关于分形理论的哲学思考

关于分形理论的哲学思考 李后强 文章来源：摘自《自然辩证法研究》，1993年第4期 来自科学哲学的情报表明，一些富于探索精神的哲学家们，正在试图把分形的概念和思想抽象为一种方法论，它是一种辨证的思维方法和认识方法。部分与整体的关系是一对古老的哲学范畴，也是分形理论的研究对象。把复杂事物分解为要素来研究是一条方法论原则——简单性原则。哲学史上，人们很早就认识到，整体由部分组成，可通过认识部分来映象整体。系统中每一个元素都反映和含有整个系统的性质和信息，即元素映现系统，这可能是分形论的哲学基础之一。 从分析事物的视角方面来看，分形论和系统论分别体现了从两个极端出发的思路。它们之间的互补恰恰完整地构成了辨证的思维方法。系统论由整体出发来确立各部分的系统性质，它是沿着宏观到微观的方向考察整体与部分之间的相关性。而分形论则相反，它是从部分出发确立了部分依赖于整体的性质，沿着微观到宏观的方向展开的。系统论强调了部分依赖于整体的性质，而分形论则强调整体对部分的依赖性质。于是二者构成了“互补”。 分形论的提出，或许具有以下几个方面的意义。 首先，它打破了整体与部分之间的隔膜，找到了部分过渡到整体的媒介和桥梁即整体与部分之间的相似。其次，分形论的提出，使人们对整体与部分的关系的思维方法由线性进展到非线性的阶段，并同系统论一起，共同揭示了整体与部分之间多层面、多视角、多维度的联系方式。分形论从一个新的层面深化和丰富了整体与部分之间的辨证关系。再次，分形论为人们认识世界提供了一种新的方法论，它为人们从部分中认知整体，从有限中认知无限提供了可能的根据。最后，分形论的提出进一步丰富和深化了科学哲学思想中的关于普遍联系和世界统一性的原理。这主要表现在两个方向：一是分形论从一个特定层面直接揭示了宇宙的统一图景，同时，分形论所揭示的整体与部分的内在联系方式，是对宇宙普遍联系与内在统一的具体机制的一种揭示。恩格斯曾经把存在于自然、社会和思维中的普遍联系称之为“一幅由种种联系和相互作用无穷无尽地交织起来的画面。”这种联系的普遍机制应包括分形论。二是关于世界物质统一性，分形论可以从共时态与历史性两个维度上展开说明：一方面在自然界中蕴涵着历史的演化与嬗变的信息，另一方面部分与分形整体之间普遍的相似性编织了一张世界统一的网络。 分形论的产生，也是古代哲学思想在近代自然科学中的重现和历代思想家们智慧火花的积累。古老的宗教典籍《华严经》中心主题是所有事物和事件的统一及相互关系。她是大乘佛教的核心，也包括着朴素神秘的分形思想。这在因陀罗网的隐喻中表现很充分。用查尔斯·埃利奥特爵士的话说： 据说在因陀罗的天堂里有一张宝石的网，你可以从其中的一个看到反映出来的其他所有宝石。世界上每一个物体也是一样。它不仅是自身，而且包含着其他所有物体，实际也就是其他物体。“在每一粒灰尘中都显现出无数的佛。” 关于因陀罗网的隐喻可以说是东方圣贤在2500多年前提出的一个自相似分形模型。每一部分都与其他部分相似并包含整体的信息的思想在《易经》、《皇帝内经》中也有反映。不仅如此，在西方的思想里也有自相似的影子。例如，威廉·布莱克就有这样著名的诗句： 从一粒砂看整个世界，一砂一世界 从一朵野花看整个天堂。一花一天堂 用手掌把握永远，手中有无限 在一刻钟把握永恒。 在莱布尼兹的哲学中也出现了同样的想象。他把世界看成由基本的物质即“单子”所组成，它们每一个都反映了整个宇宙。莱布尼兹在他的《单子论》中写到： 物质的一部分都可以看成是一个长满植物的花园，是充满鱼的池塘。但是每一棵植物，每一只动物，它们的每一滴汁液也是这样的花园或者池塘。 这些表述与《华严经》有趣的相似是由于佛教徒对于莱布尼兹的实际影响。因此莱布尼兹通过传教士的译本对于中国的思想和文化有很好的了解。他的哲学很可能受到他所熟悉的朱熹新儒教派的影响。而这个学派的基础之一是华严宗。 宇宙的基本统一性不但是东方哲学的主要特征，而且也是现代物理学最重要的发现之一。在离子物理学中有一派认为，自然界的组成部分彼此组成，或者是自己的组成部分。这种观念是在S矩阵理论中产生的，被称为“靴袢假设”（自己依靠自己的意思）。杰弗里·丘把这种观念发展成关于自然的“靴袢”哲学。这种哲学使得现代物理学最终放弃了机械世界观，它把宇宙看成是相互关联事件的动态网络。在这张网络中没有任何部分的性质是基本的，它们都可以从其他部分的性质导出，它们相互关联的整体自洽性决定了整个网络的结构。靴袢哲学标志着自然科学的高峰，在相对论中获得了动态的含义，并在S矩阵理论中用反应概率的语言描述出来。这种自然观最接近东方的世界观，从它的一般哲学和物质的具体结构来说都与东方思想协调一致。道教认为，世界上所有现象都是道的一部分，而这种道是自然界固有的。《道德经》中有“人法地，地法天，天法道，道法自然”。这里的道，也可以认为是分形的实质，即自相似性和嵌套性。 由靴袢假说所产生的强子模型常常被概括成这样一句具有鼓动性的话：“每一粒子都由其他所有粒子组成”。