关于期望寿命的估计

关于期望寿命的估计 陈家鼎王 静 ABSTRACT On the base of two methods to estimate life expectation ,the authors present a new estimation of `e, k and the relevant inferring procedure . 关键词 : 期望寿命 ; 估计 估计的 效 果 。于 是 他 们 提 出 了 另 外 一 种 估 计 方 法 。用 一 、引言3 e 估计 e,这里 : k k m 2 ( ) 期望寿命又叫平均剩余寿命 。设寿命 或生存时间 h h 3 )( ( = ^p+ ^p+ ^r - ^p ^r e ^pk〃j k〃j +1 k〃j +1 j +1 k〃j j k 6 2 12 ( 为 X ,则在 X > t 的条件下 X - t 的期望 e = E X - t | X > j = k ) ( ) t是期望寿命 。设 X 的分布函数 F x是未知的 ,如何估 )( l 2 l - l ``` j j j + 1 ( , k = 1 ,2 , , m , j = k , k 其中 , ^p= , ^r= k〃j j 计 e,这是保险精算 、可靠性工程及生存分析等实际工作 t )`l h`l + `l kj j + 1 中很关心的问题 。随机考察 n 个个体 , 这些个体的寿命 )+ 1 , , m 分别是 x, x, , x ,他们被看作随机变量 ,相互独立 ,有 1 2 n 利用上述公 式 很 容 易 求 出 期 望 寿 命 的 估 计 值 。但 ( ) 相同的分布函数 F x。我们分别在一列时刻 a= 0 < a 0 1是 ,这个估计量具有哪些好的性质 ,特别是问 : 当观测个 体的数目充分大而分组区间的长度又足够小时 , 这个估 ( < a观测其寿命 。令 a= ?, I= a, a] < a< m m + 1 k k k + 1 2 3 ( ) 计量 e 是否与真值 e 任意接近 即是否有强相合性? k k ( ) k = 0 ,1 ,2 , , m。考虑等距分组 ,即每个区间的长度都 这个问题还没有解决 。 为 h , h = a- a。我们一般不能观测到各个个体寿命 k + 1 k 在上述两种估计的基础上 ,本文提出了期望寿命 ek的确切值 ,而只能得到下列数据 : 的新的估计量 `e , 它不仅计算简单而且可以证明其具有 k ()l , l , , l , 1 ```0 1 m 强相合性 ,即在相当广泛的条件下 `e 与真值 e可任意接 k k ( 近 。 这里 l 是 n 个个体中寿命超过 a的个数 k = 0 ,1 , `k k ) ( ) , m。以下记 `l = 0 。如何根据数据 1估计期望寿 m + 1 ( ) 命 e= E X - a| X > a? 对于这个重要问题 ,Chiang C. k k k 二 、期望寿命 e的新的估计量 k [1 ] ) (L . 蒋庆琅提出了下列估计方法 :用下列 ^e 作为 e 的 我们提出下列 k k m - 1 估计 。 h [ 5`l + 5`l - `l - `l ]e =` m kj j +1 j - 1 j +2 6 1 8`l j = k k α) α(()^e = [ 1 - h`l + h`l ]2 k j j +1 j j 6 l j = k`k ( )k = 1 ,2 , , m - 1 ααα其中 h 是 分 组 区 间 的 长 度 ,,,, 0 1 2 是 一 列 参 h ()3 `e= m 2 ( ) 数 , k = 1 , , m 。这个估计称为蒋 Chiang估计 。但是其 ( ) e的估计量 ,其中 `l , `l , , `l ,见 1, `l 是 n 作为 k 0 1 m j α() 中的参数 称为终寿区间成数如何确定至今没有很好 j 个个体中寿命超过 a的个数 , `l = 0 。 这个估计量是基j m + 1 α的办法 。在 Chinag 的著作 [ 1 ]中把这些 当作一列常数 , j 于什么思想 导 出 的 呢 ? 论 述 如 下 。 () α 实际使用中一般取 = 015 ,此时 2化成j ( ) ( ) 设寿命 X 的分布函数是 F x ,密度函数是 f x,生存函m 1 h `l + `l ] [ ^e = j j +1 k ( ) 数是 S x1 -( ) = F x。我们首先指出 6 2 `l j = kk ? 3 1 α Sum S. G. 和 Chong M. Y. 指出 Chiang 估计中将 取 ( )( )( )n n n ( ) ( ) 实际上 ,记 qx= P X - a?x| X > a,则 一系列等距离的时刻 0 = a< a<观测其< a ( )k k k 0 1 m n( )( )n n x + a k ) ( 寿命 。a= ?。