圆的面积
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一、本节学习指导
本节我们学习圆的面积,同圆的周长一样,我们也要牢记圆的面积公式,并能灵活运用。本节还总结了扇形、环形的面积公式,都有配图说明,希望能帮助同学们理解。本节有配套免费学习视频。
二、知识要点
1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
上图中阴影部分就是该圆的面积。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式
圆的面积公式: S圆 = πr2 ;变形可得到: r2 = S ÷ π
EQ \F(1,2) 圆的面积公式: S =πr2 ÷2或S = EQ \F(1,2) πr2
EQ \F(1,4) 圆的面积公式: S =πr2 ÷4 或S = EQ \F(1,4) πr2
注:已经圆的面积可以用变形公式求出圆的半径。
4、环形的面积:(环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差)
一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.)
环形的面积公式:S环 = πR²-πr² 或S环 = π(R²-r²)。
如:上图中大圆的半径R=6cm,小圆半径r=2cm,阴影部分(圆环)的面积得:
S环 = π(6²-2²)cm²=32π(cm²)
注意:求环形的面积,一定要先想法分别求出外圆的半径(R)和内圆的半径(r),再代入公式计算。一步一步的来,这样不容易错误。注意用公式S环 = π(R²-r²)计算时,要先算出2个平方数,再相减。切忌相减后再平方。
5、扇形的面积计算公式:S扇 = πr2×
(n表示扇形圆心角的度数)
注:扇形公式其实很好理解的,S=πr2 是圆的面积,圆一周是360°,旋转一度得到的面积是:S=πr2
,如果是n度,自然是S扇 = πr2×
。注意n是圆心角,如上图。
6、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如:在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。
7、两个圆:半径比 = 直径比 = 周长比;而面积比等于这比的平方。
如:两个圆的半径比即:r1:r2=2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9。
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4∶π
圆的周长是直径的π倍,圆的周长与直径的比是π:1
圆的周长是半径的2π倍,圆的周长与半径的比是2π:1
9、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。
10、确定起跑线
(1)每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。
(2)每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。(因此起跑线不同)
(3)每相邻两个跑道相隔的距离是: 2×π×跑道的宽度
(4)当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米。
11、常用平方数结果
11²= 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225
16²= 256 17² = 289 18² = 324 19² = 361 20²=400
三、经验之谈:
在计算环形的面积时我们要注意灵活运用,注意大圆和小圆的半径关系,此类题目在考试中变幻莫测!另外我们半径、直径、周长、面积之间的比例关系要掌握,特别注意比值不是他原来的值,比如,两圆周长比是:4:5,不能错误的理解为它们的周长就是4、5,他们的周长是4、5的倍数。
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