x届高考数学（理）一轮经典例题——任意角的三角函数

x届高考数学（理）一轮经典例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ——任意角的三角函数 例1 下列说法中，正确的是 [ ] A(x象限的角是锐角 B(锐角是x象限的角 C(小于90?的角是锐角 D(0?到90?的角是x象限的角 【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】本题涉及了几个基本概念，即“x象限的角”、“锐角”、“小于90?的角”和“0?到90?的角”(在角的概念推广以后，这些概念容易混淆(因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键( 【解】x象限的角可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为,θ|k?360?,θ,90?，k?360?，k?Z,，锐角可表示为,θ|0?,θ,90?,，小于90?的角为,θ|θ,90?,，0?到90?的角为,θ|0??θ,90?,(因此，锐角的集合是x象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)( ,α)分别是第几象限角, (90? 【分析】 由sinα?cosα,0，所以α在二、四象限;由sinα?tanα,0，所以α在二、三象限(因此α为x象限的角，然后由角α的 【解】(1)由题设可知α是x象限的角，即 90?，k?360?,α,180?，k?360?(k?Z)， 的角( (2)因为 180?，2k?360?,2α,360?，2k?360?(k?Z)，所以2α是x、x象限角或终边在y轴非正半轴上的角( (3)解法一:因为 90?+k?360?,α,180?，k?360?(k?Z)， 所以 ,180?,k?360?,,α,,90?,k?360?(k?Z)( 故 ,90?,k?360?,90?,α,,k?360?(k?Z)( 因此90?,α是x象限的角( 解法二:因为角α的终边在x象限，所以,α的终边在x象限( α的终边在x象限内( 将,α的终边按逆时针旋转90?，可知90?, 【说明】?在确定形如α，k?180?角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论;?确定象限时，α，kπ与α,kπ是等效的( 例3 已知集合E=,θ|cosθ,sinθ，0?θ?2π,，F=,θ|tanθ,sinθ,，那么E?F是区间 [ ] 【分析】 解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况(可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断(用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易( 【解法一】 由正、余弦函数的性质， 【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，AT,MP，即tanα,sinθ，由正弦线和余弦线可看出，当 应选(A)( 可排除(C)，(D)，得(A)( 、三象【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法:因为x限均有AT,MP，即tanθ,sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立(用排除法也有些别的方法，可自己练习( 4 (1)已知角α终边上一点P(3k，,4k)(k,0)，求sinα，cosα，例 tanα的值; 【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是 三两个象限，因此必须分两种情况讨论( 【解】(1)因为x,3k，y=,4k， 例5 一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大( 【分析】解答本题，需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式(本题是求扇形面积的最大值，因此应想法写出面积S以半径r为自变量的函数表达式，再用配方法求出半径r和已知周长l的关系( 【解】设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为l,2r(所以 【说明】在学习弧度制以后，用弧度制表示的求弧长与扇形面积公 形的问题中，中心角用弧度表示较方便(本例实际上推导出一个重要公式，即当扇形周长为定值时，怎样选取中心角可使面积得到最大值(本题也可将面积表示为α的函数式，用判别式来解( 【分析】第(1)小题因α在x象限，因此只有一组解;第(2)小题给了正弦函数值，但没有确定角α的象限，因此有两组解;第(3)小题角α可能在四个象限或是轴线角，因此需分两种情况讨论( 【解】 (3)因为sinα=m(|m|,1)，所以α可能在四个象限或α的终边在x轴上( 例7(1)已知 tanα=m，求sinα的值; 【分析】(1)已知tanα的值求sinα或cosα，一般可将tanα 母都是sinα和cosα的同次式，再转化为关于tanα的式子求值，转化的方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α，这里cosα?0)，即可根据已知条件求值( 【说明】 由tanα的值求sinα和cosα的值，有一些书上利用公 很容易推出，所以不用专门推导和记忆这些公式，这类问题由现有的关系式和方法均可解决( 函数的定义来证明( 由左边=右边，所以原式成立( 【证法三】(根据三角函数定义) 设P(x，y)是角α终边上的任意一点，则 左边=左边，故等式成立( 例9 化简或求值: 【分析】 解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角 的三角函数值( 因为α为x象限角)( =,sinα,cosα( 例10 (1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表达式; 【分析】在(1)中理解函数符号的含义，并将f(sin x)化成f(cos(90?,x))是充分利用已知条件和诱导公式的关键(在(2)中必须正确掌握分段函数求值的方法( 【解】(1)f(sin x),f(cos(90?,x)),cos9(90?,x) =cos(2?360?