系数重构成原数字序列【l 分析滤波器组的功能就是Gabor的正变换，流程见图2一11，而综合滤波器组就 是离散Gabor的逆变换【”】，流程结构见图2―12。设计采用自顶而下的设计思路， 仿真算法的每个功能模块都使用VefilogHDL编码【”】。仿真算法的正变换模块流程 结构如图2一15所示，图中GetSum模块是信号分解模块由有分解向量组成，IFFT 是根据实验定义的浮点数格式而编写的快速Fourier逆变换模块，并非使用仿真软 件提供的IP【"】。 ?， 二 罩 ? ?? 。 lxo 1 _ x8(x16(x24(xO l „一，? o ( l -‘o 3 : 一j 1l 0 ，- t x7，x15，x23(x3 一 星l州 t : 挈l一 2 I 4 I。l 3 | (1 :1 要 I uT o ‘一I 。 。望7 J，„, x1(x9(x17(x25( 一 蛩 曼!L至上一( u-'t 3 写 H 图2-15正变换的模块结构图 仿真算法的逆变换模块流程结构如图2-16所示，图中GetSumV是信号综合模块 由综合向量组成? Ffrr是根据实验定义的浮点数格式而编写的快速Fourier变换 模块【151。 图2-16逆变换的模块结构图 我们使用证弦信号作为测试仿真算法的输入信号【151。Modelsim输出的仿真结 果如图2-17和图2―18所示。 爹爹黟。露。髯?罗缨掰臻j嬲孵 。 蛰? t， _ 霍墼墼霎墼塑塑 澎 。。， :。oi iVj弧。 竖!::::::出邕出!些堂::曼!!!!!曼!!曼!!曼 宅移 赫。。，。’ :一t ，j?i》ij_- +，’。 荔麓磊?自磊:磊;磊;象i《i藏;么;, i巍女2自;磊。??么 图2-17测试模块输入信号 系 图2-18测试模块输 Ij信号 我们利用科学计算软件Matlab对Modelsim输出的数抓进行分析，分析结果证明功 Altera 51。我们利JfJ 能仿真完全J下确，误差仅为十力(分之一在,l丁PX 妾受rr,j10:1j;l内‘1 公司的Quartus9(0作为电路综合的仿真软件，生成的布线级的l玎L 乜路图如图 5】 2―19和图2―20所示【1 24 第二审离散Gabor变换理论 一――――――――――――――――――――――――――――――――― ―――――――――――――――――――一 良j E，:一―l弱匡耄影要薹 眨j 零囊lI耋囊ii 隆: 院; 硅毯涸匪溪螽 【毫乓 r„饔I匡囊+臻一j 陲; j;; E„一(蠹;j匡兰番_臻禹i 瞄i 芦一:溺匡至霎曩雾;i l耋――薹目匡萋(鎏囊! 幽2一19正变换模块的综合的RTL视图 ;i ?非妻三l?; j; j4茸三薯I;; ;j j非主目I_:“; :; ;非墓i薹-1i_:i j 4 耋薯。“: ! 叫 兰I??;::; (j”‘ (:I巨量目I((ii I刘2-20反变换模块的综合的RTL视图 FPGA来设计多抽样率离散Gabor变换，多抽 实验充分表明在j(I:程项目中可以f j 样率离散Gabor变换的迷坡较快。 幕于多高斯窗的实值离散Gabor变换1j展开 2(4Gabor变换与展开的框架理论简介 信号变换或者信号分解的基本思路足将信号和一组函数 或者向量 作内积 或者投影 ，从而得到一组标量也就是信号离散分解后的系数。信号分解的目的 足研究原信号中哪些信息是有用的并研究如何得到这些有用的信息。虽然J下交基 具有很多优点在信号处理中已经得到了大量的使用f伸,20l，例如DFT，DCT等，但 是在实际的应用中，想得到一组好的正交基并不容易而且计算量大计算又复杂， 因此将信号分解到,组非『F交基上具有同样的研究意义。对于任一向量x??， 向量，如果有【25】 A 2(73 lxll2--Z x，, 2Blxll2 成立，则称 纸 构成空间H中的一个框架，其中A，B称为该框架的上界和下界。 关于公示 2(73 作以下几点说明: 1 如果0 A?B oO，那么这一框架可以对信号进行分解，并且包含原信号的 所有信息并不包含过多的冗余信息而且能完全还原信号。 2 A B，则形 l，称 织，，z?Zj是一个紧框架，则有性质九 Z x，织 12 Ax12 2(74 七 3 如果 纸，甩?z 构成一个紧框架并且有框架上界A l，11妒(11--l，那么 织 是一组归一化的正交基。 为了研究Gabor展不的稳定性和展不系数的求解方法，学者们将框架理论引入 Gabor展不理论中‘2 71，并深入的研究了?(。 ， 构成框架的条件和偶框架的岛(。 f 的求解以及Gabor系数巳(。的有效计算方法等。我们将把框架的定义扩展到二维 函数?(。 f 或者射偶函数k。 