几种常见的概率分布律

几种常见的概率分布律 第三章 几种常见的概率分布律概率计算比较复杂，生物统计中所用的概率计算主要利用变数的分布进行。 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 结果只有两种情况的n次实验中 ?3.1 二项分布 发生某种结果为x次的概率分布3.1.1 二项分布的概率 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数 在生物学、医学领域，二项分布可以描述很多现象，是一种重要的理论分布，在分类资料的统计推断中有非常广泛的应用 。 应用基本情况:在一随机试验中，每次都有两种互不相容的可能结果，如有效(事件A )和无效(事件 A )等。独立地将试验重复n次，求在n次试验中，一种结果出现x次的概率, 应用条件:每一种结果在每次试验中都有恒定的概率，试验之间是独立的。二项分布binomial distribution 二项分布是指在μp的二项总体中，以样本容量n进行抽样，样本总和数 k 0?k?n的概率分布。 nk P k C p q k n k 某实验中小白鼠染毒后死亡概率P，则生存概率为1-P 。 对二只小白鼠(甲乙)进行实验的结果为:甲乙均死(P2)、甲死乙生(P1-P)、乙死甲生(1-PP)或甲乙均生( 1-P2)，概率相加得 P2 P1-P 1-PP 1-P2 P 1-P2 依此类推，对n只小白鼠进行实验，所有可能结果的概率相加得 n C Pn Cn P1-Pn-1 ... Cnx 为样本含量，即事件发生总数，x为某Px1-Pn-x ... Cn 1-Px P 1-Pn 0 n 1 其中n 事件出现次数， 因此，二项分布是说明结果只有两种情况的n次实验中发生某种结果为x次的概率分布。其概率密度为: Px Cnx Px1-Pn-x x 01...n。 例3.1 从雌雄各半的100只动物中做一抽样试验，每 次抽取一只，记录性别并放回，再做下一次抽取。 这时，不论前一次抽取的动物性别如何，下一次抽 取到雄性或雌性的概率仍为50/100。前一次试验结 果并不影响到下一次试验中各种事件发生的概率。 因此，这前后两次试验是独立的(放回式抽样)。 如若不然，第一次抽到的是雄性，那么第二次抽到 雄性的概率是49/99，而抽到雌性的概率是50/99。第 一次试验的结果影响到第二次试验中各事件发生的 概率。两次试验非独立(非放回式抽样)。 放回式抽样，适合于二项分布。 非放回式抽样，适合于超几何分布。用放回式抽样共进行10试验，问其中包括3只雄性动物的概率是多少,包括3只及3只以下的概率是多少, 显然，在10次试验中，抽到雄性动物的只数是一随机变 量，记为X(其可能值为0 1… 10)。现在要求X3和X?3 的概率。 先规定一组符号: n —— 试验次数(或样本含量) x —— 在次试验中事件出现的次数 —— 事件 A 发生的概率(每次试验是恒定的) 1 —— 事件 A 发生的概率 p x —— X 的概率函数—— P X x F x P X ? x ? p xi xi ? x上例中，共做10次抽样， n10，在10次抽样中，雄性出现3次，x3，每次 抽到雄性的概率是0.50。 p 3为10次抽样中抽中3只雄性动物的概率，F 3为10次抽样中，抽中3只和3只以下雄性动物的概率。根据以上给出 的 n ， 和 求出p 3和F 3。 x 假设前三次抽中的都是雄性(m)，由于抽样间是独立的，每次抽到雄性动物的概率均为，抽到雌性(f)的概率均为。故 p mmmfffffff 1 3 7显然，这不是抽中3只雄性动物的唯一方式，从10次抽样中抽到3只雄性动物的组合数有 C 3 。因此 10 p 3 C 1 3 3 7 10对于任意n和x有通式 p x C 1 n x x n x x 0 1 2 n上式正是二项式展开式的第x1项，因此产生理论分布中“二项分布”这一名称。故该式称为二项分布的概率函数。 二项展开式， 1 n C 1 C 1 C 1 C 1 0 0 n 1 1 n1 x x nx n n 0 n n n n p 0 p1 p 2 p x p n n ? p x x0 因为 1 1 ，所以 n ? p x 1 n 1 x 0 根据二项分布的概率函数式，可以求出雄性动物出现各种只 数的概率。