，90?,9x),cos(90?,9x) =sin9x; ,1( 例1 已知角α的终边上一点P(-15α，8α)(α?R，且α?0)，求α的各三角函数值( 分析 根据三角函数定义来解 A(1 B(0 C(2 D(-2 例3 若sin2α,0，且cosα,0，试确定α所在的象限( 分析 用不等式表示出α，进而求解( 解 ?sin2α,0，?2α在x或x象限，即2kπ,2α,2kπ+π，k?Z) 当k为偶数时，设k=2m(m?Z)，有 当k为奇数时，设k=2m+1(m?Z)有 ?α为x或x象限的角 又由cosα,0可知α在x或x象限( 综上所述,α在x象限( 义域为{x|x?R且x?kπ，k?Z} ?函数y=tgx+ctgx的定义域是 说明 本例进一步巩固终边落在坐标轴上角的集合及各三角函数值在每一象限的符号，三角函数的定义域( 例5 计算 222(1)asin(-1350?)+btg405?-(a-b)ctg765?-2abcos(-1080?) 分析 利用公式1，将任意角的三角函数化为0,2π间(或0?,360?间)的三角函数，进而求值( 222解 (1)原式=asin(-4?360?+90?)+btg(360?+45?)-(a-b)ctg(2?360?+45?)-2abcos(-3?360?) 222=asin90?+btg45?-(a-b)ctg45?-2abcos0? 222=a+b-(a-b)-2ab =0 2例1 已知p:x,x是方程x，5x,6,0的两根,q:x，x,,5,则1212 p是q的 [ ] A,充分但不必要条件 B,必要但不充分条件 C,充要条件 D,既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换, 2解 ?x,x是方程x，5x,6,0的两根, 12 ?x,x的值分别为1,,6, 12 ?x，x,1,6,,5, 12 因此选A, 说明:判断命题为假命题可以通过举反例, 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A,p:3x，2,5,q:,2x,3,,5 B,p:a,2,b,2,q:a,b C,p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D,p:a?0,q:关于x的方程ax,1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价, 解 对A,p:x,1,q:x,1,所以,p是q的既不充分也不必要条件; 对B,pq但qp,p是q的充分非必要条件; 对C,pq且qp,p是q的必要非充分条件; 对(且，即，是的充要条件(选(DpqqppqpqD,,, 说明:当a,0时,ax,0有无数个解, 例3 若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的 充要条件,则D是A成立的 [ ] A,充分条件 B,必要条件 C,充要条件 D,既不充分也不必要条件 分析 通过B、C作为桥梁联系A、D, 解 ?A是B的充分条件,?AB? ?D是C成立的必要条件,?CD? ?是成立的充要条件，??CBCB, 由??得AC? 由??得AD, ?D是A成立的必要条件,选B, 说明:要注意利用推出符号的传递性, 例4 设命题甲为:0,x,5,命题乙为|x,2|,3,那么甲是乙的 [ ] A,充分不必要条件 B,必要不充分条件 C,充要条件 D,既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定, 解 解不等式|x,2|,3得,1,x,5, ?0,x,5,1,x,5,但,1,x,50,x,5 ?甲是乙的充分不必要条件,选A, 说明:一般情况下,如果条件甲为x?A,条件乙为x?B, 当且仅当时，甲为乙的充分条件;AB, 当且仅当时，甲为乙的必要条件;AB, 当且仅当A,B时,甲为乙的充要条件, 例5 设A、B、C三个集合,为使A(B?C),条件AB是 [ ] A,充分条件 B,必要条件 C,充要条件 D,既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析,请同学们自己画图, (B?C), ?A 但是,当B,N,C,R,A,Z时, 显然A(B?C),但AB不成立, 综上所述:“AB”“A(B?C)”,而 “A(B?C)”“AB”, 即“AB”是“A(B?C)”的充分条件(不必要),选A, 说明:画图分析时要画一般形式的图,特殊形式的图会掩盖真实情况, 例6 给出下列各组条件: 22(1)p:ab,0,q:a，b,0; (2)p:xy?0,q:|x|，|y|,|x，y|; 2(3)p:m,0,q:方程x,x,m,0有实根; (4)p:|x,1|,2,q:x,,1, 其中p是q的充要条件的有 [ ] A,1组 B,2组 C,3组 D,4组 分析 使用方程理论和不等式性质, 解 (1)p是q的必要条件 (2)p是q充要条件 (3)p是q的充分条件 (4)p是q的必要条件,选A, 