2013年高考数学复习资料 第四部分 数列

2013年高考 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 复习系列-----《数列》部分 第四部分 数列 一、等差数列常见结论 1， 判断给定的数列 是等差数列的方法 （1） 定义法： 是常数 EMBED Equation.DSMT4 数列 是等差数列； （2） 通项公式法： EMBED Equation.DSMT4 数列 是等差数列； （3） 前n项和法：数列 的前n项和 数列 是等差数列； （4） 等差中项法： EMBED Equation.DSMT4 数列 是等差数列； 2， 等差数列的通项公式的推广和公差的公式： EMBED Equation.DSMT4 ； 3， 若A是a与b的等差中项 4， 若数列 ， 都是等差数列且项数相同，则 都是等差数列； 5， 等差数列 中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列； 6， 等差数列 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列； 7， 若数列 是等差数列，且项数 满足 ，则 ，反之也成立；当 时， ，即 的等差中项； 8， 若数列 是等差数列的充要条件是前n项和公式 ，是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即 ； 9， 若数列 的前n项和 ，则数列 从第二项起是等差数列； 10， 若数列 是等差数列，前n项和为 ，则 也是等差数列，其首项和 的首项相同，公差是 公差的 ； 11， 若数列 ， 都是等差数列，其前n项和分别为 ，则 ； 12， 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 ；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为 ； 13， 等差数列 的前n项和为 ，且 分别为数列 的前m项,2m项,3m项,4m项,……的和，则 成等差数列（等差数列的片段和性质）； 14， 等差数列 中，若项数n为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为 ，则 ；若项数n为偶数， ； 15， 在等差数列 中，若公差 ，则等差数列 为递增数列；若公差 ，则等差数列 为递减数列；若公差 ，则等差数列 为常数列； 16， 有关等差数列 的前n项和为 的最值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ： （1） 何时存在最大值和最小值 1 若 ，则前n项和为 存在最大值 2 若 ，则前n项和为 存在最小值 （2） 如何求最值 1 方法一：（任何数列都通用）通过 解出n可求前n项和为 的最大值；通过 解出n可求前n项和为 的最小值； 2 方法二：利用等差数列前n项和 的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式为关于n的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n项和 不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能： 若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n就取靠近对称轴的那个正整数； 3 利用等差数列的相关性质求解 17，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二” 2、 等比数列常见结论 1， 对等比数列定义的理解 （1） 是从第二项开始，每一项与前一项的比 （2） 每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0 （3） 等比数列中任何一项都不为0 （4） 符号语言的描述：若数列 中满足 （不为0的常数），则数列 为等比数列； 2， 当且仅当两个数a和b同号是才存在等比中项，且等比中项为 3， 若 成等比数列，则 4， 判断给定的数列 是等比数列的方法 （1）定义法： （不为0的常数） 数列 为等比数列； （2）中项法： EMBED Equation.DSMT4 数列 为等比数列； （3） 前n项和法：数列 的前n项和 （A是常数， ） 数列 为等比数列； 5， 等比数列通项公式的推广：若 为等比数列，则 6， 若数列 是等比数列，且项数 满足 ，则 ，反之也成立；当 时， ，即 的等比中项； 7， 等比数列 中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列； 8， 等比数列 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列； 9， 若数列 ， 都是等比数列且项数相同，则 都是等比数列； 10， 若等比数列 的公比 为参数，则在求前n项和 时应分 EMBED Equation.DSMT4 两种情况讨论，即 ；当 时 11， 若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为 ； 12， （等比数列的片段和性质）公比不为 的等比数列 前n项和为 ，则 成等比数列； 13， 用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”； 三、等差与等比数列 1， 若正项数列 为等比数列，则数列 为等差数列； 2， 若数列 为等差数列，则数列 为等比数列； 3， 任意两数 都存在等差中项为 ，但不一定都存在等比中项，当且仅当 同号时才存在等比中项为 ； 4， 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列； 四、例题分析 例1、（12年广东文12）若等比数列{an}满足 则 . 