《数列》专题训练

数 列 知识要点 等差数列 等比数列 定义 递推公式 ； ； 通项公式 （） 中项 （） （） 前项和 重要性质 1. ⑴等差、等比数列： 等差数列 等比数列 定义 通项公式 =+（n-1）d=+（n-k）d=+-d 求和公式 中项公式 A= 推广：2= 。推广： 性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则。 2 若成A.P（其中）则也为A.P。 若成等比数列 （其中），则成等比数列。 3 ． 成等差数列。 成等比数列。 4 ， 5 ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① ②2() ③(为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ① ②(，)① 注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列. ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. 且→为a、b、c等比数列的充要. 注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. ③(为非零常数). ④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列. ⑷数列{}的前项和与通项的关系： [注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{}前n项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍； ②若等差数列的项数为2，则； ③若等差数列的项数为，则，且， . 3. 常用公式：①1+2+3 …+n = ② ③ [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，…. 4. 等比数列的前项和公式的常见应用题： ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为： ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款： =. ⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率. 5. 数列常见的几种形式： ⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解. 具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定. ⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定. ①转化等差，等比：. ②选代法： . ③用特征方程求解：. ④由选代法推导结果：. 6. 几种常见的数列的思想方法： ⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法： 一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如： ⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数. 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。 3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 　　　3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 5.常用结论 1）: 1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。 解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，所以数列 的通项公式为 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式。 二、利用 例2．若 和 分别表示数列 和 的前 项和，对任意正整数 ， .求数列 的通项公式； 解： EMBED Equation.3 ……2分 当 当 ……4分 练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 解: 2．（2006年全国卷I）设数列 的前 项的和 ， （Ⅰ）求首项 与通项 ； （Ⅱ）设 ， ，证明： 解：（I），解得： 所以数列是公比为4的等比数列 所以： 得： （其中n为正整数） （II） 所以： 三、累加法 例3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：由 得 则 所以数列 的通项公式为 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。 例4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：由 得 则 所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。 例5已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解： 两边除以 ，得 ， 则 ，故 因此 ， 则 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。 四、累乘法 例6 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：因为 ，所以 ，则 ，故 所以数列 的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。 例7已知数列 满足 ，求 的通项公式。 解：因为 ① 所以 ② 用②式－①式得 则 故 所以 EMBED Equation.3 ③ 由 ， ，则 ，又知 ，则 ，代入③得 。 所以， 的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，从而可得当 的表达式，最后再求出数列 的通项公式。 五.构造等差或等比 EMBED Equation.DSMT4 或 例8（2006年福建卷）已知数列 满足 求数列 的通项公式； 解： 是以 为首项，2为公比的等比数列。 即　 例9．已知数列 中， , ，求 。 解：在 两边乘以 得： 令 ，则 ,解之得： 所以 练习. 已知数列 满足 ，且 。 （1）求 ； （2）求数列 的通项公式。 解： （1） （2） ∴ 六、待定系数法 例10已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：设 ④ 将 代入④式，得 ，等式两边消去 ，得 ，两边除以 ，得 代入④式得 ⑤ 由 及⑤式得 ，则 ，则数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，则 ，故 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。 例11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：设 ⑥ 将 代入⑥式，得 整理得 。 令 ，则 ，代入⑥式得 ⑦ 由 及⑦式， 得 ，则 ， 故数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列，因此 ，则 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。 例12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：设 ⑧ 将 代入⑧式，得 ，则 等式两边消去 ，得 ， 解方程组 ，则 ，代入⑧式，得 ⑨ 由 及⑨式，得 则 ，故数列 为以 为首项，以2为公比的等比数列，因此 ，则 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。 七、对数变换法 例13 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。 解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得 ⑩ 设 eq \o\ac(○,11) 将⑩式代入 eq \o\ac(○,11)式，得 ，两边消去 并整理，得 ，则 ，故 代入 eq \o\ac(○,11)式，得 eq \o\ac(○,12) 由 及 eq \o\ac(○,12)式， 得 ， 则 ， 所以数列 是以 为首项，以5为公比的等比数列，则 ，因此 则 。 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。 八、迭代法 例14已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：因为 ，所以 又 ，所以数列 的通项公式为 。 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 两边取常用对数得 ，即 ，再由累乘法可推知 ，从而 。 九、数学归纳法 例15已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：由 及 ，得 由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。 （1）当 时， ，所以等式成立。 （2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时， 由此可知，当 时等式也成立。 根据（1），（2）可知，等式对任何 都成立。 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 十、换元法 例16已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：令 ，则 故 ，代入 得 即 因为 ，故 则 ，即 ， 可化为 ， 所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此 ，则 ，即 ，得 。 评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。 附： 构造辅助数列 1．构造数列 ，使其为等差数列。 （形式： ） 例：已知数列 满足 EMBED Equation.3 ，求证： 是等差数列，并求 的通向公式。 解： ， EMBED Equation.3 ，即 是首项为1，公差为3的等差数列。 . 2. 构造数列 ，使其为等比数列。（ 或 ） 例：在数列 中，已知 EMBED Equation.3 ，求证：数列 的通项公式。 解：由 EMBED Equation.3 可知，对 ， . ，即 EMBED Equation.3 . 又 EMBED Equation.3 . 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. . 3. 构造数列 ，使其为等比数列。 例：已知数列 满足 EMBED Equation.3 ， ，求 的通项公式。 解：设 ，即 则 与 比较后的得 . 或 . 当 时， ， 是以 为首项，2为公比的等比数列。 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( ). 经验证，n=1时适合上式， . 同理，当 时，也得到 . 综上知 . 1、 填空题：（本大题共36分，每小题3分） 1、 已知 为等差数列，若 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，则 ________________. 2、 已知等差数列 中， =_______________. 3、 已知 _______________. 4、 等比数列 中， ______________. 5、 数列 ____________________. 6、 已知无穷等比数列 的前n项和 列前n项和为_______________.（用数值回答） 7、 若无穷等比数列 的各项和等于 ，则 ________________. 8、 用数学归纳法证明： ，当n=1时，代数 式的值为______________. 9、 在等差数列 中，满足 ，若 有 最大值，则n的值为_____________. 10、 已知数列 中， ____________________. 11、 已知数列 中满足： 若 12、 已知 是首相不为0的等差数列，若 二、选择题：（本大题共12分，每小题3分） 13、已知数列 满足 （ ） A、0 B、 C、 D、 第1页 共4页 14、 ( ) A、 B、 C、 D、以上 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 都不对 15、已知等比数列 的各项均为正数，公比 ，设 ，则P与 Q的大小关系是（ ） A、P>Q B、p Q C、p