【doc】四面体对棱的夹角公式及其应用

【doc】四面体对棱的夹角公式及其应用 四面体对棱的夹角公式及其应用 福建中学数学2011年第4期 结论若Y=/()在[a,b】上的最小(大)值为m (M),且存在Xo?【口,bI使f(xo)=m(f(xo)=M), 则原命题等价于f(x)m(f(x)?M)在[a,b】恒成立. 4.试题欣赏 4.1视角新颖背景公平 本题以新颖的视角,创新的手法将三角函数, 函数,导数与不等式进行精心的构思和艺术化的布 局,要求解题者通过观察,探索,合理转化进行进 一 步推理,让学生处在相同的知识背景和思维起点 上进行思考,体现了背景公平的命题原则. 4.2考察功能丰富 本题的考点丰富,从知识层面,考察了三角函 数,导数,函数和不等式等众多知识点,体现了小 题综合化的命题趋势;从思想方法层面,考察了函 数思想,分类讨论思想和转化与化归思想等;从能 力角度,考察了学生观察能力,快速计算能力和理 解领悟能力;从素质潜能方面,对考生的思维品质, 个性品质,心理素质以及进一步学习的潜能作了全 面有效的 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 . 4.3难度恰当区分度高 本题作为竞赛题的填空题,担负着一定的选拔, 区分功能,难度 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 恰当合理,区分度高.对综合 能力强,素质高,善思的优生,需要较小的运算即 可很快做出准确答案.对那些不善于思考的学生, 则需要严密的逻辑分类能力和很强的运算能力才能 解答.而这两类学生可以说是数学能力强的学生, 正是我们高校需要的优等生.而对于成绩一般和F 等的学生,即使花较多的时间也未必能得到正确答 案.不同层次的学生答对几率不同,花去的考试用 时不同,这正是竞赛命题所想要达到的效果. 5.教学启示 5.1倡导自主探究性学习 自主探究性学习,要求学生在探究活动过程中 主动的获取知识和体验,用相关知识去解决实际问 题的学习活动,这样不但从根本上改变了学生的学 习方式,而且发展了学生一系列的相关能力,所以 在实际教学中对不同 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 采取不同形式的探究式教 学,逐步培养学生有关探究的多种能力,使学生从 引导探究走向自主探究,最终要使学生形成能够自 主学习和终身学习的能力. 5.2抓基础,培养能力,练就坚韧品质 牢固掌握,灵活运用基础知识,练好扎实的数 学基本功,无疑是解决好问题的关键.这次测试中, 不少学生及同行都已作过一些尝试,但往往是知难 却步,缺乏信心算到底.笔者同样遭遇此劫,但同 时又觉得思路既是正确的,所遇函数也是初等函数, 其求导亦可进行,于是又满怀信心,硬着头皮进行 下去,抓住求极值点的关键,小心推算,明确分类, 终于一一突破,这里倒是需要一种锲而不舍的坚韧 气质,需要一种"再坚持一下必胜"的自信与气势,这 种"搏劲"与"韧性"对于战胜困难获取成功则是极为 必需的.这正是数学竞赛的目的和意义所在.经过 几年的苦练与坚持,不仅有效的加强了数学基础, 又大大提升了数式的变形能力,领受了艰苦奋斗后 的愉悦与成就感,也极大地增强了学习研究数学的 兴趣. 5.3重视思想方法的渗透,提高学生数学素养 在教学中注重渗透函数与方程思想,数形结合 思想,分类整合思想和化归与转化思想等数学思想 方法.数学的精华在于数学思想方法,思考问题的 支撑点也是数学思想方法,只有内化了数学思想方 法,才能做到举一反三,触类旁通,真正提高数学 素养. 四面体对棱的夹角公式及其应用 方志平广东省惠州市第一中学(516007) 用几何的方法求异面直线所成的角,我们往往 是先通过平移异面直线到相交位置,再找出异面直 线所成的角,然后由三角知识求出异面直线所成角 的函数值或求出角的大小.由于四面体的任何一组 对棱都是异面直线,因而我们以四面体为载体,把 异面直线放在四面体的对棱所在的位置,利用四面 体对棱的夹角公式可求解异面直线所成的角.现阐 述如下: 2011年第4期福建中学数学45 1.四面体对棱的夹角公式 在四面体ABCD中,若AC与BD所成的角为0, 则COS0(AB+CD一(BC+DA1 2AC.BD 证明如图1,cos<一AC厕DR>: lACl?IDB 2. 一 2}1.}历l' ? . ? 2.历:.+.历 = (+)+?(+) :.+.+.+.面 :.一.+砑.面一. =- (一)+?(一) : (+)-(一)+(面+)?(一) = (一)+(一) = (】i)一(f『), . ? .cos, ,: 即COS0=(AB+CD)一(Bc+DA) 图1 2C-D C 图2 2.夹角公式的应用 例1(希望杯第十二届高二第二试第3题)正四 面体的侧面三角形的高线中,其"垂足"不在同一侧面 上的任意两条所成角的余弦值是 A.一1B .一 1C . 三D. 三 3234 解如图2,'.ABCD是正四面体,AEj_CD, CF上AB,设正四面体的棱长为2,连接EF,则 AC:2,AF:CE:1,AE:CF:,: : ?2,在四面体AECF中,设高线AE,CF所成的 角为0,则 ..:l:?:!