11正规矩阵的性质及应用

11正规矩阵的性质及应用 黄冈师范学院本科学位论文 学号:201021120529 论 文 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目: 正规矩阵的性质及应用 作 者: 何 雷 雷 院 系: 数学与计算机科学学院 专 业: 数学与应用数学 班 级: 200805班 指 导 教 师: 董 金 辉 2012 年 5 月 10日 NO.:201021120529 2008200X2XX40XXX [第 1 页 共 21 页] 200X2XX40XXX 正规矩阵的性质及应用 Huanggang Normal University Thesis Graduates Topic :The Properties and Applications of Normal Matrix Author : Leilei He College : College of Mathematics and Computer Science Specialty : Mathematics and Applied Mathematics Class : 200805 Tutor : Jinhui Dong May 10th, 2012 郑重声明 [第 2 页 共 21 页] 黄冈师范学院本科学位论文 本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 董 金 辉 的指导下独立研究并完成的。除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 特此郑重声明～ 指导老师(签名): 论文作者(签名): 2012年5月10日 摘 要 [第 3 页 共 21 页] 正规矩阵的性质及应用 本文探讨了正规矩阵的相关性质和判定定理，并从“正规矩阵的逆特征值问 题”和“关于正规矩阵的一些奇异值不等式”两个方面作了具体讨论. 关键词:正规矩阵;逆特征值;奇异值不等式 Abstract In this paper,the related properties and the decision theorems of normal matrices are discussed, in addition,two aspects are probed into specifically which include: “the eigenvalue problem of normal matrices”and“on some inequalities about singular values of normal matrix”. Key words: Normal matrices; inverse eigenvalue;singular value inequalities . 目 录 第1章 引言................................................................................................. 6 [第 4 页 共 21 页] 黄冈师范学院本科学位论文 1.1导论 ..................................................................................................................................... 6 1.2 系统概述 ............................................................................................................................ 6 1.3 本章小结 ............................................................................................................................ 6 .................................................................................. 