随机数学-第四、五讲

第 第2 2章 章 随机变量及其分布 随机变量及其分布 研究的问题： 研究的问题： 随机现象的 随机现象的整体规律 整体规律的 的表述 表述、 、寻求 寻求和 和运用 运用 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 概要 内容概要 § § 随机变量 随机变量的 的概念 概念及 及意义 意义 § § 随机变量的 随机变量的分布 分布（三种情形）的 （三种情形）的定义 定义、 、性质 性质及 及应用 应用 § § 随机变量的 随机变量的函数的分布 函数的分布的 的概念 概念与 与求法 求法 内容的应用意义 内容的应用意义 § § 求给定随机变量的分布 求给定随机变量的分布 § § 利用已知分布求事件的概率 利用已知分布求事件的概率 2.1 2.1 随机变量及其分布函数 随机变量及其分布函数  2.1.1 2.1.1 随机变量 随机变量(Random Variable)  § § 定义 定义2.1 2.1 设 设E E为随机试验 为随机试验, ,Ω Ω= ={ {ω ω} }为其样本空间 为其样本空间, ,  ℱ为Ω Ω上的 上的事件域。若 域。若Ω Ω上的实值函数 上的实值函数X X( (ω ω) )满足 满足: :  对任意实数 对任意实数x x, , { {ω ω: : X X( (ω ω) ) ≤ ≤ x x} }∈ ∈ℱ, 则称 则称X X( (ω ω) )为随机变量(简记为R.V. X)  § § 事件的随机变量表示 事件的随机变量表示: :  A A={ ={X X ∈ ∈I I}, },  其中 其中I I为某一区间 为某一区间 引入随机变量的意义 引入随机变量的意义: :  • •用统一的数学形式 用统一的数学形式( (变量在某一范围的取值 变量在某一范围的取值) )表达了随机 表达了随机 现象的可能结果 现象的可能结果—— ——事件 事件  • •使得研究 使得研究随机现象的整体规律 随机现象的整体规律等价地转化为研究 等价地转化为研究随机变 随机变 量的取值规律 量的取值规律—— ——分布 分布 2.1.2 2.1.2  分布函数 分布函数 § § 定义 定义2.2 2.2 设有随机变量 设有随机变量X X, ,对于任意实数 对于任意实数x x∈ ∈( (－∞ －∞, , + +∞ ∞), ),  函数 函数  F F( (x x)= )=P P( (X X≤ ≤x x) )  称为随机变量 称为随机变量X X的 的分布函数 分布函数. .  几点认识 几点认识: :  ① ①F F( (x x) )是定义在 是定义在( (－∞ －∞, , + +∞ ∞) )的普通实函数 的普通实函数, , x x不一定是 不一定是R .V. X R .V. X  的可能取值 的可能取值. .  ② ② F F( (x x) )的几何意义 的几何意义: : R .V. X R .V. X的取值落入区间 的取值落入区间( (－∞ －∞, , x x] ]的概率 的概率. .  ③ ③P P( (a a＜ ＜X X≤ ≤b b)= )=F F( (b b) )－ －F F( (a a) )； ； P P( (X X＞ ＞a a)=1 )=1－ － F F( (a a) )； ；  P P( (X X＜ ＜b b)= )= F F( (b b ­ ­ ); );  P P( (X=b X=b)= )= F F( (b b) )－ － F F( (b b ­ ­ ) )； ； § §分布函数的性质 分布函数的性质 定理 定理2.1 2.1 设随机变量 设随机变量X X的分布函数为 的分布函数为F(x), F(x),则 则  (1) 0 (1) 0≤ ≤F F( (x x) )≤ ≤1; 1;  (2) (2) F F( (x x) )是 是x x的单调非降函数 的单调非降函数: : 若 若 x x 1 1 ＜ ＜x x 2 2 , , 则 则F F( (x x 1 1 ) ) ≤ ≤ F F( (x x 2 2 ); );  (3) (3) F F( (x x) )右连续 右连续: : F F( (x x+0)= +0)=F F( (x x); );  (4) (4) F F( (－ －∞ ∞)=0, )=0,  F F( (＋ ＋∞ ∞)=1. )=1.  § § 举例 举例 例 例1 1 袋中有标号为 袋中有标号为 ­ ­ 1, 1, ­ ­ 1, 1, ­ ­ 1, 1, 1, 2 1, 1, 1, 2 的 的6 6只球 只球, ,从中任取一只 从中任取一只, ,  设 设X X为所取球的标号 为所取球的标号, ,求 求  (1) (1) X X的分布函数 的分布函数F F( (x x); );  (2)P( (2)P(­ ­1 1≤ ≤X X≤ ≤1) 1) 和 和 P(0 P(0＜ ＜X X＜ ＜3/2). 3/2). 2.2 2.2 离散型随机变量 离散型随机变量  2.2.1 2.2.1  离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量及其分布列 § § 定义 定义2.3 2.3若随机变量 若随机变量X X至多可取有限个值或可列 至多可取有限个值或可列 无穷个值 无穷个值x x 1 1 , , x x 2 2 , , ∙∙∙ ∙∙∙, x k , , ∙∙∙ ∙∙∙, ,则称X为离散型随机变 随机变 量 量( (Discrete Random Variable Discrete Random Variable). ).