正余弦定理练习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
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正余弦定理练习题答案
A.C.D(6(在?ABC中,已知a,8,B,60?,C,75?,则b等于
32
A(4 B(43C( D.
3
3(在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A,60?,a,,b,,则角B为
A(45?或135?B(135?C(45? D(以上答案都不对(在?ABC中,a?b?c,1?5?6,则sinA?sinB?sinC
等于
A(1?5?6B(6?5?1 C(6?1?5D(不确定 解析:选A.由正弦定理知sinA?sinB?sinC,a?b?c,1?5?6.(在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若A,105?,B,45?,b,2,则c,
11
A(1 B.C(4cos Ab
6(在?ABC中,若,则?ABC是
cos Ba
A(等腰三角形 B(等边三角形C(直角三角形 D(等腰三角形或直角三角形(已知?ABC中,AB,AC,1,?B,30?,则?ABC的面积为
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33333A. B.C.或3D.或4242
8(?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c,2,b6,B,120?,则a等于
A.6B(C.D.2
π
9(在?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a,1,c3,C,,则A,________.
3
43
10(在?ABC中,已知a,,b,4,A,30?,则sinB,________.
3
11(在?ABC中,已知?A,30?,?B
,120?,b,12,则a,c,________. 12(在?ABC中,a,2bcosC,则?ABC的形状为________(
a,b,c
13(在?ABC中,A,60?,a,,b,12,S?ABC,18,则,________,c,________.
sinA,sinB,sinCa,2b,c
14(已知?ABC中,?A??B??C,1?2?3,a,1,则,________.
sin A,2sin B,sin C
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1
15(在?ABC中,已知a,2,cosC,,S?ABC,43,则b,________.
3
16(在?ABC中,b,43,C,30?,c,2,则此三角形有________组解(
17(如图所示,货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角为140?的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110?,航行半小时后船到达C点,观测灯塔A的方位角是65?,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少,
CC1A
18(在?ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若a,,,,sin Bsin C,cos2A、
2242
B及b、c.
19(在?ABC中,A、B为锐角,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且cosA3
,sin B,.求A,B的值;若a,b,2,1,求a,b,c的值(10
20(?ABC中,ab,603,sin B,sin C,?ABC的面积为3,求边b的长(
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1
1(在?ABC中,如果BC,6,AB,4,cosB,,那么AC等于
3
A(B( C( D(6(在?ABC中,a,2,b,3,1,C,30?,则c等于
A.C.D(2(在?ABC中,a2,b2,c23bc,则?A等于
A(60? B(45?C(120? D(150?
22
4(在?ABC中,?A、?B、?C的对边分别为a、b、c,若tanB3ac,则?B的值为
πππ5ππ2πA. C.或 D.或636633
5(在?ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边,则acosB,bcosA等于
A(aB(bC(c D(以上均不对
6(如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为
A(锐角三角形 B(直角三角形 C(钝角三角形D(由增加的长度决定
????
7(已知锐角三角形ABC中,|AB|,4,|AC|,1,?ABC的面积为3,则AB?AC的值为
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A(2B(,C(4D(,8(在?ABC中,b3,c,3,B,30?,则a为
A. B(2C.3或23D(2
9(已知?ABC的三个内角满足2B,A,C,且AB,1,BC,4,则边BC上的中线AD的长为________( 10(?ABC中,sinA?sinB?sinC,?3,1)10,求最大角的度数(
11(已知a、b、c是?ABC的三边,S是?ABC的面积,若a,4,b,5,S,53,则边c的值为________( 12(在?ABC中,sin A?sin B?sin C,2?3?4,则cos A?cos B?cos
C,________.
1
13(在?ABC中,a,32,cos C,S?ABC,43,则b,________.
3
??
14(已知?ABC的三边长分别为AB,7,BC,5,AC,6,则AB?BC的值为________(
222a,b,c
15(已知?ABC的三边长分别是a、b、c,且面积S,C,________.