这是S矩阵理论的动态和概率的意思上讲，每一个强子都是其他粒子组潜在的“束缚态”，这些粒子组的相互作用形成了所考虑的强子。因此，每一个强子的组成部分，它可以在组成部分之间进行交换，从而成为保持这种结构的力的一部分。在强子的靴袢中，所有的粒子都是彼此以自我一致的方式动态地组成的。从这个意思上讲，可以说互相“包含”着。自相似概念的来源与靴袢假设有关，但只提取了其精髓，而高于原始的靴袢思想。 古代哲学为分形论的诞生作好了思想准备，而分形论的创立则为现代哲学关于普遍联系和统一的原理提供了最新的数理科学根据。 分形与分形艺术 我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。【分形几何】则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的【自相似】图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。 分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 “分形” 一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。 Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的“蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。 图 1 Mandelbrot集合 图 2 Mandelbrot集合局部放大    图 3 Mandelbrot集合局部放大 Newton奠定了经典力学、光学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些方法，这些方法虽然比不上整个学科那么有名，但已被证明直到今天还是非常有价值的。例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。你猜测一个初始点，然后使用函数的一阶导数，用切线逐渐逼近方程的根。如方程 Z^6 + 1 = 0有六个根，用牛顿的方法"猜测"复平面上各点最后趋向方程的那一个根，你就可以得到一个怪异的分形图形。和平常的Julia分形一样，你能永远放大下去，并有自相似性。牛顿分形图形中的颜色显示每个答案的种类及性质，即迭代到目的地花费的时间，如图4所示： 图4 Newton分形 Paul Derbyshire研究牛顿分形图形时，他把Julia集合的常值C加入进去改变了一下算法，并用同样的方法去估算Z，逼近答案，产生奇特的并称之为"Nova"的分形图形。"Nova"类型分形图形如图5所示： 图 5 Nova分形 用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为“分形艺术”。“分形艺术” 以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 。这里值得一提的是对称特征，分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对称。同时她的自相似性又揭示了一种新的对称性， 即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。 这种对称不同于欧几里德几何的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。这一点与上面所讲的例子：“一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息”， 完全吻合。 不管你是从科学的观点看还是从美学的观点看，她都是那么富有哲理，她是科学上的美和美学上的美的有机结合。 把计算机产生的图形看成是艺术，有人可能要提出一些疑问。这些图形可以利用高品质的打印机产生任意多幅同样质量的“原作”，从而在商业化的艺术市场上造成混乱，因此她没有收藏价值，没有收藏价值的作品还能算得上是艺术吗？ 这是一个十分敏感的问题。早在六十年代初有些数学家和程序设计人员就开始利用计算机及绘图设备从事这方面的工作。但他们大部分人避免将自己的工作与“艺术”一词挂起钩来，以免与艺术界的人们发生冲突。但是有一些人还是挺着腰杆去面对批评，承认计算机是视觉艺术的一种新工具，称他们自己的方法为“计算机艺术”。在批评面前，他们没有受到影响。他们不顾理论界的反对而继续自己的探索。他们积累了大量令人难忘的成果。正因为他们的努力才出现了今天的PhotoShop、Corel DRAW等等著名的软件，以及各种计算机艺术团体组织。PhotoShop也成了某些美术专业学生的必修课。 