【命题意图】此题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的性质，即若数列 是等比数列，且项数 满足 ，则 ，反之也成立；当 时， ，即 的等比中项； 【解析】 例2、（12重庆理1）在等差数列 中， ， 则 的前5项和 =（ ） A、7 B、15 C、20 D、25 【解析】此题考查等差数列的求和公式，可以利用“若数列 是等差数列，且项数 满足 ，则 ，反之也成立；当 时， ，即 的等差中项；”此结论快速求解 因为 ， ，所以 ，所以数列的前5项和 EMBED Equation.3 ,选B. 例3、(12全国卷理5)已知等差数列 的前n项和为 ， ，则数列 的前100项和为( )A、 B、 C、 D、 【解析】此题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查利用裂项相消法求非特殊数列的前n项和，所以由 ,得 ，所以 ，所以 ， 又 ，选A. 例4、（12湖北理18）（本小题满分12分） 已知等差数列 前三项的和为，前三项的积为，（Ⅰ）求等差数列 的通项公式；（Ⅱ）若 成等比数列，求数列 的前项和. 【解析】此题考查等差数列的通项公式和前项和为 、等比数列的通项公式，考查方程思想在解决数列问题中的应用 （Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则 ， 由题意得 ， 解得 或 所以由等差数列通项公式可得 ，或 （Ⅱ）当 时， 分别为，，，不成等比数列； 当 时， 分别为，，，成等比数列，满足条件. 故 ，记数列 的前项和为 ， 当 时， ；当 时， ； 当 时， ， 当 时，满足此式.综上， 例5、（10全国Ⅱ理4）如果等差数列 中， ，那么 （ ） A、14 B、21 C、28 D、35 【解析】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. ，所以选C 例6、（09宁夏海南理16）等差数列 前n项和为 。已知 + - =0， =38,则 _______ 【解析】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.由 + - =0 得到 。 例7、（11广东理11）等差数列 前9项的和等于前4项的和．若 ，则 ______ 【解析】此题考查等差数列的通项公式和求和公式的应用； 【方法1】 由 得 ，则 【方法2】利用等差数列的性质解题： 由 得 ，即 例8、（11年湖南卷理12）设 是等差数列 的前 项和，且 ，则 【解析】考查等差数列的通项公式的应用及等差数列求和由 可得 ，所以 。w.k.s.5.u.c.o.m 例9、(10全国Ⅰ理4)已知各项均为正数的等比数列 ， ，则 （ ）A、 B、7 C、 6 D、 【解析】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.由等比数列的性质知 ,所以 , 所以 所以选A 例10、(08宁夏，海南理17) 已知数列 是一个等差数列，且 ， 。 （1） 求 的通项 ；（2）求 前n项和 的最大值。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式和等差数列前n项和 最值的求法，着重考查方程思想和二次函数最值问题； 【解析】（Ⅰ）设 的公差为 ，由已知条件， ，解出 ， ． 所以 ． （Ⅱ） EMBED Equation.DSMT4 ． 所以 时， 取到最大值 ． 例1 1、已知数列 是等差数列，且首项 ， ，求前n项和 何时取最小值 【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前n项和 最值的求法 【解析】 方法一：因为 ，所以 前n项和 取最小值 方法二：因为 ，所以 ，即 前n项和 取最小值 方法三：因为 ，所以 的对称轴为 ，开口向上，且 ， 前n项和 取最小值 例12、已知等差数列 前n项和为30，前n项和为100，则前3n项和为______ 【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前n项和 的公式及整体代换思想 【解析】方法一：（特殊值法）设 ,则 ，则前3n项和 方法二：利用等差数列前n项和 和整体代换思想求解 设前n项和为 ，前2n项和为 ，所以 所以 方法三：利用等差数列的片段和性质 因为 为等差数列，所以 成等差数列，所以 方法四：利用等差数列前n项和 求解，体现整体代换思想 因为 ， 所以 方法五：利用等差数列中 成等差数列求解 因为 为等差数列， 所以 例13、（10重庆理1）在等比数列 中， ，则公比q的值为（ ） A、2 B、3 C、 4 D、 8 【解析】考查等比数列通项公式或者等比数列通项公式的推广 由 【答案】A 例14，（10福建理11）在等比数列 中,若公比 ,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ． 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。 【解析】由题意知，解得，所以通项。【答案】 例15，（09全国卷Ⅰ理） 设等差数列 的前项和为 ，若,则= 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。 