计算机工程与应用 !""#$%
% 引言
&’()* 变换可以按照信号形状的先验知识选择合适的窗
函数，从而使得只用少部分变换系数，就能对信号作比较精确
的
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示。瞬变信号是一种持续时间较观测时间相对很短的（振
荡或非振荡）信号 +%,，它的存在很广泛，例如，在雷达信号处理中
目标的回波信号、地质测量中人们试图检测的瞬变磁场、地震
信号、生物医学信号处理中脑电图的唤醒电势信号等。&’()*
变换作为重要的时频分析工具用于瞬变信号的表示，已有不少
的文献报道 +%-.,，/*0123’421* 等人在这一方面的研究 +%，!,最具代表
性，有些文献+%，.，#，5,还证明了瞬变信号的 &’()* 表示在含噪
声瞬变信号的检测和核磁共振信号的增强与减噪等应用方面
十分有效。
然而，/*0123’421* 等人所提出的 &’()* 表示方法针对的是
连续瞬变信号，使用的是复值连续 &’()* 变换，复值连续 &’()*
变换方法采用的综合窗函数对于除单边指数等少数函数外的
大多数函数，无法求出对应的双正交函数（即分析窗）的解析式
+6,，这也是 /*0123’421* 等人在瞬变信号的 &’()* 表示方法中仅
采用单边指数函数作为综合窗函数的原因之一，因此，他们的
方法仅适合于单边指数函数型的瞬变信号 &’()* 表示方法。其
次，复值连续 &’()* 变换也不利于快速的数值计算。为了克服
上述缺陷，该文将采用笔者先前提出的快速实值离散 &’()* 变
换+7，8,来表示瞬变信号。
! 瞬变信号的 &’()*表示———实值离散 &’()*变换+7，8,
设在观测期内接收到一包含瞬变信号的非平稳信号序列，
将其拓展成周期为 ! 的实序列 "（#），则 "（$）的实值离散 &’()*
展开定义为：
"（$）%
&’%
( % "
!
)’%
* % "
!+(，* ,"(，*（$） （%）
而 "（$）的实值离散 &’()* 变换（9:&;）定义为：
+(，* %
-’%
$ % "
!"（$）!"(，*（$） （!）
这里 +(，*称为 "（$）的 9:&; 系数或称为实值离散 &’()*
表示。上两式中
,"(，*（$）%,"（$’()#）<’=（
!"*$
)
） （.）
!"(，*（$）%!"（$’()#）<’=（
!"*$
)
） （#）
其中 <’=（"）><)=（"）?=04（"）被称为 @’*A31B 函数 +C，%",。设 -%)#
&%)&$，在 &’()* 变换域中，& 和 ) 分别为时间和频率的抽样
点数，而&$和)#分别为频率和时间的抽样间隔，稳定的重建条件
是)#&$!-（或 &)"-）。临界抽样出现在)#&$%)&%-（+(，*的个数
等于 "（$）的样点数）时刻，在欠抽样条件（&).-）下会丢失信
基于实值离散 !"#$%变换的瞬变信号表示
陶 亮 % 顾涓涓 !
%（安徽大学电子工程与信息科学系，合肥 !."".C）
!（合肥联合大学计算机信息工程系，合肥 !.""!!）
摘 要 实值离散 &’()* 变换（9:&;）是先前提出的用于对非平稳信号进行联合时频分析的一种快速变换方法。基于
9:&;，该文提出了一种快速的瞬变信号 &’()* 表示算法，该算法能够有效地在联合时频域中区分多个具有不同频率和
不同到达时间的被白噪声污染的瞬变信号。文章结尾还给出了一些实验来验证算法的有效性。
关键词 实值离散 &’()* 变换 瞬变信号 联合时频分析
文章编号 %""!D8..%D（!""#）"%D"".5D"# 文献标识码 E 中图分类号 ;FC%%$7!