当今时代出现的充满科技含量的“分形艺术”又不同于运用PhotoShop从事的计算机艺术创作。“分形艺术”是纯数学产物，是否能算得上艺术必然会引起新的争论。争论最活跃的问题是：分形图形是纯数学产物能算得上艺术吗？既然学习数学和程序设计就可以从事艺术创作了，学习美术专业还有什么用处呢？ 从事分形艺术创作的人要研究产生这些图形的数学算法，这些算法产生的图形是无限的。他们没有结束，你永远不能看见它的全部。你不断放大她们的局部，也许你可能正在发现前人没曾见到过的图案。这些图案可能是非常精彩的。她们与现实世界相符合，从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节，是完全可以用数学结构来描述的。另一个的问题是颜色，好的颜色选择，就可以得到一幅奇妙的图形。糟糕的选择，你得到的就是垃圾。所以说，创造分形艺术，最好再学一点绘画基础、色彩学等，那将是大有益处。 分形几何冲击着不同的学术领域，她在艺术领域显示出非凡的作用。创作精美的分形艺术是国内外分形艺术家们的人生追求，总有一天分形艺术会登上大雅艺术殿堂。 【资料来源】 1 2 3 分 形 几 何 学 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。 分形几何的产生 客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考 虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。 如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。 在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量时所使用的尺度。 如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。 数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。 这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。 电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。 法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支——分形几何学。 分形几何的内容 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。 维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。 分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。 当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直 线的维数为 1(大于0、小于2)。 对于我们上面提到的“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的维数是1.2618……。 分形几何学的应用 分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1。 在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。 自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。 有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。 近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。 分形几何的大事纪 文艺复兴时期著名艺术家、科学家丢勒(Albert Durer，1471-1528) 基于正五边形向外无穷复制，生成了一个分形体。 1827年英国植物学家布朗(R. Brown,1773-1858) 用显微镜发现微细颗粒在液体中作无规行走 ，此现象被称为布朗运动。后来科学家对布朗运动进行了多方面的研究，维纳(N.Wiener， 1894-1964)等人在此基础上创立随机过程理论。进入80年代，人们以分形的眼光看待布朗运 动，并与“列维飞行”(Levy flight)相联系，找到了确定论与随机论的内在联系。 学过微积分的人都知道，函数的可微（即可求导数）性与连续性有内在联系。两者的关系是可 微的函数必定连续，但连续的函数未必可微。一个简单的例子就是函数y=｜x｜在x=0处连续，但不可微。这个函数只有这么一个特别的点，除此以外其他点都可微。