22说明:ab,0指其中至少有一个为零,而a，b,0指两个都为零, ,x3,,x,，x6112例7是的条件( ,,x3,xx,9212,, 分析 将前后两个不等式组分别作等价变形,观察两者之间的关系, 解,且,，,且,，但当取,，,时， x3x3xx6xx9x10x2,12121212 ,,xx，,6x,3121 成立，而不成立,与,矛盾，所以填“充分不(x2x3),,22xx,9x,3122,, 必要”( ,x3,,x30,,11说明: , ,,x3,x30,,22,, ,(x3)(x3)0,，,,12,,,(x3)(x3)0,,,12, ,xx6，,12这一等价变形方法有时会用得上(,xx3(xx)90,，，,1212, 例8 已知真命题“a?bc,d”和“a,be?f”,则“c?d”是“e? f”的________条件, 分析 ?a?bc,d(原命题), ?c?da,b(逆否命题), 而a,be?f, ?c?de?f即c?d是e?f的充分条件, 答 填写“充分”, 说明:充分利用原命题不其逆否命题的等价性是常见的思想方法, 2例9 ax，2x，1,0至少有一个负实根的充要条件是 [ ] A,0,a?1 B,a,1 C,a?1 D,0,a?1或a,0 分析 此题若采用普通方法推导较为复杂,可通过选项提供的信息,用排 除法解之,当a,1时,方程有负根x,,1,当a,0时,x, 1 ,(故排除、、选(ABDC2 1 解常规方法:当,时，,,( a0x2 当a?0时 ,,,244a21a0ax2x100(,，则，，,至少有一个负实根,, 2a,,,21a0a1,,,?(2 ,，,244a22a0ax2x100(,，则，，,至少有一个负实根,,2a ,,,221a21a1a0,,,,,,( 综上所述a?1, 2即ax，2x，1,0至少有一个负实根的充要条件是a?1, 说明:特殊值法、排除法都是解选择题的好方法, 例10 已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条 件,那么s,r,p分别是q的什么条件？ 分析 画出关系图1,21,观察求解, 解 s是q的充要条件;(srq,qs) r是q的充要条件;(rq,qsr) p是q的必要条件;(qsrp) 说明:图可以画的随意一些,关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关 系, 例x 关于x的不等式 22()()aa，,112|x|x3(a1)x2(3a1)0A,?与,，，，?的解集依次为 22 与，问“”是“??或,,”的充要条件吗,BAB1a3a1, 分析 化简A和B,结合数轴,构造不等式(组),求出a, 2解 A,{x|2a?x?a，1},B,{x|(x,2)[x,(3a，1)]?0} 1 当?，即?时，23a1a3 B,{x|2?x?3a，1}, ,2a2? AB,,,1a3??,2a+13a+1?, 1当,，即,时，23a1a3 B,{x|3a，1?x?2} ,2a3a+1? AB,,,a1,,(,2a+12?, 综上所述:,,或??(ABa11a3,, ?“”是“??或,,”的充要条件(AB1a3a1, 说明:集合的包含关系、命题的真假往往不解不等式密切相关,在解题 时要理清思路,表达准确,推理无误, 11例,，,是,的必要条件还是充分条件，还是充12 xyxy0 xy 要条件？ 分析 将充要条件和不等式同解变形相联系, 1111yx,解(当,时，可得,,即, 100 xyxyxy ,yx0,,,yx0,, 则或,,xy0,xy0,，,, ,,xy,x,y 即或,,xy0,xy,，0,, ,xy,11故,不能推得,且,有可能得到xyxy0()xyxy，即,且,xyxy,0, 11,并非,的必要条件(0xy ,,xy,xy, ,,2xyxy0(当,且,则分成两种情况讨论:x0,或x0,,, ,,y0,y0,,, 11 不论哪一种情况均可化为,(xy 11?,且,是,的充分条件(xyxy0xy 说明:分类讨论要做到不重不漏, 2例13 设α,β是方程x,ax，b,0的两个实根,试分析a,2且b,1是两根α,β均大于1的什么条件？ 分析 把充要条件和方程中根不系数的关系问题相联系,解题时需 要搞清楚条件与结论分别指什么(然后再验证是还是还是pqpqqp,, pq,( ,a2, 解据韦达定理得:, abpα，β，,αβ，判定的条件是:,b1,, ,α,12结论是:q(paba4b还要注意条件中，，需要满足大前提Δ,,, 1β,, ?0) ,α,1 (1)由得,a2b1α，β,，,αβ,，,β,1, ?qp, 上述讨论可知:a,2,b,1是α,1,β,1的必要但不充分条件, 说明:本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用, 例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必 要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么 [ ] A,丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B,丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C,丙是甲的充要条件 D,丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 分析1:由丙乙甲且乙丙,即丙是甲的充分不必要条件, 分析2:画图观察之, 答:选A, 说明:抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便 例1 已知函数y=f(x)，将f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变， 析式是 [ ] 结果与D相同，故选D( 例2 (3)函数f(x)=lg(sin2x)的增区间为______; (4)函数f(x)=|sinx|的增区间为______( 分析 基本方法是转化为y=sinx与y=cosx的单调区间的求法(但既要注 意定义域，还要注意复合函数的单调性质的运用( 解 2A=3-(-5)=8，A=4 所得点的纵坐标伸长(A,1)或缩短(0,A,1)到原来的A倍((横坐标不变) 再将图象上所有点向上b,0或向下b,0平移|b|个单位，同一周 1(已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值( 解 ?sinα,0 ?