f ，如果存在两个常数A和B，满足0 A? B oo， 并U使 2(75 彳0x ， 112??? x f ，g。。 f 2?BlIx 1 112 26 第二章离散Gabor变换理论 成立，则称?(。 f 构成一个框架。 因为 Cm(。 x f ，g。(。 f 2(76 所以 2(75 可得 彳? 112- ZZ c。(。 2- BItx 叫12 2(77 在欠抽样情况下，?(。 f 对J f 表示是不完备的，所以满足不了条件彳 0使得 公式 2(75 成立。在临界情况下，由于hm(。 f 是线性独立的并且其偶函数gin(( f 是唯一的而且与k(。 f 双正交的，根据Balian-Law定理可知，在临界情况下， 岛(。 f 也不可能构成一个框架因此接下来我们讨论利用框架理论求解Gabor系 数时都是在过抽样率情况下进行的。 令S是一个算子，定义为【28’29(303 sx:EE x，死，。溉，。 2(78 做内积，则 ??陆k硝 ,，x 乙，Z， 2(79 使用Poisson求和公式[32】，可以得到 L sx:ZE na dt’ eJ2Mbth t_na jx f( P一72枷r’|lz‘ f 吉??矗 f一，z口 卜 f， Jil’ 小以日 万[止 H詈 p 2(80 古?x f+詈 ?h t-na h’ f一胛口(+r。tl?? 其中a，b为常数，a是时间长度，b是频率长度 31。假设a，b的积为有理数的即 ab ip，P，q?N，则 2(81 Zsx t，ta 万|厶r-?"1-z。 t-Iz，，f2 Z'h t--I寺，Q一古 乙o，，一古 有公式 2(79 以及 2(81 ，得 l乙 乙Q f2别Q 2(82 l乞。一舌，Q 12 莓莓K‘k(。 12 ff呈1 0 因此k(。 f 可构成框架的重要条件是 。 彳?窆Iz以一蚓2?B ? 2(85 由公式 2(78 可得 2(86 k(。 f S-lg。 z 或者?(。 f S-Ik(。 f 对 2(86 两边做Zak变换并令p l，可矧3引，P 1时推导过于复杂不于讨论了。 纵碑卜东备?阶卜舌，Q l二 2(87 出 E刀 ,n， 即 |I Z c: ?h一 一一 ，一 e一，2删dtdff2 2(88 q Z， 一 伍 ―?与 7』 卜 一2 监舻 ，一， c 一J 鱼昏枷 嚣 第三章幕十多f?斯窗的高敬Gabor变换理论 第三章基于多高斯窗的Gabor变换理论 传统的Gabor[3】展不将信号分解在一系列进行了时移，频移的调制函数上， 这些调制基础函数通过一个单窗函数，因此具有固定的带宽。Gabor变换的时频 分辨率有这些时移和频移的离散Gabor栅格决定，在单窗函数的情况下，很难 获得有不同带宽组成的Gabor栅格。为了使Gabor变换具有较高的时频分辨率因 而使用多个基函数从而确保能获得不同的带宽组成的时移，频移的Gabor栅格。 高斯窝函数的时频分辨率能得理论上的最小值，冈此使用基于多高斯的Gabor 变换【17,18】能得到较好的时频分辨率。 3(1基于多高斯窗的复值连续Gabor展开与变换 x f 是有限长 截断 连续时问信号，我们定义在基于多高斯窗下的连续 Gabor展 开定义为【34,35,36,37】: ，一l 工 f ???c“’ 肼，圩 垆。，， f 3(1 f 0#71，， e" r 印 1 c四 加，炉e川 碟 f 出 3(2 碟_ f ,“’ f-mT exp jnQt 3(3 公式 3(2 和 3(3 称为多高斯商函数卜(的连续Gabor变换。为了得到多 高斯 窗下Gabor变换的完备性关系我们将3(2xE'117入3(1式中得: 川， 篓莓莓 em y::l’，以’卜Ii 。?r， t j ，f- 3(4 :[工 f’ ?I-1??川f-册T r?， f??一研丁 exp 即Q f-f 毛 署 Q 等 3(5 冈为左式和右式恒等所以双『F交关系如下: 3??6 ?,-I??批卜mT yw’ f’一mT exp 加Q 川- 6 一' 左式:?,-1?^四 f―mT 7(“’ ft_川丁 ?exP J，zQ f―f’ 3(7 i 0m n :T0?I-I?川f-mT y( f’ f’一mr ?6 t-t'-nTo 万 一 一 厅 一 mr+n O― m丁 L O 巩 @ ky ?脚 H?舢 ?。 ??i O i 0” 罟驴?一巩 莓eXp ,哪’,O ,一驴I-I‖帆矿四 嗍” 冈为右武 a t―ft 所以得到如下双正交关系式: 3(8 [艺批n，zTo r? f弛Xp 一jmnon折” 跏 砌 对_j((，组商斯窗函数厶„ f 可有3(8式子求出对应的一组分析窗函数y