二:?::三. 2AE?C'3 评注本题关键是在于把AE,CF放在一个棱长 都易求的四面体的一组对棱上,不难发现连接, 得AECF正是我们寻找的一个四面体. 例2(2010年浙江省高中数学竞赛试题)在正 三棱柱ABC—AB1G中,AB=~C2BB,则c与CLB所 成的角的大小是 A.6O.B.75:C.90D.105 解如图3,连接AB,设BBi=,/2,则 AB=~2BB1=2,GB=CA=AlB=46,BC=4cI:2, co,=?2.在四面体A,BC中,设c与CiB所成的 角为0,则 COS0(A:B+CCI)一(lG+BC) 2CAl'B :!:0, 246×46 . ' .0=90.. 评注此题图中c与C,B虽然是正三棱柱两个 侧面对角线,但连接AB后,和CIB却是四面体 A.Bclc的一组对棱,且四面体A~BC1C所有棱长均可 求,故用四面体对棱的夹角公式可求异面直线CAl与 所成的角的大小. 图3图4 例3(2008年福州市第30届高中数学竞赛题) E为正四面体ABCD棱的中点,是棱AD上一 点,且AF:2 ,若CE与所成角为,则 S1n.=. 解如图4,连接EF,CF,设正四面体ABCD棱 长为6,在?EF中, EF:AE2+AF2—2AE.AF.COSZEAF 福建中学数学2011年第4期 :: ?, 在zxCDF中, CF=x]CD+DF一2CD.DF.COSCDF = ?6+2一2×6×2×COS60=2?7, BF=CF=2,BE=3,CE=×6=3, 在四面体BCFE中, l(EF+BC)一(BE+CF)ICOS(:二—————————————————一——— ——— 2CE?BF 』(13+6.)一(3+28)『 2×3,/5x221' . ? . ===. 评注本题关键是要构造一个使得CE与BF成 为四面体的-Jl组对棱,且该四面体所有棱长均可求, 显然连接CF得到一个四面体BCFE符合要求, 然后借助四面体对棱的夹角公式可求异面直线CE 与所成角的余弦值,进而求出该角的正弦值. 综上所述,任何一对异面直线,我们以四面体 为载体,只要能恰当地把这对异面直线放在一个四 面体的一组对棱的位置,且该四面体所有棱长均可 求,就能解决这对异面直线所成角的问题. 动态几何软件辅助下的变式训练初探 莫伟昌潘飚 福建师范大学数学与计算机科学学院(350007) 1.变式训练与动态几何软件 1.1变式训练及共存在的问题 变式训练是我国数学课堂教学中常用的一种训 练方式.在训练中,我们首先通过不断改变或交换 问题中条件和结论而形成新问题,然后让学生通过 对这一系列变式问题的解答以达到熟练掌握某个知 识,获得某种技能,获得某种思想方法以及提升思 维的严谨性和创造性的目的.可以说,它是重视基 础和发展能力的结合点.变式训练一般包含三个过 程:对原问题变式,对问题进行解答和 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf .第一 个过程,实质是数学问题命制或提出假设的过程.在 这个过程中经常会出现一些问题:第一个是,我们 经常采用一些变式的范式(如条件一般化,交换条 件和结论等),但是有时候因为只注意到形式的变 化,却忽视了问题本身的科学性,如变式问题中出 现已知条件问的相互矛盾的情况(文献[1]).这样的 变式,首先是降低了整个变式训练的效率,并且训 练本身也失去了意义.第二个是,变化漫无边际, 没有方向,忽视"变"是为了"不变",造成变式训练效 率的低下.第三个是,问题的变式完全由教师包 办.这样就使得学生失去了提高问题变式意识和能 力训练的机会,而这样的意识和能力在解决复杂问 题时尤为重要(波利亚,舍菲尔德). 1.2应对策略和动态几何软件 针对上述问题,我们需要找到一种方法,一是 能使学生参与到问题变式中,即激发学生去猜想, 去提出假设;二是能快速地对变式的问题(学生或 教师的猜想)进行科学性的检验,以提高效率.动 态几何软件的特点就是直观化,动态化和精确化, 既有图形又有相应的数据.对它的恰当使用,在一 些数学问题的变式训练中,可以很好地满足以上两 个要求.本文以圆锥曲线为问题背景,展现动态几 何软件(几何画板5.0为例)在变式训练中(主要是第 一 个过程)不町替代的作用. 2.问题及其在几何画板上的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 征 在抛物线C:Y=4x(条件t1)上,过顶点(条 件t2)的两条动直线与抛物线的交点为A,B两点, 若两直线相互垂直(条件t3),证线段AB与抛物线 对称轴的交点是一个定点(结论1). 利用几何画板对问题表征如下: 画抛物线,顶点D为原点,焦点F为(0,1),在 抛物线取动点,做射线OA,测量OA斜率,为; 过点0做直线交抛物线于B,使得OB的斜率有 ‰×=一1.求证:动线段AB的交点是在X轴上 定点. 如图1,拖动点A,追踪线段AB和点A,可以 观察到动线段AB交点在X轴上,且可以马上测量出 定点坐标.而这样的表征对后面的变式是至关重要 的.严格证明如下: