数学建模
实验报告
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嘉兴学院数理与信息工程学院《数学建模》上机实验
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《数学建模》上机实验报告
实验名称 常微分方程的数值解法 实验日期 班级 信计092 姓名 学号 成 绩
一(实验目的
1、熟悉MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法; 2、掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题解析解的方法。 二(实验内容
(1)、
1.问题
t,0某跳伞者在时刻从飞机上跳出，假设初始时刻的垂直速度为0，且跳伞者垂
2Fcv,直下落。已知空气阻力为，其中为常数，为垂直速度，向下方向为cvair
正。
1)写出此跳伞者的速度满足的微分方程。
2)若此跳伞者的质量为，且已知。(重力加速度Mkg,70ckgm,0.27/
2gms,9.8/)
a)利用dsolve函数给出该初值问题的解析解;
ts,20b)利用ode45，ode23，ode113函数分别画出的速度曲线。 2.数学模型 2 设t时刻速度为v，则dt/dv=(mg-cv)/m;
3.算法与编程
v=dsolve('Dv=(9.8*70-0.27*v^2)/70','v(0)=0','t')
建立ode函数文件fun.m
function f=fun(t,v)
f=(9.8*70-0.27*v^2)/70;
主程序:
[t,v]=ode23('fun',[0,20],1);
plot(t,v,'o-');
[t,v]=ode45('fun',[0,20],1);
plot(t,v,'*-')
4.实验结果与分析
v =70/9*42^(1/2)*tanh(3/100*42^(1/2)*t)
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(2)、
1.问题
在鱼塘中投放no尾育苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。 1)设尾数n(t)的(相对)减少率为常数;由于喂养引起的每尾鱼质量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼质量的减少率与质量本身成正比。分别建立尾数和每尾鱼质量的微分方程，并求解。 2.数学模型 ut 尾数n(t):dn/dt=-u*n,n(0)=n,得n(t)=ne0 02/33bt/33每尾鱼重w(t):dw/dt=aw-bw, 设w(0)=0得w(t)=(a/b)(1-e) 3.算法与编程
(1) syms n t k n0
dsolve('Dn=-k*n','n(0)=n0','t')
(2)syms w a b
dsolve('Dw=a*w^(2/3)-b*w','w(0)=0','t')
4.实验结果与分析
ans =n0*exp(-k*t)
ans= (a + 1/exp((b*(t - (3*log(-a))/b))/3))^3/b^3
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(3)、
1.问题
建立铅球掷远模型。不考虑阻力，设铅球初速为v，出手高度为h,出手角度为a(与地面夹角)，建立投掷距离与v,h,a的关系式，并在v,h一定的条件下求最佳出手角度。
2.数学模型
铅球运动方程为: 解出x(t),y(t)后，可得铅球掷远为:
3.算法与编程
syms a v t h
[x,y]=dsolve('Dx=v*cos(a)','Dy=v*sin(a)','x(0)=0','y(0)=h','t')
syms r g v a h
diff(v^2/g*sin(a)*cos(a)+sqrt(v^2/(g^2)*(sin(a))^2+2*h/g)*v*cos(a)) syms v a g h
solve((v^2*cos(a)^2)/g - v*sin(a)*((2*h)/g + (v^2*sin(a)^2)/g^2)^(1/2) - (v^2*sin(a)^2)/g + (v^3*cos(a)^2*sin(a))/(g^2*((2*h)/g +
(v^2*sin(a)^2)/g^2)^(1/2)),a)
x =v*cos(a)*t
y =v*sin(a)*t+h
a=asin((2^(1/2)*v*(v^2 + g*h)^(1/2))/(2*v^2 + 2*g*h))
4.实验结果与分析
最佳出手角度:a=asin(v/(sqrt(2*h*g+2*v^2)),R=v/g*(sqrt(2*h*g+v^2) 。设h=1.5 m,v=10 m/s,则a=41.4,R=11.4 m
三(
心得体会
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此次数学模型实验比上次的实验难度要大些，在第2，3题的建立模型是遇到一点阻碍，在编写算法是也经过多次改正才得出结果。
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