4
16(三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,
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则最小角的余弦值为________( 17(在?ABC中,BC,a,AC,b,a,b是方程x2,2x,2,0的两根,且2cos,1,求AB的长(
1
18(已知?ABC2,1,且sin A,sin B2sin C.求边AB的长;若?ABC的面积为sin C,
6
求角C的度数(
π
19(在?ABC中,BC,AC,3,sin C,2sin A.求AB的值;求sin,3ab,且2cos Asin B,sinC,确定?ABC的形状(
正弦定理
1(在?ABC中,?A,45?,?B,60?,a,2,则b等于
A.C.D(6
abasinB
解析:选A.应用正弦定理得:b,6.
sinAsinBsinA
2(在?ABC中,已知a,8,B,60?,C,75?,则b等于
32
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A(4 B(43C( D.
3
asinB
解析:选C.A,45?,由正弦定理得b,46.
sinA
3(在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A,60?,a,3,b,2,则角B为
A(45?或135?B(135?C(45? D(以上答案都不
对
abbsinA2
解析:选C.由正弦定理sinBa>b,?B sinAsinBa2
4(在?ABC中,a?b?c,1?5?6,则sinA?sinB?sinC等于
A(1?5?6B(6?5?1 C(6?1?5D(不确定
解析:选A.由正弦定理知sinA?sinB?sinC,a?b?c,1?5?6.(在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若A,105?,B,45?,b,2,则c,
11
A(1 B.C(4
bc2×sin0?
解析:选A.C,180?,105?,45?,30?,由c,1.
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sinBsinCsin45?
cos Ab
6(在?ABC中,若,则?ABC是
cos Ba
A(等腰三角形 B(等边三角形C(直角三角形 D(等腰三角形或直角三角形
bsin Bcos Asin B
解析:选D.?,,?,
asin Acos Bsin A
sinAcosA,sinBcosB,?sin2A,sin2B
π
即2A,2B或2A,2B,π,即A,B,或A,B,2
7(已知?ABC中,AB3,AC,1,?B,30?,则?ABC的面积为
33A.B.24333或3D.242
ABAC3
解析:选D.,求出sinC,,?AB,AC,
sinCsinB2
??C有两解,即?C,60?或120?,??A,90?或30?.
1
再由S?ABC,AB?ACsinA可求面积(
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2
8(?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c,2,b6,B,120?,则a等于
A. B(2D.2
62
解析:选D.由正弦定理得,
sin120?sinC
1
?sinC,2
又?C为锐角,则C,30?,?A,30?, ?ABC为等腰三角形,a,c,2.
π
9(在?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a,1,c3,C,,则A,________.
3
ac
,
sinAsinC
a?sinC1
所以sinA,,c2
ππ
又?a,c,?A,C,A,36
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π答案:6
410(在?ABC中,已知a,,b,4,A,30?,则sinB,________.
3ab
解析:由正弦定理得,
sinAsinB12bsinA3
?sinB,,a432
3
3
答案:
2
11(在?ABC中,已知?A,30?,?B,120?,b,12,则a,c,________.
解析:C,180?,120?,30?,30?,?a,c,
ab12×sin30?由,得,a,,3, sinAsinBsin120??a,c,83. 答案:83
12(在?ABC中,a,2bcosC,则?ABC的形状为________(
解析:由正弦定理,得a,2R?sinA,b,2R?sinB, 代入式子a,2bcosC,得RsinA,2?2R?sinB?cosC, 所以sinA,2sinB?cosC, 即sinB?cosC,cosB?sinC,
2sinB?cosC, 化简,整理,得sin,0. ?0?,B,180?,
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0?,C,180?, ?,180?,B,C,180?, ?B,C,0?,B,C. 答案:等腰三角形
a,b,c
13(在?ABC中,A,60?,a,3,b,12,S?ABC,183,则,________,c,________.
sinA,sinB,sinC
a,b,ca311
解析:由正弦定理得,12,又S?ABC,bcsinA,12×sin60?×c,3,
22sinA,sinB,sinCsinAsin60?