如 x 0 1 2 3 只的概率分别为: 0 10 10 1 1 p 0 10 2 0.0009766 010 0 2 2 1 9 10 1 1 p 1 10 210 0.0097656 110 1 2 2 2 8 1 1 45 210 0.0439453 10 p 2 210 2 2 2 3 7 1 1 120 2 0.1171876 10 p 3 10 310 3 2 2 抽到3只和3只以下雄性动物的概率 F 3 p 0 p 1 p 2 p 3 210 10 210 45 210 120 210 176 210 0.1718751 3.1.2 服从二项分布的随机变量的特征数 平均数 μ n 。 当以比率 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示时， μ 。 方差 σ 2 n 1 。当以比率表示时，σ 2 1 。 n 偏斜度 1 2 γ1 n 1 二项分布的图形特征如下: 1 二项分布图形的形状取决于P 和 n 的大小; 2 当P 0.5时，无论 n 的大小， 峭度 1 6 均为对称分布; γ2 n 1 n 3 当P ? 0.5，n 较小时为偏态分 布，n 较大时逼近正态分布。 偏斜度和峭度与和的大小有关。当 相同时，随n增加，γ 1 和 γ 2逐渐接近于0。或当n相同时， 越接近于0.5，γ 1 和 γ 2 越接近于0。正态分布的 γ 1 0， γ 2 0。所以，随样本数增加，二项分布渐接近于正态分布，特别是越接近于0.5附近时，这种接近来得更快。 例: 遗传学中，若两个纯合亲本杂交(RR×rr)，F1代自 交，其F2的基因型分离比(1RR : 2Rr : 1rr)是一个二项分布 问题。在F2代中R基因出现的概率 1/ 2 ，r 基因出现的概 率 1 1/ 2 ，对于一对因子n 2。展开二项式， 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 4 4 4 即 1 2 1 RR : Rr : rr 4 4 4 如果考虑两对独立因子，如黄圆豌豆YYRR和绿皱豌豆yyrr杂交，F1为 YyRr，F2的因子是自由组合的。其中Y和R在F2代中出现的概率均为 ，y 和r基因出现的概率均为 1 ， 1 1 ，对于两对因子n4。展 开二项式， 2 1 4 4 4 3 1 6 2 1 4 1 1 2 3 4 由于 代表显性基因出现的概率，所以表示四个都是显形基因(YYRR) 4 的概率，其值为 4 1 1 。 2 16 3 1 表示有三个显性基因和一个隐性基因组合出现的概率。其中 显形基因有三个，隐性基因一个，该项的系数表示这样的组合共有四种。 它们是RRYy，RRyY，RrYY和rRYY。这四种组合的概率均为 1 1 1 。 而三显一隐这种情况总的概率为 4 。 3 3 1 16 2 2 16 2 1 2 等的情况与上述类似，不再一一叙述。例: 用棕色正常毛(bbRR)家兔与黑色短毛兔(BBrr) 杂交。杂种F1为黑 色正常毛长的家兔(BrRr)，F1雌兔与F1雄兔近亲交配，F2期望产生9/16 黑色正常毛，3/16黑色短毛，3/16棕色正常毛，1/16棕色短毛家兔。即 9 3 3 1 B _ R _ : B _ rr : bbR _ : bbrr 16 16 16 16 问需多少F2代n事件总和才能以99的概率累积得到一棕色短毛兔,可以从0,x只。 1 求 n解 在含有n只家兔的后代群体中，bbrr家兔出现x只的概率可由 出，其中 为非bbrr家兔的概率为15/16， 1 为bbrr家兔的概率为 1/16。在 1 展开式中，所有含 1 的项都相应地含一个或多个 n bbrr的家兔，只有 n 项不含bbrr的家兔。因此，n值可以由 n 1-0.99求 出。由 n 15 n 0.01 得 n lg15 lg16 lg 0.01 0.02803n 2.0000 16 所以 n71.4另外，以0.1的风险至少得到一个黑色长毛兔 (B_R_)所需F2代的数目。 n可以由 7 求出。因为F2代的分离比是7/16非B_R_对9/16 B_R_。 0.001 16二项分布的应用主要用于符合二项分布分类资料的区间估计和假设检验。 当总体率P接近0.5，阳性数x较小时，可直接计算二项分布的累计概率进行单侧的假设检验。 当P 0.5或n较大，nP及n1-P均大于等于5时，可用正态近似法进行样本率与总体率，两个样本率比较的u检验。 若p接近0.5，n很大，二项 概率分布趋于正态分布。 描述一定空间长度、面积和体积或 ?3.2 泊松分布 时间间隔内点子散布状况的理想化模 型. 