6 第2章 正规矩阵的概念 2.1正规矩阵的概念 ................................................................................................................. 6 第3章 正规矩阵的相关性质及等价条件 ............................................................. 6 3.1正规矩阵的相关性质 ........................................................................................................... 7 3.2正规矩阵的等价条件 ........................................................................................................... 7 3.3正规矩阵的判定定理及其证明 ........................................................................................... 8 3.4正规矩阵的推论 ................................................................................................................... 9 第4章 正规矩阵的逆特征值问题及应用 ............................................................ 10 4.1 正规矩阵的逆特征值问题 ................................................................................................ 10 4.1.1 相关概念及定理 ............................................................................................................. 11 4.2 应用 .................................................................................................................................... 12 第5章 正规矩阵的一些奇异值不等式 ............................................................... 15 5.1 相关概念及定理 ............................................................................................................ 16 5.2 主要结果 ............................................................................................................................ 16 第6章 结束语 ............................................................................................. 20 致谢 .......................................................................................................... 21 参考文献 .................................................................................................... 22 第1章 引言 正规矩阵是一类具有良好性质的矩阵，本文探讨了正规矩阵的相关性质及其 [第 5 页 共 21 页] 正规矩阵的性质及应用 等价条件，在此基础上，结合实例，重点从“正规矩阵的逆特征值问题”，“正规矩阵的一些奇异值不等式”两个方面作了具体讨论(先提出三个问题并讨论它们有节解的条件和解的表达式;之后，利用奇异值与特征值的关系及复合矩阵的相关性质得到了正规矩阵的一些奇异值不等式. 