!"#$% &’(%’)’*+"+,$* -$% .%"*),’*+ /,0*"1) 2," &’"132"14’5
6,)7%’+’ !"#$% .%"*)-$%8)
."$ 9,"*0: !4 ;4"*<4"*=
%（:1GA$ )H I31
#)+%"7+：E H’=A ’3J)*0ANL H)* AN1 &’()* *1G*1=14A’A0)4 H)* A*’4=014A =0J4’3= 0= G*1=14A12，Q0’ AN1 H’=A *1’3DQ’3O12 &’()*
A*’4=H)*L= G*)G)=12 04 )O* G*1Q0)O= G’G1*= H)* S)04A A0L1 DH*1TO14
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
。
.5
!""#$% 计算机工程与应用
息。注意!!（"）和!!（"）分别是综合窗 !（"）、分析窗（（"）的周期延
伸，即
!!（"）#
$
"!（"%$&）#!!（"%&） （&）
!!（"）#
$
"!（"%$&）#!!（"%&） （’）
()*+, 变换系数 ’(，)此刻也是实的，并且是以 ( 和 ) 为变
量的周期函数，
’(%$*，)%+,#’(，) $，+-"，.%，.!，./，$$$ （0）
!!（"）与!!（"）的双正交性条件等价于下式（证明参见文 102
中附录）：
&-%
" - "
"!!（"%(,）3)4（ !")"
,#
）!!（"）# &,* #(#)
（5）
"!(!*$6%，"!)!,#6%
这里 #"表示 7,+893:9, ;9<=)。（5）也可以写成下列矩阵的
形式，
.·!#/ （>）
式中 /-?& 0（*,），"，"，$$$，"@1 是一长度为*$,#的矢量，!-?!!
（"），!!（%），$$$，!!（&A%）@1-?!（"），!（%），$$$，!（&A%）@1，. 是一（*$,#）
2& 的实矩阵，结构为
.（(,#%)，"）-!!（"%(,）3)4（ !")"
,#
） （%"）
此时 !变成了由（>）式描述的线性方程组的解。在临界抽
样条件下，即 *#*$和 ,-,#（或 &-*$,#），若 . 是非奇异的，! 具
有唯一解。在过抽样条件下，即*$,#3&，（>）中 !的解为多解。类
似于复值离散 ()*+, 变换 1%%2，这里选最小范数（BC8CBDB 8+,B）
条件下，
BC8
!：.·!#/
&A%
" - "
" !!（"）
!
（%%）
的解 !"作为（>）的解，即
!"-.1（..1）A%/ （%!）
例如，设 &-!"#5，综合窗为一单边指数衰减函数：
!（"）-"$"!9EF A!$&（"A%"!/$&）%!5% &4（"A%"!/$&）
（图 %），4（"）为单位阶跃序列，取 *#%’、,-!"#5，利用（%!）
式可求出对应的分析窗如图 !所示。将综合窗改为 ()D44函数：
!（"）-"$""&9EF A!$& （"A%"!/$&）%!5’ (
!% &
（图 /），其它参数不变，对应的分析窗如图 # 所示。
图 % 单边指数衰减综合窗 !（"），&-!&’
图 ! 分析窗 !（"），&-!"#5，*-%!5，,-!"#5（过抽样）
图 / ()D44 综合窗 !（"），&-!&’
图 # 分析窗 !（:），&-!"#5，*-%!5，,-!"#5（过抽样）
一旦求出了 !，就可利用快速的离散 G),=<9H变换（IGJ）1>，%"2
计算（!）式中的 ’(，)：
’(，)-
&A%
" - "
"5（"）!!（"-(,#）3)4（ !")", ）
-
,A%
+ - "
"
*$A%
C - "
"6(（$,%+) *）3)4（ !")+, ） （%/）
式中 6(（"）-5（"）!!（"-(,#），"#$,%+。很显然上式可利用 ,
点 IGJ 进行计算（IGJ 是一种类似于离散傅里叶变换（IKJ）
的实值变换，有快速算法，并且比快速傅里叶变换（KKJ）简单、