`l 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示寿命超过 a 的个体数 ( ) + k k m n1 ( ) P a< X ? x + a k k 1 )( ( )n n ( ) ( ) qx= = f uduk ( ( ) ) , k = 0 ,1 , , m n, l = 0 , h= a- a `( ) k m n+ 1 n k + 1 ( )( ) P X > a S a ?k k a k ( )m n - 1 h n ( )n 1 e = `[ 5l + 5l - l - l ] ````k ( ) ( )j j +1 j - 1 j +2 于是 q′xx + af = k k 6 ( ) S a 8l j = k`k k ? ( ( ) )k = 1 ,2 , , m n - 1 ) ( ) ( a| X > a= xq′xdxE X - k k k 设 h 满足下列条件 :?n 0 ) ( ? ?h> h>,且 h?0 n ??, n 1 2 1 ( ) ( ) = x - a f xdxk ( ) ( ) ?m nh??n ??, ( ) S an ?k a k 2 ( ) () ?m nh 有界 对 n, n ? ? ( ) ( ) ( ) 又由于 x - af xdx = S xdx ,k lnln n ?? ( ) ) ( ?m nh?0 n ??, a a nk k n () 这表明 4成立 。 ? 2 αα ?对一切 > 0 ,级数 6 exp{ - nh }收敛 。n () n = 1 从 4知 : aj +1 记τ( ) = sup{ x?F x< 1} , m - 1 1 ( )n n e( ) () ?S tdt5 kB = max{| `e- e| ?k ?1 , a ?A} n k k k 6 ( )S a k ? j = k a j 表 1对数正态分布分组数据情形下期望 x 寿命的真实值与估计量 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 令 Gx= S tdt ,则 G′x= S x , G″x = -f x。 ? 0 ( )估计量 `e n , h k n 利用 Taylor 公式知 ,当 h 很小时 : 真实值 e k2 ()()`e 1000 ,1 `e 100 ,1 k k k h( ) ( ) ( ) ( )G a- Ga? G′a〃h + G″aj +1 j j j 2 601000000 115709 1167625 63630 2 571544330 571514410 571130959 5 h( ) ( ) ( ) ( )( ) G a? G′a〃- h+ G″aGa- j j +1 j +1 j +1 2 10 521544333 521514414 521130959 于是 15 471544341 471514418 471130962 a j +1 42154407 421514410 421130962 20 ( ) ( ) ( )S tdt =Ga- Ga 371544567 371514414 371130995 j +1 j 25 ? a j 30 321552814 321588303 321164574 2 h h ( ) ( ) ( ) ( ) [ G′a + G′a ] + [ G″a - G″a ] 35 271638361 27140018 271193260 ? j j +1 j j +1 2 4 40 231029979 231032960 231344881 2 h h ( ) ( ) ( ) ( ) = [ S a + S a ] + [ - f a + f a ] j j +1 j j +1 45 191052914 191058176 191272755 2 4 50 151894951 151913832 161071402 55 131522083 131553833 131658818 ( ) ( ) F a+ h- F a- h j j ( ) ( ) 注意 , h 很小时 , f a= F′a? j j 2 h 60 111779984 111726201 111951674 ( ) ( ) S a- S a 65 101500124 101585851 101819129 j - 1 j + 1 = 2 h 70 91544314 91583301 91388492 () 从 5得 : 75 81808888 81813108 81960814 m - 1 80 h 81215422 81117767 81442500 e` ? k6 ( )8 S a k j = k 85 71697499 71706235 810497741 ( ) ( ) ( ) ( ) ()90 [ 5 S a+ 5 S a- S a- S a] 6 71205487 71275278 71467741 j j +1 j - 1 j +2 95 61664041 61680624 61824730 `l j( ) () 用 作为 S a的估计量代入 6式右端 ,即得到 `e j k 100 n 51986411 61009796 61141227 105 51093996 51095179 51291666 (() ) 见 3。