【解析】 是等差数列,由,得 . 【答案】 24 例16、（09辽宁理）设等比数列 的前n 项和为 ，若 则 （ ）())) A、 2 B、 C、 D、3 【解析】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，设公比为q ,则 ， 于是 【答案】B 例17、（10浙江理3）设 为等比数列 的前 项和， ，则 （ ） A、11 B、5 C、 D、 【解析】本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题通过 ，设公比为，将该式转化为 ，解得 ，带入所求式可知【答案】选D， 例18、(11天津理4)已知 为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和, ,则的值为（ ） A、-110 　　 B、-90 　　 C、90 　 D、110 【解析】本题考查了等差、等比数列的性质、通项公式以及等差数列的前n 项和公式∵ ，∴ ，解之得 ， ∴ .【答案】D. 例19、(11重庆理11)在等差数列 中，，则 【解析】本题考查等差数列的通项公式∴，故 五、反馈练习 1、（12辽宁理6）在等差数列 中，已知 ，则该数列前11项和 （ ）A、58 B、88 C、143 D、176 2、（10重庆文2）在等差数列 中，，则的值为（ ） A、5 B、6 C、8 D、10 3、(2009安徽卷文）已知 为等差数列，，则等于（ ）A， B，1 C， 3 D，7 4、（2009江西卷文）公差不为零的等差数列 的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 （ ） A、18 B、 24 C、 60 D、 90 5、（2009安徽卷理）已知 为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（ ）（ A，21 B，20 C，19 D，18 6、（09湖南文）设是等差数列 的前n项和，已知，，则等于( )A．13 B．35 C．49 D． 63 7、（09福建理）等差数列 的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（ ）A．1 B C.- 2 D 3 8、（2009厦门一中模拟文）在等差数列 中， ,则 其前9项的和S9等于（ ） A．18 B 27 C 36 D 9 9、（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（ ）A．1 B C.- 2 D 3 10、（2009辽宁卷文）已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（ ）A.－2 B.－ C. D.2 11、（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（　　　） A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 12、（2008天津）若等差数列的前5项和，且，则( ) A.12　　 　 　B.13　　　 　　C.14　　 　　 D.15 13、（2008陕西）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）A．64 B．100 C．110 D．120 14、（2008广东）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）A．16 B．24 C．36 D．48 15、（2008浙江）已知 是等比数列，，则=（ ） A、16（） B、6（） C、（） D、（） 16、（2008四川）已知等比数列 中，则其前3项的和的取值范围是( ) A、 B、 C、 　　　　　 D、 17、（2007安徽）等差数列 的前项和为若（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 18、（2007辽宁）设等差数列 的前项和为，若，，则（　　）A．63 B．45 C．36 D．27 19、(2007湖南) 在等比数列 （）中，若，，则该数列的前10项和为（　　）A． B． C． D． 20、（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列 的前项和为，若则 . 21、（2010辽宁文14）设为等差数列 的前项和，若，则 。 22、（山东省潍坊市2008年高三教学质量 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 ） 设等差数列 的前n项和为，若，则 =______________． 23、（11年北京海淀区二模）已知数列 满足 ，设数列的前项和的最大值为 ，则 _____________． 24、（11年江苏徐州4月月考）设等差数列 前n项和分别为 ，且对任意的自然数 都有 ，则 的值等于_____________． 25、在等比数列{}中， 则 =_____________． 26、（10年山东青岛模拟）已知等比数列 中，前n项和为 ，则 ____________． 27、(2007全国I) 等比数列 的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　． 28、（2007江西）已知等差数列 的前项和为，若，则 ． 29、已知等差数列 中， ，则这个数列前n项和 何时取最大值？ 