?c,6.
答案:16
a,2b,c
14(已知?ABC中,?A??B??C,1?2?3,a,1,则,________.
sin A,2sin B,sin C
解析:由?A??B??C,1?2?3得,?A,30?,?B,60?,?C,90?,
a1
?2R,,2,
sinAsin30?
又?a,2Rsin A,b,2Rsin B,c,2Rsin C,
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a,2b,c2Rsin A,2sinB,sin C?,2R,2. sin A,2sin B,sin Csin A,2sin B,sin C答案:2
1
15(在?ABC中,已知a,2,cosC,,S?ABC,43,则b,________.
3
221
解析:依题意,sinC,S?ABC,absinC,43,
32
解得b,23. 答案:23
16(在?ABC中,b,4,C,30?,c,2,则此三角形有________组解(
1
解析:?bsinC,,2且c,2,
2
?c 1
解:在?ABC中,BC,,20,
2
?ABC,140?,110?,30?, ?ACB,,65?,105?, 所以?A,180?,,45?, 由正弦定理得
BC?sin?ABCAC,
sinA
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20sin30?,2( sin45?
即货轮到达C点时,与灯塔A的距离是10km.
CC1A
18(在?ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,
若a,3,,,sin Bsin C,cos2A、
2242
B及b、c.
CC11
解:由sinC,
2242
π5π
又C?,所以CC,66A
由sin Bsin C,cos
21
sin Bsin C,cos],
2
即2sin Bsin C,1,cos,
即2sin Bsin C,cos,1,变形得 cos Bcos C,sin
Bsin C,1,
π5π
即cos,1,所以B,C,B,C,,
66
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2π
A,π,,3abc
由正弦定理,得
sin Asin Bsin C
12sin B
b,c,a2,2.
sin A3
2
2ππ
故A,,B,b,c,2.
36
19(在?ABC中,A、B为锐角,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且cosA3
10,sin B,.求A,B的值;若a,b,2,1,求a,b,c的值(10
一、选择题
1.在?ABC中,a,15,b,10,A,60?,则cosB,
22A(, B.33
C(,63D.6
2(在?ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2,b23bc,sinC,2B,则A,
A(30?
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C(120? B(60? D(150?
3(E,F是等腰直角?ABC斜边AB上的三等分点,则tan?ECF, 167
32B.3D.
4(?ABC中,a、b、c分别为?A、?B、?C的对边,如果a、b、c成等差数列,?B,30?,?ABC的面积为0.5,那么b为
A(1,3B(33,D(23
5.已知锐角A是?ABC的一个内角,a、b、c是三角形中各内角的对应边,若sin2A,1cos2A,,则
A(b,c,2a B(b,c C(b,c?2a D(b,c?2a
二、填空题
ba6. 在锐角?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,,6cosC,ab
tanCtanC则________( tanAtanB
三、解答题:
117(已知?ABC的内角A,B及其对边a,b满足a,b,ab,求tanAtanB
内角C.
8(在?ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA,sinB,sinC.
求A的大小;
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若sinB,sinC,1,试判断?ABC的形状(
9(如图,在?ABC中,已知B,45?,D是BC边上的一点,AD,10,AC,14,DC,6,求AB的长(
一、选择题
1.答案:D,依题意得0? 1,sinB,6D.abbsinA3,sinB,,cosB,sinAsinBa3
b2,c2,a2
2. 答案:A,由sinC,23sinB可得c,23b,由余弦定理得cosA,,2bc,3bc,c23,于是A,30?,故选A.bc2
123.答案:D,设AC,1,则AE,EF,FB,AB,,由余弦定理得CE,CF,33
CE2,CF2,EF245AE,AC,2AC?AEcos45?,,所以cos?ECF,,2CE?CF5sin?ECF所以tan?ECF,cos?ECF?21,??5?4
53.