正规矩阵的概念 第2章 [1]TT定义1 设矩阵AM(C)，如果AA=AA,则称A是正规矩阵. ,n 第3章 正规矩阵的相关性质及等价条件 [1]T性质1 若A,M(C)是复正规矩阵，则A是复正规矩阵( n [1]性质2 设AM(C)是复正规矩阵，则kA也是复正规矩阵，其中kC( ,,n [1]性质3 设A,M(C)是复矩阵，则A为正规矩当且仅当A+kE为正规矩阵，n k,C，E为n阶单位矩阵( 。[1]性质4 若A为复数域上的n阶方阵，A为正规矩阵当且仅当A为正规矩阵( 。[1]性质5 若A，B为复数域上的n阶方阵且A，B均为酉矩阵，则AB，(AB)为正规矩阵( [1]n性质6,, 设AMn(C)是复正规矩阵，则A(nN)是复正规矩阵( [7],1定理1 若A为复数域上的n阶非奇异矩阵(A为正规矩阵当且仅当 为正A规矩阵( TT证明 必要性:因A为正规矩阵，故AA,AA(又因为A可逆，因此 ,1,1,1*TTTT,1,1TTT,1,1，，，，AA,AA，，，，，，，即:=(由A 可逆知:=/,，AAA，AAAA ,1T,1-1T*TTT-1T-1-1-1，，，，AA,，而()=()/,,，故(=.从而() A= A()AAAAAT,1，即为正规矩阵( A -1-1T-1-1-1TT-1T 充分性:若A为正规矩阵，则() A= A()，即(A )=( AAAA-1TTA) ( 因为A可逆，故A = A(因此A为正规矩阵( AA [7]定理2 若A，B均为n阶复矩阵且A与B酉相似，则A为正规矩阵当且仅当B为正规矩阵( TQ证明: 若A是正规矩阵，因A酉相似于B，则存在酉矩阵Q，使得:AQ=B(又 [第 6 页 共 21 页] 黄冈师范学院本科学位论文 TTT-1TTTB因为 Q= Q=E，故AQ =QAQ=B(因此=Q，于是有 QQQQA TTTT-1BB=AQQ =AQ. QQQAA TTTTTTB 同理有: B=QAQ=AQ(又A为阶复正规矩阵，故A QAQQAA TTTBB= A，于是B=B(因此B是复正规矩阵( A 若B为正规矩阵，同理可证A为正规矩阵( [7]*定理3 若A为复数域上的n阶非奇异矩阵(则A为正规矩阵当且仅当A为正规矩阵( TT* 证明 必要性:因为A为正规矩阵，则A = A.由A可逆知，A = ,A,AA -1**T-1-1TT-1-1TA(又A()=,A,A(,,)=(,A,,,)A(). 而 AAAAA *T*-1T-1T-1T-1()A=(,,),A,A=(,A,,,)( )A. AAAAA -1T-1-1-1T 由定理3(1知 ()A=A(). AA *T***T 有 ()A=A()( AA * 故A为正规矩阵( **T***T* 充分性:因A是正规矩阵，故()A=A() (由于A可逆，故A可逆(故AA T*-1*-1TT*T*-1TA=,A,(A)(,,())=,A,,,(A)且A= AAAAAA *-1T*-1T**T-1,A,(,,())(A)=,A,,,(A)( AAAA TT 因此, A=A，即A为正规矩阵( AA [7]**定理4 若A为复数域上n阶可逆正规矩阵，则A为正规矩阵当且仅当 (A)为正规矩阵( TT证明 必要性: 因为A为可逆正规矩阵，所以A=A( AA由引理1(2(3)及引理1(3 有 ***Tn-2n-2Tn-2TC(A)()=(C,A,AC)( ,,)=,A,CAC(,,ACAAAn-2CACTn-2Tn-2T)=,A,,,(CA) C. AA [第 7 页 共 21 页] 正规矩阵的性质及应用 *T **n-2Tn-2T 同理有 ()(A)=,A,,,(C)AC.AAA ** 所以(A)为正规矩阵( ** *T ** ***T 充分性:由(A)为正规矩阵有()(A)=(A)(), AA即 n-2Tn-2Tn-2Tn-2T ,A,,,CAC=,A,,,CAC. AAAA T因为A为n阶可逆矩阵，故,A,?0且,,?0(又C可逆的，故有ATTA=A(，即A为正规矩阵( AA **可类似证明(A)为正规矩阵( A01，，[7]定理5 设A=的矩阵，则A，A为n阶可逆矩阵当且仅当A为正规矩12,,0A2，， 阵( ，，A011A0，，，，AA011TTT 证明 必要性:A==A,,,,,,0A20A20A2A2，，，，，， ，，A01A10，，，，A1A10TTTA==. A,,,,,,0A20A20A2A2，，，，，， 又因为A，A为n阶正规矩阵，可知A为正规矩阵( 12 TT 充分性:A为正规矩阵，所以A=A.