30、（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分10分）已知等差数列 中，求{}前n项和 31、（2010浙江文19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为 ，公差为d的等差数列 的前n项和为 ，满足+15=0。（Ⅰ）若=5，求及 ；（Ⅱ）求d的取值范围。 32、（2010北京文16）（本小题共13分）已知 为等差数列，且，。 （Ⅰ）求 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列 满足，，求 的前n项和公式 33、(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）已知等比数列 的公比q=3，前3项和S3=（I）求数列{an}的通项公式； （II）若函数在处取得最大值，且最大值为 ，求函数 的解析式。 34、（12福建理2）等差数列 中， ,则数列 的公差为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 35、（12安徽理4）公比为 等比数列 的各项都是正数，且 ，则 =（ ） A、 B、 C、 D、 36、（ 12江西理12）设数列{an},{bn}都是等差数列，若 ， ，则 __________。 37、（12陕西17）（本小题满分12分） 设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列． （1）求数列的公比； （2）证明：对任意，成等差数列． 033333 3 【参考答案】 4 【1】B 【2】A 【3】B 【4】C 【5】B 【6】C 【7】C 【8】A 【9】C【10】B 【11】B 【12】B 【13】B 【14】D 【15】C 【16】D 【17】 B 【18】B【19】B【20】9【21】 15 【22】190 【23】 【24】 【25】32【26】 【27】【28】7【29】当 时前n项和 取最大值 【30】 【31】（Ⅰ） （Ⅱ） 【32】（Ⅰ）（Ⅱ） 【33】（I）（II）的解析式为 【34】B【35】B 【36】【解析】本题考查等差数列的概念和运算。设数列 的公差分别为 ，则由 ，得 ，即 ，所以 ， 所以 【37】（1）设数列的公比为（）。 由成等差数列，得，即。 由得，解得，（舍去），所以。 （2）证法一：对任意， ， 所以，对任意，成等差数列。 证法二：对任意，， ， ， 因此，对任意，成等差数列。 类型一：形如已知数列 的前n项和 的表达式，求 具体求法是 ，注意最后检验二者能否统一为一个表达式 【例1】，已知数列 的前n项和 ，求 通项公式 【分析】方法一： 方法二： 【例2】（08天津理科15题改编）已知数列 中，首项 ，则数列 的通项公式 　　　　　　． 【解析】 【答案】 【例3】（08江西文理5）在数列 中， ， ，则 （ ） A、 B、 C、 D、 【解析】 【答案】A 【例4】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 【解析】 【例5】已知数列 中，首项 ，求数列 的通项公式 【解析】此题根据式子的特征进行配凑，构造出等比数列，即 ，求出k的值进而求出 的通项公式 【例6】已知数列 中，首项 ，求数列 的通项公式 【解析】对 进行变形化简后，构造出等比数列求解 【例7】已知数列 中，首项 ，求数列 的通项公式 【解析】 【例8】（08全国Ⅰ理19题）在数列 中， ， ． （Ⅰ）设 ．证明：数列 是等差数列；（Ⅱ）求数列 的前 项和 ． 【解析】（1） ， ， ， 则 为等差数列， ， ， ． （2） 两式相减，得 【练习题】 1，（09浙江文20）已知数列 中，前n项和 ，（I）求首项 及通项公式 （Ⅱ）若对于任意的 , 成等比数列，求k的值. 2，（04浙江文17）已知数列 的前n项和为 （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求证数列 是等比数列. 3，（11四川理8）数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则（ ）A、0 B、3 C、8 D、11 4，（09全国卷Ⅰ理20）在数列 中， （I）设 ，求数列 的通项公式 （II）求数列 的前 项和 5，已知数列 满足 ，则数列 的通项公式 　　　　　　． 6，已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 7，已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 8，已知数列 中，首项 ，求数列 的通项公式 9， 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。 10，已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 11，已知数列 的前 项和 ，且 ，求 12，已知数列 的前 项和 ，则 ． 13，数列 中， ，求 的通项公式 【参考答案】 1，【解析】（Ⅰ）当 ， （ ） 经验， （ ）式成立， （Ⅱ） 成等比数列， ， 即 ，整理得： ， 对任意的 成立， 2,【解析】(Ⅰ)由 ,得 ∴ EMBED Equation.3 又 ,即 ,得 . (Ⅱ)当n>1时, 得 所以 是首项为 ,公比为 的等比数列. 