更快 1>，%"2），’(，)的计算复杂性为 *2（, 点 %AI IGJ）L*2& 次实
数相乘L（*$A%）2*2, 实数加，而在文献1%%2中复值离散 ()*+,
变换系数的计算复杂性为*$2*2（, 点 %AI IKJ）L*2& 次实数
相乘%（*$A%）2*2, 实数加，显然比实值离散 ()*+, 变换系数的
计算要复杂得多。
瞬变信号的 ()*+, 表示 ’(，)具有高度的局域性，因此，在
/’
计算机工程与应用 !""#$%
时频域中对 !"，#进行处理，可较容易地去除或削弱噪声的能
量，利用处理后的 !"，#对瞬变信号进行重建，可有效地提高瞬
变信号的信噪比。
为了重建序列 $（%），可将（%）式重写为：
$（%）&
&’%
" & "
!’"（%(")#）
*’%
# & "
!!"，# ()*（ !!#%) ）
令 %+,)-%"，,&"，%，$$$，&$’%，%"&"，%，$$$，)’%，则上式变为
$（,)-%"）&
&’%
" & "
!’"（,)-%".")#）
*’%
# & "
!!"，# ()*（ !!#%") ） （%#）
这里，第二个求和项也是一 ) 点的 +,-。信号的重建计
算复杂性为 &/（) 点 %’+ +,-）.&/0 次实数相乘-（&’%）/0
次实数相加，而在文献/%%0中复值离散 1)234 变换的信号重建
计算复杂性为 !5/6/7 次复数相乘.（&/).%）/0 次复数相加，
同样比实值离散 1)234 变换的信号重建要复杂得多。
另外，根据文献/%，!0中 1)234 谱图的定义以及 8+1- 系数
与复值离散 1)234 变换系数之间的关系 /9，:0，1)234 谱图值可由
信号的 8+1- 系数 !"，#直接求得：
1"，# +
（!"，# -!"，&.#）
!% &
!
.
（!"，# -!"，).#）
!% &
!
（%;）
"+"，%，!，$$$，&’%；#&"，%，!，$$$，) < !’%
1)234 谱图实际上反映了信号在联合时频域中能量的
分布。
= 瞬变信号的 1)234 表示模拟实验
设接收到的连续时间信号具有下列形式：
$（2）+3（2）-#4（2）
+
#
5 + %
!65 >?@A’"（2.2"5）B(3*A!!75（2.2"5）-#5 B8（2.2"5）-#4（2）（%C）
其中 3（2）包含了 # 个单边指数振荡衰减的瞬变信号，8（2）
为单位阶跃信号，"&!$;，65、2"5、75、#5分别为第 5 个瞬变信号的
峰值、峰值到达时间、振荡的频率和初相位，#4（2）为混入的零
均值、方差 $!&"$"# 的白噪声，设 6&（"$D，"$:，%$%，%$!），2"&（;，
;，:$%!;，:$%!;）秒（*>(），7&（!"，=%$!;，!"，=%$!;）,E，#&（! < #，
（! < C，! < ;，’! < #），连续时间信号抽样频率为 %!:,E，总时间长
度为 %C 秒，因此，抽样离散后信号序列的长度 *&!"#:。信噪比
定义为观察期间（%C 秒）瞬变信号的能量与噪声能量之比，即
F68&!"G3H（II399 : 99#4II）&’%$=#!;J2。采用图 ! 所示的与单边指数
振荡衰减函数相对应分析窗，可求出 8+1- 系数及其 1)234 谱
图，如图 ;（)）所示。不难看出，其中的 # 个瞬变信号在时频空
间中清晰可辨。而在 $（2）的时域波形中 # 个瞬变信号很难分辨
（图 ;（2））。
在上述实验中，将接收到的连续时间信号中瞬变信号改为
余弦调制的 1)K** 函数（图 C（2））：
$（2）+3（2）-#4（2）
+
#
5 + %
!65 >?@A’"（2.2"5）! B(3*A!!75（2.2"5）-#5 B-#4（2） （%9）
混入的零均值白噪声 #4（2）方差改为 $!&"$%C，其它参数和
变量不变，此时 F68&’!$%:==J2，采用与 1)K** 函数相对应的