即 AA ，，，，AA011A1A10TT=， ,,,,0A2A20A2A2，，，， TTTT故A=A，A=A，即A，A为n阶正规矩阵，故原命题成立. A1A1A2112212A2 [7]**** 推论1 若A为复数域上的n阶可逆矩阵(则A是正规的当且仅当A(n个， n?2)也是正规的( ** 证明 就A进行证明，其他的可类似证明( ****Tn-2n-2Tn-2T必要性:由引理1(2(4)有A()=,A,A(,,)=,A,,AAAA n-2T,A， A [第 8 页 共 21 页] 黄冈师范学院本科学位论文 **T**n-2Tn-2n-2Tn-2T()A=(,,),A,A=,A,,,A. AAAAA ****T**T****所以A()=()A，即A是正规矩阵. AA *** 充分性:由定理3(3可有A是正规矩阵等价于A为正规矩阵，即等价于A为正规矩阵( ******?可类似证明A，?，，A为正规矩阵( [7]** 推论2 若A为复数域上n阶可逆正规矩阵，则A为正规矩阵当且仅(A)为正规矩阵( [7]******?? 推论3 设A为复数域上n阶可逆矩阵，则A为正规矩阵，当且仅当A ( 前面有m个，后面有n个，m，nN)是正规矩阵( , 证明 只证明m=2，n=1时的情形，其它情况可类似证( ()()******Tn-2*n-2*T*n-2n-1 必要性:(A)(())=(,A,A)((,,))=,A,AAA )()(*Tn-2n-1**T***T*T*,(),CA()C.因为)=()A.A正规，可知A正规，从而A(AAAA ******T***T******故(A)(())=(())(A)，所以(A)为正规矩阵( AA 充分性:因为 ()()()()******T*n-2n-1*Tn-2n-1**T(A)(())=,A,,(),CA()C， AAA ()()()()***T****n-2n-1*Tn-2n-1*T*(())(A)=,A,,(),C()AC， AAA ***由于(A)为正规矩阵，所以 ******T***T***(A)(())=(())(A)， AA 即 ()()()()()()()*n-2n-1*Tn-2n-1**T*n-2n-1*Tn-2,A,,(),CA()C=,A,,(),AAA )n-1*T*(C()AC. A *n-1*又因为A为n阶可逆且,A,=,A,，故A可逆， **T*T**从而有A()=()A，即A正规，再由定理3(3有A正规( AA ******??可类似证明A ( 前面有m个，后面有n个)为正规矩阵( [第 9 页 共 21 页] 正规矩阵的性质及应用 A1，， ,,A2,,[7],, 推论4 设A=，其中A为方阵(i=1,2,3,???,S,S?n)( A3i,,？,, ,,As，， 则A为正规矩阵当且仅当A(i=1,2,3,???,S)均为正规矩阵( i 第4章 正规矩阵的逆特征值问题及应用 4.1 正规矩阵的逆特征值问题 本部分在实数域中讨论，讨论正规矩阵的逆特征值问题，通过推理证明有解的充要条件及通解的表达式。当B=XA时，问题2即为问题l，问题1是问题2的特殊情形(首先考虑问题1有解的条件，得到解的通式。当问题1有解时，研究解集合对给定矩阵的最佳逼近问题3。证明最佳逼近问题解的存在性，并给出一般解的表达式。本文考虑了问题1、问题2有解的充分条件及解的表达式及问题3有解的证明，并通过前两个问题有解找到其充分必要条件。 4.1.1 相关概念及定理 [18] 引理1 设X是靠n×k实矩阵，则存在n阶正交矩阵U和k阶正交矩阵V，使得 ，，，，00,,,,,,TTT 0000UXV=或X=UV=UV (2.1) ，，，，11, 其中=diag(σ，σ，???,σ),σ>0(i=1,2,???,r)，r=rank(X)， 12rr, nXnkXknXkkXk ,,,,U=(U U)OR;V=(V V)OR，UR，VR.121211 ,记={AS,AX=XA)，则问题1转化为求非空的条件及中元素的表达式。 ,,,n [18]nXk, 引理2 给定X，BR，且设X的奇异值分解为(2(1)式，则问题AX=B在mXn++TR内有解的充分必要条件是BXX=B，且有解时解可以表示为A=BX+YU，2 ()m×n-r,,YR( [18]nXkmXn, 引理3 设X，BR，且设X的奇异值分解为(2(1)式，则AX=B在ASR +TT上有解的充要条件是 B=BXX，XB=-BX (4.1) 且解的通式为 [第 10 页 共 21 页] 黄冈师范学院本科学位论文 ，，1112UBVVBU,,T+ +T + T, A=UU={BX-(BX)(I-XX)+UCU}, 22,,U2BV1C,，， (n-r)(n-r)CASR. (4.2) ,, [18]mXn 引理4 设AM(R)，A为正规矩阵的充要条件是存在实正交矩阵QR，,,n 使得 1A0？