有 的函数在有限个点处是不可微的，也有更特别的函数，它们几乎处处不可微 1860年，瑞士一个名气不算大的数学家塞莱里埃(C.Cellerer,1818-1889)在课堂上向皮克太 特(R.Pictet)等学生讲解：“连续函数必定可微”的流行观念是错误的，并给出了一个类似 维尔斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass,1815-1897)函数的反例。黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1 866) 的学生曼海姆 (J. H. Manheim) 等人回忆说，大约在1861年，黎曼在讲座中提到了类似的 例子，但未发表。 不过，1970年有人证明，塞莱里埃函数和黎曼函数不同于维尔斯特拉斯函数，它们不是处处 不可微的，在某些点上它们是有导数的。 1872年7月18日，维尔斯特拉斯向柏林科学院报告了分析学中的一个反例--一个处处连续、 但处处不可微的三角函数级数，即著名的维尔斯特拉斯函数。不过此函数直到1875年才由 杜布瓦-雷蒙(E. du Bois-Reymond)正式发表出来。 据考察，在维尔斯特拉斯之前，已有不少数学家知道存在所谓的“维尔斯特拉斯函数”，但 都耻于发表它!因为它破坏了分析学的完美性。大约在1834年波尔查诺(B.Bolzano，1781-18 48)构造过类似的函数，但他可能并不知道它有那样“可怕的”性质。 1883年，康托尔(G.F.P.Cantor,1845-1918)构造了三分集，也叫康托尔非连续统(Cantor di scontinuum)。它与实直线是相对立的，当时人们觉得它几乎是病态的。如今它已成为分形 几何学的最典型、最简单的模型。 1890年，皮亚诺(G. Peano,1858-1932)提出充满空间的曲线——皮亚诺曲线。 1891年，希尔伯特(D. Hilbert,1862-1943)在《数学年刊》(Mathematische Annalin )上发表短文，提出了能充满平面区域的著名的希尔伯特曲线。 1904年，瑞典数学家柯赫(H. von Koch,1870-1924)构造出柯赫雪花曲线。 1915-1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski, 1882-1969)构造了谢氏曲线、海绵、 墓垛。谢氏地毯是平面万有曲线(plane universal curve),谢氏海绵是空间万有曲线。奥地 利数学家门格尔(K.Menger)证明，任何曲线都可嵌入谢尔宾斯基地毯中。 1918年，康托尔去世。 1919年，豪斯道夫(F. Hausdorff, 1868-1942) 给出维数的新定义，为维数的非整化提供了 理论基础。 1918-1920年左右，法国数学家朱丽亚(G.Julia,1893-1978)、法图(P. J. L. Fatou, 1878-1929 ) 研究复迭代。朱丽亚于1918年(当时他25岁)在《纯粹数学与应用数学杂志》上发表了长达1 99页的杰作，一举成名。 1924年11月20日芒德勃罗生于波兰。 1925年柏林大学的克莱默(H. Cremer) 组织讨论班学习朱丽亚的工作，并首次手工绘制了朱丽 亚集的图象。 1926年，洛特卡(A.J.Lotka,1880-1949) 提出洛氏定律。里查逊就“风”是否具有一定的速 度发表议论。 1932年，庞特里亚金(L. S. Pontryagin,1908- )给出盒维数的定义。 1934年，贝塞克维奇(A. S. Besicovich,1891-1970)给出维数新定义。 1936年芒德勃罗全家迁到巴黎。大约在1945年，他的叔叔芒德勃罗伊(S.Mandelbrojt,1899- 1983)向他介绍了朱丽亚的工作，但当时他并不喜欢朱丽亚那一套。可是大约在1977年，芒 德勃罗自觉地回到了朱丽亚的论文里汲取营养。 40年代末齐夫(G.K.Zipf，1902-1950)总结出不同语言中词频分布的幂律关系。 1954年，波兰数学家斯坦因豪斯(H.Steinhaus,1887-1972) 讨论“长度”悖论，引起芒德勃 罗注意，芒氏在1967年的“海岸线”文章中引用过此文。 1961，1963，1965年芒德勃罗开始研究棉花价格，帕累托(V. Pareto,1848-1923) 收入分布。 1967年，芒德勃罗在《IEEE信息理论学报》上发表论文《具有1/f谱的某些噪声，直 流与白噪声之间的一座桥梁》。 1967年芒德勃罗在《科学》上发表题为《英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维数》的 著名论文。 1968年美国生物学家林德梅叶(A.Lindenmayer,1925-1989)提出研究植物形态与生长的“L系 统”方法。