11134. 答案:C,2b,a,c,ac,?ac,2,a2,c2,4b2,4,b2,a2,c2,2ac?b2,2222
4,233,3b,.3
115. 答案:C, 由sin2A,cos2A,得cos2A,,A是锐角,所以A,60?,于是B22
b,csinB,sinC,C,120?.所以,2a2sinA三、填空题
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a2,b2a2,b2,c2ba. :,6cosC得,, abab2ab
3即a2,b22,
cosAcosBtanCtanCsin2C??,,tanC?sinA,sinB,tanAtanBcosCsinAsinB
2c2
,4. a,b,c答案:4
117. 解:由a,b,a,b tanAtanB
sinA,sinB,cosA,cosB,
即sinA,cosA,cosB,sinB,sinB,CB,Ccos22B,C,1,b,c?2a.3
ππππ从而sinAcosAsincosBsin,sinBcos444
ππA?,sin?B?. 即sin??4??4?
又0 πππ故A,,,B,A,B,42
π所以C,.
8.解:由已知,根据正弦定理得2a2,b,c,即a2,b2,c2,bc. 由余弦定理得a2,b2,c2,2bccosA,
1故cosA,,,又A?,故A,120?.
由得sin2A,sin2B,sin2C,sinBsinC.
1又sinB,sinC,1,得sinB,sinC,.
因为0? 所以?ABC是等腰的钝角三角形(
AD2,DC2,AC2
9.解:在?ADC中,AD,10,AC,14,DC,6,由余弦
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定理得cos?ADC,2AD?DC100,36,1961,,,2×10×6
??ADC,120?,?ADB,60?.
在?ABD中,AD,10,B,45?,?ADB,60?,
ABAD由正弦定理得 sin?ADBsinB
10×
2
23256. AD?sin?ADB10sin60??AB,sinBsin45?
正弦定理
1(在?ABC中,?A,45?,?B,60?,a,2,则b等于
A.6B. D(6(在?ABC中,已知a,8,B,60?,C,75?,则b等于
32
A( B(3C(4
3(在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A,60?,a,3,b,42,则角B为
A(45?或135?B(135?C(45? D(以上答案都不
对(在?ABC中,a?b?c,1?5?6,则sinA?sinB?sinC
等于
A(1?5?6B(6?5?1 C(6?1?5D(不确定 解析:选A.由正弦定理知sinA?sinB?sinC,a?b?c,1?5?6.
5(在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,
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若A,105?,B,45?,b2,则c,
1
A(1 B.C(2
2cos Ab
6(在?ABC,则?ABC是
cos Ba
A(等腰三角形 B(等边三角形C(直角三角形 D(等腰三角形或直角三角形(已知?ABC中,AB,,AC,1,?B,30?,则?ABC的面积为
A.
33333
B. C.24242
1
D.
8(?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c,2,b,6,B,120?,则a等于
A.6B(D.2
π
9(在?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a,1,c,,C,A,________.
310(在?ABC中,已知a3
,b,4,A,30?,则sinB,________.
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11(在?ABC中,已知?A,30?,?B,120?,b,12,则a,c,________. 12(在?ABC中,a,2bcosC,则?ABC的形状为________(
a,b,c13(在?ABC中,A,60?,a,63,b,12,S?ABC,183,则________,c,________.
sinA,sinB,sinCa,2b,c
14(已知?ABC中,?A??B??C,1?2?3,a,1,________.
sin A,2sin B,sin C1
15(在?ABC中,已知a,2,cosC,S?ABC,43,则b,________.
316(在?ABC中,b,43,C,30?,c,2,则此三角形有________组解(
17(如图所示,货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角为140?的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110?,航行半小时后船到达C点,观测灯塔A的方位角是65?,则货轮到达C
点时,与灯塔A的距离是多少,
CC1A
18(在?ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若a,3,sincos,sin Bsin C,cos2A、B
2242及b、c.