0，， ,,0？？？T,, QAQ=M(R)， ,n,,？？？0 ,,0？0An，，其中k?n，每个A是实1×1矩阵或形如 j ,,jj，，2×2 A =,R， j,,,j,j,，， [18]n×k,定理1 给定X,R，=diag(λ,λ,???，λ)(r?k?n)，且设X的奇异值分解为r12k(2(1)式，则非空(问题1有解)的充要条件是 , -1T T ,,VV,S,VV=0 (2.2) 11r12,, 且中元素通式(问题1解的通式)可表示为 , ，，V1V10,,T+T,, A=UU=XX+UAU, (2.3) 2222,,0A22，， ,其中AS是任意的. 22n-r [18]n×kn×kT, 定理2 给定X=R，BR(r?k?n)，X有奇异值分解式(2(1)且UBV=0，r21 则集合非空(问题2有解)的充分必要条件是 , +-1T, B=BXX，UBVS， (3(1) 11r, 且中元素通式(问题2解的通式)可表示为 , UBV011,，，T, A=UU,AS(3.2) 22n-r ,,0A22，， 11XB，，，， ,,,,[18]n×kTT？？ 定理3 设 X=R，记QX=，QB=,X的奇异值分解式为 i,,,, ,,,,XkBk，，，， [第 11 页 共 21 页] 正规矩阵的性质及应用 ，，i0T, X=UV iii,,00，， 其中=diag(σ，σ，???,σ),σ>0(i=1,2，???，k)，r=rank( X). ii1i2irijii, nXnk×knXrkXr,,,,其中U=(UU)OR;V=(VV)OR,UR，VR，(i=1,2,???，k). i1 i2i1 i2i1 i1 则问题1,2有解的充要条件是 TTTT B=BXX，XB=-BX. iiiiiiii [18]，若有奇异值分解(2(1)，则问题1有解的充分条 推论1 对于给定的X和, 件是 TT XX=XX ,, nXn,此推论就变成了正交矩阵集AOR;上问题有解的充要条件。 [18]TT 推论2 对给定的X，B问题2有解的充分条件是XX=BB. 4.2 问题的提出 nXk问题1 给定特征向量矩阵XR以及特征值矩阵=diag(λ,λ,???,，,12 nλ)(r?k?n)，求矩阵A,R，使 k AX=X (1.1) , ,证明 必要性:设非空，则存在AS，使(1(1)式成立，将(2(1)式代人,n 得 ，，，，00TT,,, AUV=UV ,,,,0000，，，， T通过左乘U，右乘V得 ，，，，，，00,V1AV1V1V2TT,,,,, U AU=VV= ,,,,,,000000，，，，，，(2.4) AA1112，，T令 H=U AU= ,,A21A22，， (2.5) 将(2(5)代入(2(4)通过计算有 [第 12 页 共 21 页] 黄冈师范学院本科学位论文 -1TTT,,,A=0A=VVVV=0,VV=0 ，，2111111212,,, 111112111211AAAAA0A0，，，，，，，，TT由于AS,HS,即得HH=HH,=, ,,nn ,,,,,,,,12220A220A221222AAAA，，，，，，，， TTTTTT因此，AA=AA+AA，两边取迹因trAA=trAA，故trAA=0，得11111112121111111212 A=0，12 又因为H为正规矩阵可知A，A为正规矩阵，根据(2.4)(2.5)，则有条件(2.2) 1122 成立. 充分性 若(2.2)成立，令 ，，V1V10,,T, A=U U ，A,S 22n-r,,0A22，， ,易证A,S，且满足AX=X,即A,，则非空.利用Moore—penrose广义逆的性,,n 质，通过计算，便得问题1正规矩阵集S上的通解(2(3)证毕. n n×kn×k问题2 给定XRBR，(r?k?n)，求AS，使 ,，,,rn AX=B (1.2) 证明 必要性:由X(I-P)=0可得XT TTTTTTTT2222 ?AX-B?=?PB-XA+(I-P)B?=?PB-XA? +?(I-P)B? FXTXTFXTFXTF利用X的奇异值分解(2.1)及范数的正交不变性有 Ir0，，0，，TTTTT,?PB-XA?=?AX-BP?