角α在x或x象限(不可能在y轴的负半轴上) (2)若α在x象限，则 说明 在解决此类问题时，要注意: (1)尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号( (2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)( (3)必要时进行讨论( 例2 已知sinα=m(|m|?1)，求tgα的值( (2)当m=?1时，α的终边在y轴上，tgα无意义( (3)当α在?、?象限时，?cosα,0( 当α在第?、?象限时，?cosα,0， 说明 (1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况( (2)本题在进行讨论时，为什么以cosα的符号作为分类的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，而不按 sinα的符号(即m的符号)来分类讨论呢,你能找到这里的原因并概括出所用的 技巧吗, 2(三角函数式的化简 三角函数式的化简的结果应满足下述要求: (1)函数种类尽可能地少( (2)次数尽可能地低( (3)项数尽可能地少( (4)尽可能地不含分母( (5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来( 化简的总思路是:尽可能地化为同类函数再化简( 22 化简sin例3α?tgα+cosα?ctgα+2sinαcosα cscα =secα? 22解2 原式=(sinα?tgα+sinα?cosα)+(cosα?ctgα+sinαcosα) 2222=tgα?(sinα+cosα)+ctgα(sinα+cosα) =tgα+ctgα =secα?cscα 说明 (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的( (2)解2中的逆用公式将sinα?cosα用tgα表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用( 例4 化简: 分析 将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简( 3(三角恒等式的证明 证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开始的——这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始( 例5 求证 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα( 分析 从复杂的左边开始证得右边( =2cosα-3tgα=右边 例6 证明恒等式 2466(1)1+3sinαsecα+tgα=secα 322(2)(sinA+ secA)+(cosA+cscA)=(1+secAcscA) 分析 (1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简 6624证明 (1)右边-左边=secα-tgα-3sinαsecα-1 22422224=(secα-tgα)(secα+secα?tgα+tgα)-3sinαsecα-1 4222=(secα-2secαtgα+tgα)-1 222=(secα-tgα)-1=0 ?等式成立( 22=sinA+cosA=1故原式成立 在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系(实际上，将不同的角化 为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的 种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用( 分析1 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类( 2分析2 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)，进而可以约分，达到化简的目的( 说明 (1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类( (2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列( =secα+tgα ?等式成立 22说明 以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用secα-tgα代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢,很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”——即证明“左边-右边=0” ?左边=右边