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3
19(在?ABC中,A、B为锐角,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且cosA,,sin
5B,10
10
.求A,B的值;若a,b2,1,求a,b,c的值(
20(?ABC中,ab,603,sin B,sin C,?ABC的面积为3,求边b的长(
余弦定理
1(在?ABC中,如果BC,6,AB,4,cosB1
3
AC等于
A(B( C( D(46(在?ABC中,a,2,b,1,C,30?,则c等于
A.B.D(2(在?ABC中,a2,b2,c2,3bc,则?A等于
A(60? B(45?C(120? D(150?
4(在?ABC中,?A、?B、?C的对边分别为a、b、c,若tanB3ac,则?B的值为
A(aB(bC(c D(以上均不对
6(如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为
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A(锐角三角形 B(直角三角形 C(钝角三角形D(由增加的长度决定(已知锐角三角形ABC中,|AB?|,4,|AC?|,1,?ABC3,则AB??AC?的值为
)
A(2B(,C(4D(,8(在?ABC中,b,3,c,3,B,30?,则a为
A. B(C.3或23D(2
9(已知?ABC的三个内角满足2B,A,C,且AB,1,BC,4,则边BC上的中线AD的长为________( 10(?ABC中,sinA?sinB?sinC,??10,求最大角的度数(
11(已知a、b、c是?ABC的三边,S是?ABC的面积,若a,4,b,5,S,53,则边c的值为________( 12(在?ABC中,sin A?sin B?sin C,2?3?4,则cos A?cos B?cos
C,________. 1
13(在?ABC中,a,32,cos CS?ABC,3,则b,________.
3
??
14(已知?ABC的三边长分别为AB,7,BC,5,AC,6,则AB?BC的值为________( a2,b2,c215(已知?ABC的三边长分别是a、b、c,且面积S,,则角C,________.
4
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16(三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________( 17(在?ABC中,BC,a,AC,b,a,b是方程x2,23x,2,0的两根,且2cos,1,求AB的长(
1
18(已知?ABC2,1,且sin A,sin B,2sin C.求边AB的长;若?ABC的面积为sin C,求角
6C的度数(
π
19(在?ABC中,BC5,AC,3,sin C,2sin A.求AB的值;求sin的值(
4
20(在?ABC中,已知,3ab,且2cos Asin B,sinC,确定?ABC的形状(
正弦定理
ab
1(解析:选A.应用正弦定理得:,,求
sinAsinBasinB得b,6.
sinA
asinB
2(解析:选C.A,45?,由正弦定理得b,sinA46.
ab
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3(解析:选C.由正弦定理得:sinB,
sinAsinB
bsinAa2
2
,又?a>b,?B 5(解析:选A.C,180?,105?,45?,30?,由
bsinB,c2×sin0?sinCc,sin45?
,1.(解析:选D.?basin Bsin Acos Acos B,sin Bsin A,
sinAcosA,sinBcosB,?sin2A,sin2B
即2A,2B或2A,2B,π,即A,B,或A,B,π
27(解析:选D.ABsinC,ACsinB,求出sinC2,?AB
,AC,
??C有两解,即?C,60?或120?,??A,90?或30?.
再由S1
?ABC,2AB?ACsinA可求面积(
8解析:选D.由正弦定理得6sin120?2sinC
?sinC,1
2
.
又?C为锐角,则C,30?,?A,30?, ?ABC为等
24 / 30
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腰三角形,a,c9.解析:由正弦定理得:asinAc
sinC, 所以sinA,a?sinC1c,2
又?a,c,?A,C,ππ
3,?A,6.