=?UAU-UBV? XTXTFF ,,,,0000，，，， (3.3) AABB11121112，，，，TT记 U AU=，UBV=, ,,,,A21A22B21B22，，，， (3.4) 行列都是按r，n-r进行分块的，将(3(4)代入(3(3)得 222 ?(AX-BP)?=?A-B?+?A-B? XTF1111F2121F,, ,设A，则 , [第 13 页 共 21 页] 正规矩阵的性质及应用 T ?A-B?=0?A-B?=0?(I-P)B?=0 ，，1111F1111FXTF,, 由此可得 -1-1+T, A=B，A=B， B=BXX，显然US U AUS. ,,11112121nn ,, -1T由条件B=UBV=0，从上式可得 A=B=0 21212121,(3.5) 故有 11T1112111211TAAAAAA00，，，，，，，， = ,,,,,,,,A12TA22T0A220A22A12TA22T，，，，，，，， TTTTT因此A A= AA+AA，两边取迹因tr(A A)=tr(AA ),故11111111121211111111 Ttr(AA)=0 ，所以 A=0 121212 (3.6) TT由(3.4)式知B=UBV，从U AV为正规矩阵可知A ，A为正规矩阵，即 11111122 -1T,, A=UBVS，AS1111r22n-r , (3.7) --1T 充分性:设B=B=BXXUBV,S，则(3.5)(3.6)(3.7)式成立，令 11r, UBV011,，，T A=UU,A,S，则A,，即非空(问题2有解). ,,22n-r ,,0A22，， ~n×kA,,问题3 给定R，求AS，使得 0E ~~AA ?A-?=min?A-? (1.3) 0A?SE, 其中S为问题1的解集合. E n×n,, 证明:对AS，由引理4.3，存在实正交矩阵QR，使得 ,n A0？01，， ,,0？？？Tn×n,,,QAQ=R，其中k?n，每个是实1×1矩阵或形如 ,,？？？0 ,,0？0Ak，， [第 14 页 共 21 页] 黄冈师范学院本科学位论文 ,,jj，，n×n A=ASR ,j,,,,j,j，， 由Frobenius范数的正交不变性知 1A，，k,,2TTT22 ?AX-B?= ?QQ？ Q X-QB?= ?AX-B? iii,,,i,1,,Ak，， 因此AX=B在S上有解等价于AX=B(i=1,2，???，k)在S上有解. niiin TTTTAX=B在S上有解的充要条件是B=BXXXB=-BX. 由引理4.2知，iiiniiiiiiii 第5章 正规矩阵的一些奇异值不等式 在上一节我们研究了正规矩阵的逆特征值问题，在这一节讨论它的一些奇异 值不等式，主要利用奇异值与特征值的关系及复合矩阵的相关性质得到了正规矩 阵的一些奇异值不等式。在本文中，用N表示自然数集，以M表示所有n阶复矩n阵所成的集合。 5.1 相关概念及定理 [6]nn,,定义1 设x=(x，x,???，x)R，y=(y，y,???，y)R， 12n12n knkn ,xyixyi(1)若?，k=1，???，n，且=，则称x被y控制，记为xy; ii,,,,i,1i,1i,1i,1 kk ppxyi(2)若x，y只满足i?，k=1，???，n，则称x被y下弱控制，记为xωy. ,,i,1i,1 kk[6]npp,xiy定义2 设0?xyR若?k=1???n则记为logxωlogy，，i，，，，;,,i,1i,1 nn ,xiyi若进一步满足=，则记为logxlogy. ,,i,1i,1 5.2 主要结果 [6],,引理1 设A，BM均为复半正定矩阵，mN，则: n 1111m+1mm，1m，1mm,,ABAB,Logλ(A)oλ(B)?Logλ()Logλ()Logλ(). AB [6]n,,,引理2 设0?x，yR，若logxωlogy，则 xωy. [6],引理3 设A,BM为正定Hermite矩阵,α>0，则: n [第 15 页 共 21 页] 正规矩阵的性质及应用 ,11-ɑ-ɑɑɑ,, λ(AB)=λ(AB)，1n λ(A)λ(B)?λ(AB)?λ(A)λ(B)?λ(AB)?λ(A)λ(B). nnn1n111 ()[6]k,引理4 设XM，令X为X的k级复合矩阵(1?k?n)，则: n k()()()()kkkk (XY)=(X)(Y)，λ(X)=， ,(X)i1,,1i ()()kɑkɑ,尤其，当A为正规矩阵时，ɑR，有(A)=(A). [6],,M均为正规矩阵,mN，则: 引理5 设A,Bn 11mmm+1m+1mm，1,1,1(AB)?