是二项分布n很大而P很小时的特 殊形式，是二分类资料在n次实验中 3.2.1 泊松分布的概率函数 发生x次某种结果的概率分布。在二项分布中，当某事件出现的概率特别小( ? 0 )，而样本含量又很大( n ? ?) 且 n μ 时，二项分布就变成泊松分布。因此，其概率函数可由二项分布概率函数推导出来: n n n 1 n x 1 xp x 1 1 x n x n x x n x x系数分子分母同乘以 n x ，则 : x 1 n 1 x n x 1 p x 1 1 1 n n x当时 n ? ? ，系数极限为1，且 n μ ， 1 n x e lim1 z z μ μ x?? 1 x x 1 p x 1 n x x 1 lim1 e x ?0 μ x μ x p x e μ μ x 0 1 2 x x e 3.2.2 服从泊松分布的随机变量的特征数平均数 :泊松分布概率函数中的 μ 就是泊松分布的平均数 μ 。方差 :泊松分布的一个特点是在概率函数内的 μ ，它不但是平均数，而且是它的方差。 1偏斜度 : γ1 Poisson分布的性质: μ 1 Poisson分布均数与方差相等; 2 Poisson分布均数较小时呈偏态分布，?20 时近似正态分布; 1峭度 : γ2 3 n很大，P很小，nP 为常数时二项分布趋 μ 近于Poisson分布; 4 n个独立的Poisson分布相加仍符合Poisson分布 当 μ 很大时，γ 1 和 γ 2 则接近于0，这时的泊松分布近似正态分布。泊松分布的应用主要用于符合泊松分类资料率的区间估计和假设检验。 当?20时，根据正态近似的原理，对总体均数进行95的区间估计。 通过直接计算Poisson分布的累计概率 u检验进行样本率与总体率，进行单侧假设检验。 在符合正态近似条件时，也可用 两个样本率比较的假设检验。 应用中应满足条件 两类结果要相互对立; n次试验相互独立; n应很大，P应很小。 泊松分布的应用实例 例3.5 某麦田内杂草的平均密度为1/10m2，现问在每100m2 麦田中有0， 1，2，…株杂草的概率是多少, 100 解 先求出每100 m2麦田中的平均杂草数 μ 10 (株) 10 由此，每100 m 2麦田 x 0 1 2 即可得出相应的中有x株杂草的概率， μx 10 x p x μ x e x e10 代入 概率 p 0 p 1 p 2 将结果列 入下表中。杂草数(x) ?5 6 7 8 9 10 … ?15 概率p x 0.067 0.063 0.090 0.113 0.125 0.1137 … 0.084 泊松分布是作为二项分布的近似引入的，目前它的意义已远远超出了 这一点，成为概率论中最重要的几个分布之一。许多随机现象服从泊松分 布，如电话交换台接到的呼叫数;汽车站的乘客人数;射线落到某区域中 的粒子数;细胞计数中某区域里的细胞数……等等。可以证明，若随机现 象具有以下的三个性质，则它服从泊松分布(以电话呼叫为例): 1 平稳性: 在(t0 t0Δt)中来到的呼叫平均数只与时间间隔Δt的长短 有关，而与起点t0无关。它说明现象的统计规律不随时间变化。 2 独立增量性(无后效性):在(t0 t0Δt)中到来k个呼叫的可能与t0以 前的事件独立，即不受它们的影响。它说明在互不相交的时间间隔内过程 的进行是相互独立的。 3 普通性:在充分小的时间间隔内，最多来一个呼叫。即:令Pk(Δt) ? 为长度为Δt的时间间隔中来k个呼叫的概率，则: ? P Δt k lim k 2 0 Δt ? 0 Δt 它表明在同一瞬间来两个或更多的呼叫是不可能的。显然具有这样特性的 现象是相当普遍的。这一点从一个侧面说明了泊松分布的重要性。 生物学中能够符合上述条件的事例是相当多的，如水中细菌数;从远处飘 来的花粉、孢子数;荒地上某种植物初生幼苗数等等。关键是这些细菌， 花粉，种子等互相间既不能有吸引力，也不能有排斥力，这样它们的分布 就会服从泊松分布。反之，若细菌呈团块状出现，或植物长大后由于自疏 现象而互相间保持一定距离，则它们的分布就不会是泊松分布了。 ?3.3 其它几种离散型概率分布3.3.1 超几何分布从一个包含两种不同类型N件产品(其中有M件次品)的有限总体中，进行不放回式抽样，在n次抽样中，抽中某种类型(如次品数)个体数X显然是分布服从超几何分布的随机变量，概率函数为 CK CN xK x n p x n x 0 1 2 n CN 其中，N:总体中的个体数;K:两种类型中某一种.