分析窗（图 # 所示），可求出 8+1- 系数及其 1)234 谱图，如图
C（)）所示。不难看出，其中的 # 个瞬变信号在时频空间中同样
清晰可辨。而在 $（2）的时域波形中 # 个瞬变信号仍然很难分辨
（图 C（2））。
=9
!""#$% 计算机工程与应用
（上接 !& 页）
为了满足以上需求，在系统脆弱性应对模型中引入脆弱性
管理服务作为事件通道，提供 ’()* + ’(,, +混合模式的事件通讯，
作为安全事件的提供者和消费者之间进行信息交互的桥梁：
图 - 系统脆弱性管理服务
（%）创建安全事件通道，一个通道代表某类安全信息或者
被监控的安全事件；
（!）接收事件提供者以 ’()* 模式提交的信息或信息描述，
进行整理分类，将其归入不同的通道，或者
（-）依照事件提供者提交的信息描述，以 ’(,, 模式向其按
时索取信息；
（#）向事件消费者发布信息描述；
（&）根据事件消费者提交的信息预定，将各类最新信息以
’()* 模式推送给不同的事件消费者；
（.）响应事件消费者的随机请求，以 ’(,, 模式为其提供某
类信息。
安全事件的提供者可以直接将自己的信息提交给脆弱性
管理服务，也可以只提交信息描述，由脆弱性管理服务按照提
交的信息描述来索取具体信息。事件消费者，即脆弱性响应代
理可以用预定的方式提交自己所关心的安全事件描述，脆弱性
管理服务根据描述将与最新的脆弱性解决
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
相关的信息随
时推送给事件消费者；事件消费者也可以随时查询脆弱性管理
服务来获取所关心的安全信息。
# 小结
在漏洞库的基础上，笔者构造了一种主动的系统脆弱性应
对模型，用于集成系统漏洞的解决方案与应对措施，实现这些
解决方案与应对措施在可信的网络节点间的主动发布和自动
推送，使系统能够在安全隐患出现和被利用之前有机会将可能
造成危害的漏洞自动修补，做到防患于未然，使得整个网络环
境处于统一的、动态的安全状态，以缓解因网络攻击而可能导
致的危害，提高网络系统自身的安全以及应急响应能力。
（收稿日期：!""- 年 %" 月）
参考文献
%$/*0 1234 56/676)0 6/ /*0 89: ;<:=0 >?@<:A6/9B）
10?/0:C2D$89: ;<:=0 >?@<:A6/9B）10?/0:，%EE.
!$F0(A6??$/*0 56/676)0 A69?/69?05 7G 29H0 F0(A6?$%EE&
-$/*0 56/676)0 6/ /*0 1?= %EEP），Q6G)/6=H
R67)（Q6G)/6=H R67)，>?=，%EE.）
&$/*0 M(,?0:679,9/G 56/676)0 6/ >?/0:?0/ O0=(:9/G OG)/0A)（>OO）$>?/0:?0/
O0=(:9/G O0:M9=0)，%EEL
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%EEL 0/ 6,
P$29=:<)<@/，’6/=* 26?6J0A0?/ O0:M9=0 Z@@0:9?J)$*//I：+ + \\\$A9=:<)<@/$
=>Z’ OI0=9@9=6/9333 4:6?) 8OO’，%ELE；-P（!）：%.E‘%L"
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[67<: 4:6?)@<:AC_D$>333 4:6?) Y9?：’:<=0059?J) <@ !""" >333 >?/0:?6N
/9333 O9J?6, ’:?@9?9/0 O0d(0?=0)C1D$>?：’:<=0059?J) <@ /*0 !""" >333 >?/0:?6/9/) 8II,9=6/9333 4:6?) O’，%EE-；
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浙公网安备 33021202002483