3,【解析】由已知知由叠加法 选B 4,【分析】：（I）由已知有 EMBED Equation.DSMT4 利用累差迭加即可求出数列 的通项公式: ( ) （II）由（I）知 , EMBED Equation.DSMT4 而 是一个典型的错位相减法模型， EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 5,【答案】 6,【解析】由 得 则 所以数列 的通项公式为 7,【解析】：由 得 则 所以 8,【解析】 9,【解析】 两边除以 ，得 ，则 ， 故数列 是以 为首，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，所以数列 的通项公式为 10,【解析】由 得 1 则 所以数列 的通项公式为 11,【解析】 12，【答案】 13，【答案】 ， 【例1】 已知数列 的通项公式为 ，求数列 的前 项和 【解析】此数列 是由 这两个数列对应的项的和组成的数列，所以分别求出它们的和然后相加即得出数列 的前 项和 所以 【例2】已知 ，求 的前n项和. 【解析】：由 由等比数列求和公式得 ＝ ＝ ＝1－ 【例3】（2008陕西文科第20题）已知数列 的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）数列的前项和． 【解析】（Ⅰ） ， ， ，又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，． 设…， ① 则…，② 由①②得…， ．又…． 数列的前项和 ． 【例4】（2009年湖北理科第19题）已知数列 的前n项和 （n为正整数）。（Ⅰ）令 ，求证数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；（Ⅱ）令 ， 试比较 与 的大小，并予以证明。 【解析】（I）在 中，令n=1，可得 ，即 当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 . . 又 数列 是首项和公差均为1的等差数列. 于是 . (II)由（I）得 ，所以 由①-②得 EMBED Equation.DSMT4 于是确定 的大小关系等价于比较 的大小 由 可猜想当 证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设 时 所以当 时猜想也成立综合（1）（2），对一切 的正整数，都有 证法2：当 时 综上所述，当 EMBED Equation.DSMT4 ，当 时 【例5】（11年全国新课标理第17题）等比数列的各项均为正数，且(1)求数列 的通项公式；(2)设 求数列的前n项和. 【解析】本题考查等比数列的通项公式、裂项相消法求数列的和、对数的运算性质，熟练掌握等比数列的基础知识和裂项相消法求数列和是解答好本类题目的关键。 （1）设数列的公比为q，由得所以。 由条件可知a>0,故。由得，所以。 故数列的通项式为an=。 （2） 故 所以数列的前n项和为 【例6】（10年山东理科第18题）已知等差数列 满足： ， ． 的前n项和为 ．（Ⅰ）求 及 ； （Ⅱ）令bn= (n N*)，求数列 的前n项和 ． 【解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 （Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 ，解得， 所以；==。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===， 所以==， 即数列的前n项和=。 【例7】已知 ，求 的表达式 【解析】 ① ② 且 ①+②得 【例8】 ，求 的值 【解析】 ① ② ∴①+②得： 【练习反馈】 1、（12天津理18）（本小题满分13分） 已知 是等差数列，其前项和为 ， 是等比数列,且 ， (Ⅰ)求数列 与 的通项公式； (Ⅱ)记 ；证明： 2、（08浙江文18）已知数列的首项，通项 成等差数列。求： （Ⅰ） 的值；(Ⅱ) 数列前n项和的公式。 3、（11辽宁理17）已知等差数列 满足 （I）求数列 的通项公式；（II）求数列 的前n项和． 4、（10年全国新课标Ⅰ第17题）设数列满足， （Ⅰ)求数列的通项公式：（Ⅱ）令，求数列的前n项和. 5、（2011年皖南八校三模理科19题）已知数列 的前n项和为 （1）求 的通项公式； （2）数列 ，求数列 的前n项和 ； （3）若 对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。 6、（11年浙江理科第19题满分14分）已知公差不为0的等差数列 的首项 为a( ),设数列的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列 （1）求数列 的通项公式及 （2）记 ， ，当 时，试比较 与 的大小. 7、已知数列 前n项和 ，设 ，求数列 的前n项和为 8、函数 ，曲线 处切线与 轴交点为 ， 为正数（1）用 表示 （2）若 ，求数列 的通项公式（3）设数列 的前n项和 ，设 ，求数列 的前n项和 9、（11年安徽理科第18题）在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作 ，再令 ，n≥1. （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前n项和 . 10、函数 对任意x∈R，都有 （1）求f( )和 的值． （2）数列 满足： ，数列 是等差数列吗？请给予证明； （3） = , Sn=32- , Tn= ，试比较Tn与Sn的大小． 11、（12江西理16）（本小题满分12分） 已知数列 的前n项和 ， ，且 的最大值为8. （1）确定常数 ，求 ；（2）求数列 的前n项和 。 