答案:π
6
10(解析:由正弦定理得ab
sinA,sinB
?sinB,bsinA123
a3,2
3答案:3
2
11(解析:C,180?,120?,30?,30?,?a,c,
由
asinA,bsinBa12×sin30?
sin120?
,43, ?a,c,83.
答案:3
12(解析:由正弦定理,得a,2R?sinA,b,2R?sinB,
代入式子a,2bcosC,得RsinA,2?2R?sinB?cosC, 所以sinA,2sinB?cosC,
即sinB?cosC,cosB?sinC,2sinB?cosC, 化简,
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整理,得sin,0. ?0?,B,180?,0?,C,180?, ?,180?,B,C,180?, ?B,C,0?,B,C. 答案:等腰三角形
13(解析:由正弦定理得
a,b,ca
sinA,sinB,sinC,sinA
,
3sin60?,12,又S11
?ABC,2bcsinA,?2×12×sin60?×c,183,
?c,6. 答案:16
14(解析:由?A??B??C,1?2?3得,?A,30?,
?B,60?,?C,90?,
?2Ra1
sinA,sin30?
,2,
又?a,2Rsin A,b,2Rsin B,c,2Rsin C, ?
a,2b,csin A,2sin B,sin C,2RA,2sinB,sin C
sin A,2sin B,sin C
,
2R,2.
答案:2
15(解析:依题意,sinC23,S1
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?ABC2
absinC,4,
解得b,3. 答案:3
16(解析:?bsinC,41
2
,3且c,2,
?c 17(解:在?ABC中,BC,1
2
,20,
?ABC,140?,110?,30?, ?ACB,,65?,105?,
所以?A,180?,,45?, 由正弦定理得 ACBC?sin?ABCsinA
,20sin30?sin45?,10(
即货轮到达C点时,与灯塔A的距离是10km.
18(解:由sinC2cosC214,得sinC,1
2
,
又C?,所以C,π5π
6C,6由sin Bsin C,cos2A
2,得
sin Bsin C,1
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2[1,cos],
即2sin Bsin C,1,cos, 即2sin Bsin C,cos,1,
变形得 cos Bcos C,sin Bsin C,1,
即cos,1,所以B,C,π6,B,C,5π
6舍去),A,π,,2π
3
由正弦定理abc
sin Asin Bsin C,得
1b,c,asin B
sin A,23
,2.
2故A,2π3,B,π
6,b,c,2.
19(解:?A、B为锐角,sin B,
10
10
?cos B,1,sinB,310
10
.
又cosA,1,2sin2A,35,?sinA,5
5cos A,
25
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5
?cos,cos Acos B,sin Asin B ,
510510,5102
510,2
. 又0,A,B,π,?A,B,π
4
由知,C,3π4,?sin C,2
2.
由正弦定理:absin A,sin B,c
sin C
5a10b,2c,即a2b,c,5b. ?a,b2,1,?2b,b2,1,?b,1. ?a,2,c,5.
20(解:由S,12sin C得,153,1
2
×3×sin C,
?sin C,1
2,??C,30?或150?.
又sin B,sin C,故?B,?C. 当?C,30?时,?B,30?,?A,120?. 又?ab,3asin Absin B,?b,215.
当?C,150?时,?B,150?( 故边b的长为215.
余弦定理
1(解析:选A.由余弦定理,得 ACAB,BC,
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2AB?BCcosB ,
42,62,2×4×3
6.
2(解析:选B.由余弦定理,得c2,a2,b2,2abcosC ,22,3,1)2,2×2×cos30? ,2, ?c,2.
3(解析:选D.cos?A,b2,c2,a22bc,,3bc2bc3
2
?0?,?A,180?,??A,150?.
4(解析:选D.由tanBac,联想到余弦定理,代入得
cosB,a2,c2,b23132ac2tanB,2cosBsinB显然?B?π3π2π
2sinB,2.??B33.
(解析:选C.aa2,c2,b2b2,c2,a22c2
52ac,b2
bc2cc.
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