(AB)? (AB)? (A)(B), ,1,1,1 11mmm+1m+1mm，1(AB)?,1(AB)? (AB)? (A)(B). ,n,n,n,n [6],, 定理1 设A,BM均为正规矩阵,mN，则: n 1111m+1mm，1m，1mm,,ABAB,,,,,log(((A)o(B)?log)Log)Log(). ,AB ****证明:注意到AA=AA,BB=BB,有引理1得: 111111kkk**m，1m，1m，1m，1m，1m，1m，1m，m，11ABABAB()=[()()]=((A),,,iii22,,,,1,1,1iii 11111k11k1****m+1m，1m，1m，1m，122m，1m，1ABi(B))=[λ((AA)(BB))]?,(AA)i,,i,1i,11k*2,i,i(BB)=(A)(A)(B)，k=1,2，???，n; ,n-i+1,n,i，1i,1 且当k=n时上式等号成立. 11m+1m，1m，1,AB,,,由定义2，log(A)o(B)?log(). 1111111kkkmm***mmmmmmmm22ABABABiii,()=,[()()]=,((AA)(BB),,,i,1i,1i,111111kk**mm，1m，1m，1m，1m，m，11AB,,)?((AA)(BB)))=()，k=1,2，???，n; ii2,,,1,1ii 且当k=n时上式等号成立. 1111m+1mmm，1m，1m,ABAB,,由定义2，log()Log(). [第 16 页 共 21 页] 黄冈师范学院本科学位论文 1kkkk11m*****m222i(AB)=((AB)(AB))=((AA)(BB))?((AA)(BB)ii,,,,i,,,,i,1i,1i,1i,1 111kmmmmAB)=()，k=1,2，???，n; ,i,,1i 且当k=n时上式等号成立. 11mmm,AB,,由定义2，Log()Log().证毕. AB [6],, 定理2 设ABM均为正规矩阵且可逆，α,βR. ，n ,(1) 若αβ，αβ?0，则: 11ɑɑββ,,,1,1 (A)(B)?(AB)?(AB)? (A)(B)， <1> ,n,n,1,1 11ββɑɑ,,,n,n (A)(B)?(AB)?(AB)? (A)(B); <2> ,n,n,1,1 ,,(2) 若0αβ，则: 11ɑɑββ,,,,,,,,,,,log(A)o(B)?log(AB)Log(AB)log(A)o, (B); ,,(3) 若0βα，则: 11ββɑɑ,,,,,,,,,,,log(A)o(B)?Log(AB)log(AB)log(A)o,(B); (4)若|α|?1，则: ,,,,,ɑɑ,,,,log,(A)o,(B)?log,(AB)log(AB)log,(A)o, (B); (5)若|α|?1，则: ,,,,,ɑɑ,,,,,,,,,log(A)o(B)?log(AB)log(AB)log(A)o (B). 证明:利用矩阵奇异值关于其元素的连续性，下面我们只需证明此定理对 有理数α,β成立. [第 17 页 共 21 页] 正规矩阵的性质及应用 (1)当ɑ>0时，由引理3， 1,1,-ɑ-ɑ-ɑ-ɑ-ɑ-ɑ,2, (AB)=λ[(AB)(AB),11 1,1,1**-ɑ*-ɑ*ɑ*ɑɑɑ2,2,,]=λ[(AA)(BB)]=λ[(AA)(BB)]=,n(AB); 1n <3> 111****222 ,n(AB)=λ(AABB)?λ(AA)λ(BB)?,1(A),n(B); nnn 111****222,1,n,1 (A)(B)=λ(AA)λ(BB)?λ(AABB)=(AB); 111 综上可得， ,n,n,n,1,n,1,1,1(A)(B)?(AB)?(A)(B)?(AB)?(A)(B)， 于是: 1111ɑɑɑɑɑɑɑɑ,,,,,n,n,n,1,n,n [(A)(B)]?(AB)?[(A)(B)]?(AB) 1ɑɑ,,1,1?[(A)(B)]， 11,-ɑ-ɑɑɑ,,,n,n,1,1,n,1,1 即(A)(B)?(AB)?(A)(B)?(AB)? ,1(A)(B); ,,<4>表明当α0β时， <1>成立. rs,,,,,当0αβ时，令ɑ=，β=，其中r,s,pN,则0rs， pp 11111111ppppɑɑrrpaapɑɑ,,sr,1,1,1,1于是,(AB)=[((A)(B))]?[((A)(B))]=(AB) 对于上述两种情况式(2)可类似得证. ,, 当αβ0时，，利用(3>易证得. (2) 只证中间，其余可类似证明.