【参考答案】 1、【解析】本试题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和前项和为 公式的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 、利用错位相减法、裂项相消等求数列的前项和为 、方程思想在解决数列问题中的应用和等式的证明方法；第二问还可以用数学归纳法证明 （1） 设数列的公差为 ，数列的公比为 ； 则 ，得： （2） 解法一：利用错位相减法求解 ① ∴ ② 由②-①得： 所以等式左边 ，右边 ， 所以 解法二：利用裂相相消法求解 又因为 所以 EMBED Equation.DSMT4 所以 2、【解析】 （Ⅰ）解：由 (Ⅱ)解： 3、【解析】（I）设等差数列 的公差为d，由已知条件可得 解得 故数列 的通项公式为 （II）设数列 ，即 ， 所以，当 时， 所以 综上，数列 4、【解析】（1）由已知，利用累加法可求出 当 EMBED Equation.DSMT4 所以 （2）由 知 .① 从而 .② ①-②得 . 即 . 5、【解析】（1）由 易求: 代入 得 （2）数列 于是 两式相减得 即 （3） ∴当n=1时， 当 时,即, ,所以 ∴对一切正整数n，取最大值是 又 即 6、【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、裂项相消法求数列的前n和、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。 （1）解：设等差数列 的公差为d,由 得 。因为 ,所以 ，所以 ， （2）解：因为 所以 EMBED Equation.DSMT4 因为 所以 当 时， ，即 所以，当a＞0时， ；当a＜0时， 。 7、【解析】本题考查数列通项公式的求法，考查利用裂项相消法求数列前n项和 8、【解析】本题考查函数即导数知识的应用、数列通项公式和前n项和的求法 （1） ，即曲线 处切线的斜率为 ，所以曲线 处切线方程为 所以当 EMBED Equation.DSMT4 ，即 （2） （3）∵数列 的前n项和 ∴ ，由（2）知 ， 所以 所以 ① ② ①-②得 即 9、【解析】本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。 解：（Ⅰ）设 构成等比数列，其中 ，则 ① ② ①×②并利用 ，得 （Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知 另一方面，利用 得 所以 10、【解析】（1）∵ ，令 ，得 ， 即 （2） ，以上两式相加，得 ∴ ， 故数列 是等差数列． （3） = ， = =16[1+(1- )+( )+…+( )]=16(2- ) =32- = ∴ 11、【解析】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用 来实现 与 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意 不能用来求解首项 ，首项 一般通过 来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列. 当 时， 取最大值，即 ，从而 ，又 ，所以 （2）因为 ，所以 ， 所以 一、等差和等比数列部分 二、数列求通项公式的方法 类型二：形如已知数列� EMBED Equation.DSMT4 ���的首项� EMBED Equation.DSMT4 ���和� EMBED Equation.DSMT4 ���，其中� EMBED Equation.DSMT4 ���是可以求出和的数列，此时利用累加法或叠加法求解数列� EMBED Equation.DSMT4 ���的通项公式 � EMBED Equation.DSMT4 ��� 类型三：形如已知数列� EMBED Equation.DSMT4 ���的首项� EMBED Equation.DSMT4 ���和� EMBED Equation.DSMT4 ���，此时利用累乘法求解数列� EMBED Equation.DSMT4 ���的通项公式 类型四：用待定系数法构造等比数列来求解数列� EMBED Equation.DSMT4 ���的通项公式 形如已知数列� EMBED Equation.DSMT4 ���的首项� EMBED Equation.DSMT4 ���和� EMBED Equation.DSMT4 ��� 形如已知数列� EMBED Equation.DSMT4 ���的首项� EMBED Equation.DSMT4 ���和� EMBED Equation.DSMT4 ��� 类型五：构造等差数列来求解数列� EMBED Equation.DSMT4 ���的通项公式 形如（1）已知数列� EMBED Equation.DSMT4 ���的首项� EMBED Equation.DSMT4 ���和� EMBED Equation.DSMT4 ���，构造出� EMBED Equation.DSMT4 ���是等差数列 （2）已知数列� EMBED Equation.DSMT4 ���的首项� EMBED Equation.DSMT4 ���和� EMBED Equation.DSMT4 ���，构造出等差数列 三、数列求前n项和的方法 方法一：分组转化 把数列分为特殊数列即等差（比）数列，然后利用公式求解，要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列；等比数列中注意对公比q是否为1的讨论 的 方法二：错位相减法、 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列，为了更好的进行相减，在第一个式子中最好把倒数第2项也写出来，减后一定要搞清楚哪些消去了，还剩哪些，等比数列中注意对公比q是否为1的讨论 的 方法三：裂项相消：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 在正负项抵消后，要注意看是否只剩了第一项和最后一项，有的前面剩两项，后面也剩两项或更多项，主要取决于两个分母相差多少。常见的通项分解（裂项）如： （1）� EMBED Equation.3 ��� （2）� EMBED Equation.3 ��� （3）� EMBED Equation.3 ��� （4）� EMBED Equation.DSMT4 ��� （5）� EMBED Equation.DSMT4 ���（6）� EMBED Equation.DSMT4 ��� (7) � EMBED Equation.DSMT4 ��� （8）� EMBED Equation.DSMT4 ��� （9）� EMBED Equation.DSMT4 ��� 的 方法四：倒序相加 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和或等于同一个常数，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 第 33 页 共 33 页 _1272613568.unknown _1305904144.unknown _1337446660.unknown _1368984338.unknown _1369122044.unknown _1369411569.unknown _1369739718.unknown _1383204731.unknown _1383419616.unknown _1383584078.unknown _1400815600.unknown _1405607161.unknown _1405749769.unknown _1405750411.unknown _1405752712.unknown _1405757722.unknown _1405757788.unknown _1405758534.unknown _1405759191.unknown _1405759378.unknown _1405759548.unknown _1405759293.unknown _1405758552.unknown _1405758157.unknown _1405758494.unknown _1405758036.unknown _1405757760.unknown _1405757768.unknown _1405757740.unknown _1405753146.unknown _1405753513.unknown _1405753944.unknown _1405754116.unknown _1405753580.unknown _1405753865.unknown _1405753196.unknown _1405752764.unknown _1405753027.unknown _1405751764.unknown _1405751912.unknown _1405752053.unknown _1405752176.unknown _1405752236.unknown _1405752022.unknown _1405751869.unknown _1405751905.unknown _1405751820.unknown _1405751771.unknown _1405750680.unknown _1405751602.unknown _1405750575.unknown _1405750134.unknown _1405750291.unknown _1405750396.unknown _1405750405.unknown _1405750329.unknown _1405750335.unknown _1405750168.unknown _1405750175.unknown _1405750140.unknown _1405750003.unknown _1405750011.unknown _1405750125.unknown _1405749957.unknown _1405749796.unknown _1405607740.unknown _1405607968.unknown _1405608358.unknown _1405608384.unknown _1405698754.unknown _1405698942.unknown _1405608373.unknown _1405608317.unknown _1405607895.unknown _1405607958.unknown _1405607860.unknown _1405607756.unknown _1405607800.unknown _1405607461.unknown _1405607667.unknown _1405607673.unknown _1405607527.unknown _1405607632.unknown _1405607443.unknown _1405607258.unknown _1405607263.unknown _1401294656.unknown _1405516116.unknown _1405516216.unknown _1405606448.unknown _1405606500.unknown _1405606791.unknown _1405606984.unknown _1405607037.unknown _1405606827.unknown _1405606619.unknown _1405606764.unknown _1405606507.unknown _1405606512.unknown _1405606504.unknown _1405606473.unknown _1405606488.unknown _1405606494.unknown _1405606482.unknown _1405606457.unknown _1405606467.unknown _1405606452.unknown _1405606433.unknown _1405606442.unknown _1405606445.unknown _1405606438.unknown _1405606421.unknown _1405606426.unknown _1405516222.unknown _1405516590.unknown _1405516202.unknown _1405516209.unknown _1405516140.unknown _1405515015.unknown _1405515116.unknown _1405515483.unknown _1405515514.unknown _1405516037.unknown _1405515520.unknown _1405515488.unknown _1405515282.unknown _1405515331.unknown _1405515200.unknown _1405515052.unknown _1402430900.unknown _1405514882.unknown _1405514931.unknown _1405514956.unknown _1405514768.unknown _1405514794.unknown _1405514760.unknown _1401294658.unknown _1401294659.unknown _1401294657.unknown _1401003483.unknown _1401006108.unknown _1401294654.unknown _1401294655.unknown _1401294653.unknown _1401004271.unknown _1401003507.unknown _1401004240.unknown _1400815724.unknown _1401002957.unknown _1401002959.unknown _1401002961.unknown _1401002962.unknown _1401002960.unknown _1401002958.unknown _1401000262.unknown _1401002956.unknown _1400815733.unknown _1400815637.unknown _1400815663.unknown _1400815632.unknown _1383587232.unknown _1400606574.unknown _1400612174.unknown _1400780405.unknown _1400780408.unknown _1400815585.unknown _1400780407.unknown _1400612211.unknown _1400612325.unknown _1400612069.unknown _1400612149.unknown _1400606584.unknown _1400606593.unknown _1400606579.unknown _1383594120.unknown _1400598248.unknown _1400606429.unknown _1400606539.unknown _1400598293.unknown _1400606284.unknown _1383594471.unknown _1383594798.unknown _1383594932.unknown _1383595546.unknown _1384153677.unknown _1383595008.unknown _1383594860.unknown _1383594625.unknown _1383594737.unknown _1383594494.unknown _1383594404.unknown _1383594437.unknown _1383594187.unknown _1383594269.unknown _1383594296.unknown _1383594167.unknown _1383593622.unknown _1383593929.unknown _1383593988.unknown _1383593730.unknown _1383587380.unknown _1383593578.unknown _1383587295.unknown _1383584742.unknown _1383585520.unknown _1383586795.unknown _1383586983.unknown _1383587169.unknown _1383586901.unknown _1383585833.unknown _1383586059.unknown _1383586771.unknown _1383586073.unknown _1383585876.unknown _1383585650.unknown _1383585025.unknown _1383585422.unknown _1383585454.unknown _1383585041.unknown _1383584851.unknown _1383584893.u