称 称  P P( (X X= = x x k k )= )=p p k k  ,    k ,    k=1,2, =1,2,∙∙∙ ∙∙∙  (2.1) (2.1)  为随机变量 为随机变量X X的 的分布列 分布列( (或 或概率分布 概率分布或 或概率函数 概率函数). ).  § § 分布列的表示法 分布列的表示法  • •  公式法 公式法: : (2.1) (2.1)  • •  表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 法 表格法: :  • •  图示法 图示法: :概率分布图 概率分布图 ú û ù ê ë é L L L L  n  n  p p p  x x x  2 1  2 1 § §分布列的性质 分布列的性质  (1) (1) 非负性 非负性: :  ; , 2 , 1 , 0  L = ³  k p k  (2) (2)  规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 性 规范性: :  . 1 1 å ¥ = =  k  k p  § §分布列与分布函数的关系 分布列与分布函数的关系  ; ) ( å £ =  x x  k  k  p x F  § §由分布列求给定事件的概率： 由分布列求给定事件的概率： § §举例 举例 例 例2 2  一汽车开往目的地的途中需经过三盏信号灯 一汽车开往目的地的途中需经过三盏信号灯. .设每盏 设每盏 灯以概率 灯以概率1/2 1/2允许或禁止汽车通过 允许或禁止汽车通过. .以 以X X表示汽车首次停下 表示汽车首次停下 时已通过的信号灯数 时已通过的信号灯数( (设各灯工作相互独立 设各灯工作相互独立), ),求 求X X的分布列 的分布列, ,  分布函数及概率 分布函数及概率P P( (X X≤ ≤3/2) 3/2)和 和P P(2< (2 = ¥ ® l l n n  np  则有 则有  . , 2 , 1 , 0 ,  !  ) 1 ( lim  L = = - - - ¥ ®  k  k  e  p p C  k  k n  n  k  n  k  n n l l  . , , 2 , 1 , 0 ,  !  ) (  n k  k  e  q p C k X P  k  k n k k  n  L = » = = - - l l 例 例5 5  一台电话总机下设 一台电话总机下设150 150台分机 台分机, , 设每台分机向总机要 设每台分机向总机要 外线的概率为 外线的概率为3%. 3%.试问总机应设置多少条外线 试问总机应设置多少条外线, ,才能保证 才能保证 分机要外线时不需等待的概率达到 分机要外线时不需等待的概率达到99%? 99%?  ) (  np = l (3) (3) 泊松 泊松( (Poisson) Poisson)分布 分布 § § 定义 定义 设 设D.R.V. X D.R.V. X的分布列为 的分布列为  , , 2 , 1 , 0 ,  !  ) (  L = = = -  k  k  e  k X P  k l l 其中 其中λ λ> >0 0为常数 为常数, ,则称 则称X X服从参数为 服从参数为λ λ的 的泊松分布 泊松分布, ,  记为 记为X X~ ~P P( (λ λ). ).  § § 应用举例 应用举例 例 例6 6 通过某交叉路口的汽车流量服从泊松分布 通过某交叉路口的汽车流量服从泊松分布. .若在一 若在一 分钟内没有汽车通过的概率为 分钟内没有汽车通过的概率为0.2, 0.2,求在一分钟内通过不 求在一分钟内通过不 止一辆车的概率 止一辆车的概率. .两分钟内通过不止一辆车的概率又为 两分钟内通过不止一辆车的概率又为 多少 多少? ? (4) (4) 几何分布 几何分布 § § 定义 定义 设 设D.R.V. X D.R.V. X的分布列为 的分布列为  , , 2 , 1 , ) (  1  L = = = -  k pq k X P  k  其中 其中0 = > + > (5) (5) 超几何分布 超几何分布 § § 定义 定义 设 设D.R.V. X D.R.V. X的分布列为 的分布列为  , ) (  n  N  k n  M N  k  M  C  C C  k X P - - = =  }, , { , )}, ( , 0 {  M n Min M N n Max k  L - - = 其中 其中N, M和 和n n为常数 为常数, , N>M N>M, , 则称 则称X X服从参数 服从参数 为 为N N, , M M和 和n n的 的超几何分布 超几何分布. .  （ （6 6）单点分布 ）单点分布 § §定义 定义 设 设D.R.V. X D.R.V. X的分布列为 的分布列为  P P( (X X= =C C)= )=1 1  其中 其中C C为常数，则称 为常数，则称X X服从单点分布。 服从单点分布。 例 例3 3 同时掷两颗骰子 同时掷两颗骰子, ,求它们出现的最大点数 求它们出现的最大点数X X的分布列 的分布列. . ï ï î ï ï í ì = + = = = -  . 6 , , 2 ,  6  1  ; 1 ,  6  1  ) (  2  1  1  1  2  2  L k  C C  k  k X P  k