这就是用 `e估计 e的依据 。 k k 我们可以证明 ,在十分广泛的条件下 ,当观测个体的 110 31835766 31865741 31986112 数目 n 充分大而分组区间的长度 h 足够小 , `e 与真值可 115 k 21177007 21173611 2121667 任意接近 。更确切的叙述如下 。 τ( 1 : 在上述条件下 ,对一切 A < 有 : P lim B =定理 n n ?? ( ) 设寿命 X 的分布函数 F x 在 [ 0 , ?] 上连续且有有 ) 0= 1 。 界的二阶导数 , X 的期望有限 。随机地抽取 n 个个体在 这个定理的证明相当长 ,这里从略 。 现代 Bayes 方法在精算学中 的应用及展望 刘乐平袁 卫 ABSTRACT In this paper ,the authors review the history and devlopment of Bayesian methods. The accomplish2 ments of applications of modern Bayesian methods in Actuarial Science are summarized. Finally ,the per2 spective of modern Bayesian methods research in Actuarial Science is discussed. 关键词 : 现代贝叶斯方法 ; 精算学 ; 复合损失模型 ( ) 现代贝叶斯方法 ,从经验贝叶斯 EB、稳健贝叶斯分析和 一 、前言 贝叶斯数值计算三个方面进行总结 。 ( ) 贝叶斯 Reverend Thomas Bayes 1702,1761是对归纳 然后 ,对现代贝叶斯方法在精算学中的应用 进 行 了 推理给出精确定量的表达方式的第一人 , 他死后发表的 ( ) 综述 ,分以下三个领域 : 经验费率 Experience Rating的估 ( 两篇论文 ,应该作为科学史上最著名的回忆录之一 Press , 计 ;损失储备金与复合损失模型 ;健康保险和生命表 。 最) 1989 : P181。尽管他所提出的方法直到今天仍有着激烈 后对现代贝叶斯方法在精算学中的应用前景进行 的争论 ,但由于他对当代统计学产生了深远影响 ,所以将 他作为统计学的杰出创始人之一 ,是举世公认的 。 展望 。 本文分三个部分 。首先以贝叶 斯 思 想 、贝 叶 斯 方 法 二 、贝叶斯方法的历史与发展 和贝叶斯立场为主题 , 简要回顾贝叶斯方法的历史与发 () () () 展 ,对 J effreys 1939,Wald 1950和 Savage 1954等创立的 11 贝叶斯思想 () Richard Price 1723,1791是十八世纪欧洲启蒙运动 有影响的人物 。从职业上来说虽然是个牧师 ,但他作为 本文得到国家社科基金重点项目《现代统计推断理论与方法 一个学者对哲学 、统计学 、公共财政 、政治学和精算学都 研究》的资助 。 有一定的影响 。他的精算学专著是十八世纪指导精算学 果见表 1 。应该指出 ,这个定理的条件是容易满足的 ,例如取 h n 1 - 参考文献4 ( ( ) ) ( = cn c > 0, m n= [ n ] , [ x ]表示不超过 x 的最大 1 ]蒋庆琅著 , 方积乾译 《, 寿命表及其应用》, 上海翻译 ) 整数,至于加在寿命分布的条件也十分宽大 , 很多分布 () 出版社公司 1984。() 例如对数正态分布都满足 。 2 ]陈家鼎《, 生存分析与可靠性引论》,安徽教育出版社三 、模拟计算例子 () 1993。 Shang 2Gong Sun and Mei2Yin Chong , Estimation of Life Ex2 3 为了考察估计量 `e 的粗度 ,提出下列模拟计算例子 。 k pectancy ,Tech. Rep . The Hong Kong University of Science 设寿命 X 服从对数正态分布 ,即 ln X 服从正态分布 () and Technology. 1995. 2 (μσ) N ,,取 μ σ = 41115380 = 01205113 作者简介 :陈家鼎 ,北京大学概率统计系 。 随机模拟产生对数正态分布的 n 个随机数 。分别取 王 静 ,北京宇航系统工程研究所 。 样本量 n = 100 ,1000 ,当分组区间长度 h= 1 时 ,利用 `l ,n 0 () 责任编辑 :何 平() ( ( ) ) l , , l 和公式 3计算相应的 e 记为 en , h,结 ````1 119 k k n