由引理4与推论3可得: ɑɑkɑkɑkkɑkɑ (AB)=(A)(B)=(A)(B), kkɑkɑɑɑkɑɑ,1,1, (A)(B)=((AB))=i(AB), ,i,1 又推论4得: kk1111ɑɑkɑkɑkβkβββ,,,,,1,1ii,, (AB)=((A)(B))?((A)(B))=(AB)，k=1,2,???,k,,,i,1i,1 [第 18 页 共 21 页] 黄冈师范学院本科学位论文 11kk11ɑɑɑɑββ,2,2,当k=n时， i(AB)=(detAB)=(detAB)i(AB), ,,,,i,1i,1 11ɑɑββ,,,,,从而，log(AB)log(AB). -1-1(3) 在(2)中分别以A，B代替A，B，并且注意到 -1-1,,,,,,(A)log(B)等价于log(B)log(A). log (4) 与(5)可直接由(2)，(3)推得.证毕. (1)由引理2我们可将定理2中(2)一(5)加以改写。 注 (2)同时，我们也可以根据定义l定义2将定理2中(2)一(5)加以改写得到相应分量的不等式. 由引理2与定理l可得以下结论: [6],,推论1 设A，BM均为正规矩阵，mN，则: n 1111m+1mm，1m，1mm,,,,, (A)o(B)?σ(AB)σ(AB)σ(AB) ωωω同时，我们可以用数学归纳法将定理l，推论l与文献[4]中定理5推广为: [6],,,推论2 设A，BM均为正规矩阵，k，lN，kl，则: n 1111lkllkk,,,,,,,,(1) log(A)o(B)? log(AB)log(AB) log(AB); 11kkllkl,,,,,(2) log,,,(AB)log(AB) log(AB)log(A)o(B); 11lll,,,,,,(3) (A)o(B)?(AB)(AB); ωω 11kkllkl,,,,,,,,(4) (AB)(AB)(AB)(A)o(B). ωωω 注: 由定义1，定义2我们还可以将推论2表为相应分量的积或和的不等式组. ()[6]k, 推论3 设XM，令X表示X的k级复合矩阵(1?k?n)，则: n k()k,1 (X)=. ,(X)i,,1i 111()()()()()()kkk*k*k*k222,1证明:(X) =λ((X(X))=λ((X(X)))=λ((XX))111 [第 19 页 共 21 页] 正规矩阵的性质及应用 kk1*2=λ((XX))=. ,(X)i1,,i,1,1i [6],,, 推论4 设A，BM均为正规矩阵，k，lN，kl，则: n 11kkllkl,1,1 (AB)?(AB)?(AB)?(A)(B)， ,,,111 11kkllkl,n,n (AB)?(AB)?(AB)?(A)(B). ,,,nnn 第6章 结束语 正规矩阵是一类具有良好性质的矩阵，本文探讨了正规矩阵的相关性质及其等价条件，在此基础上，结合实例，重点从“正规矩阵的逆特征值问题”，“正规矩阵的一些奇异值不等式”两个方面作了具体讨论(先提出三个问题并讨论它们有节解的条件和解的表达式;之后，利用奇异值与特征值的关系及复合矩阵的相关性质得到了正规矩阵的一些奇异值不等式.本文讨论的具体问题存在很大的局限性，因此，有待于进一步的探讨和研究，寻求更简便的方法解决正规矩阵更多方面的应用问题( 致谢: 在本论文的撰写过程中～得到了董金辉老师的精心指导和大力帮助～在此衷心地表示感谢: 参考文献 [1] 杨震(正规矩阵的性质[J](宜春学院学报，2004，26(4):18-18。35( [2] 高波(Hermite正规矩阵性质的初探[J](常州工学院学报，2006，19(3):54—55( [3] 包霞(关于实正规矩阵[J](西北民族学院学报，1999，2O(3):30—31( [5] 张贺，袁博(正规矩阵几个等价条件[J](河北北方学院学报(自然科学版)，2009，25(1)，9-13( [4] 张禾瑞，郝炳新(高等代数[M](5版(北京:高等教育出版社，2007( [6] Wang Boying，Gao Mingpeng(Some Eigenvalue Inequalities for Positive Semidefinite Matrix [第 20 页 共 21 页] 黄冈师范学院本科学位论文 Power Products[J](Linear Algebra Appl.1993.184:249-260. 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