1990年普鲁辛凯维奇(P.Prusinkiewicz)与林氏出版《植物的算法美》(The Algorithmic Beauty of Plants)一书。史密斯(A.R.Smith)等人80年代将L系统引入计 算机图形学，L系统从此广为人知。现在，L系统是生成分形图形的最典型方法之一。 1975年，芒德勃罗创造分形(fractal)一词，以法文出版专著《分形对象》；沃斯(R.F.Voss ,1948- )用分形的思想研究音乐中的1/f噪声问题。沃斯在计算机上制作出“分形山 脉”(被芒氏引作1977年专著的封底)。 1977年，芒德勃罗出版英文版专著《分形：形、机遇与维数》，它是1975年法文版《分形对 象》的增补本。 1977年9月在英国塞尔福特(Salford)举行颗粒粒度分析会议，分形思想引入粒度分析。 1981年，美国洛斯阿拉莫斯(Los Alamos)国立实验室成立非线性研究中心(CNLS)，以后世界 各国相继成立许多非线性科学中心。 1981年维腾(T.A.Witten)和桑德(L.M.Sander)提出著名的DLA分形生长模型。 1982年，芒德勃罗出版《分形：形、机遇与维数》一书的增补版，改名《大自然的分形几何 学》。 80年代初，弗尔聂(A.Fournier)、富塞尔(D.Fussell)、卡本特(L.Carpenter)将分形图形推 向好莱坞影视业，主要影片有《星际旅行之二：可罕之怒》(Star Trek Ⅱ：The Wrath of Khan)、《最后的星球斗士》(The Last Starfighter)。 1982年，道阿弟(A.Douady)和哈伯德(J.H.Hubbard)等证明芒德勃罗集是单连通的。 1983年格拉斯伯格（P.Grassberger)和普洛克西娅(I.Procaccia, ~cfprocac/ home.html）提出了从实验数据序列求分维的算法，现在通称为G-P算法。 1984年《数学信使》(The Mathematical Intelligencer)杂志和德国的《GEO》杂志 刊登布来梅大学动力系统研究小组的分形艺术图片。 1985年，芒德勃罗荣获巴纳杰出科学贡献奖章(Barnard Medal for Meritorious Service t o Science)。1985年5月，芒氏受邀请去布来梅大学为分形艺术图形展览揭幕。 1985年法尔柯内(K.J.Falconer)的专著《分形集的几何学》(The Geometry of Fractal Sets)出版。 1985年昂伯格（D.K.Umberger）和法默（J.D.Farmer）提出胖分形(fat fractal)概念。胖 分形是指具有分形边界且勒贝格(H.L.Lebesgue,1875-1941)测度不为零的集合。胖分形的勒 贝格测度为非零有限值，维数为整数而且与所在的欧氏空间维数相等。分维已经不是描述胖 分形的敏感参数，需要引入胖分形指数来刻画它。 80年代中期美国洛斯阿拉莫斯非线性科学中心将非线性科学要研究的问题归纳为三个方面： 1)孤子和拟序结构；2)混沌和分形；3)斑图(patterns)的形成。 1986年，芒德勃罗荣获富兰克林奖章。 1986年北京大学成立非线性科学中心，挂靠在力学系。 1986年培特根(H.-O.Peitgen,1945- )和里希特(P.H.Richter)出版《分形之美：复动力系 统图象》画册，书中包括88幅全彩色分形图形，分形图形艺术正式诞生，此书1987年荣获“ 杰出技术交流奖”(Distinguished Technical Communication Prize)。 1986年迪万内(R.L.Devaney,1948- )的专著《混沌动力系统导论》(Introduction to Ch aotic Dynamical System)出版，该书以很大篇幅讲述与分形有关的复解析动力学。 1985-1988年，巴恩斯利(M.F.Barnsley,1946- )等人研究迭代函数系统(IFS)，试图解决图 形生成的逆问题--对已知图象找分形压缩算法，创建分形图形公司，分形技术开始推向市 场，1988年出版专著《处处得分形》(Fractal Everywhere)。 1987年芒德勃罗荣获亚历山大·洪堡奖(Alexander von Humboldt Prize)，1988年荣获斯坦 因迈兹奖章(Steinmetz Medal)。 1988年费德(J.Feder)著《分形》一书出版。 1988年，纽约时报记者格莱克(J.Gleick,1954- , )著畅销书《混沌：开创新科学》(Chaos:Making a New Science)出版，该书先后被译成近20种文字，书中收有多幅彩色分形图片。 1989年芒德勃罗荣获哈维(Harvey)奖。 1989年7月在成都四川大学召开“第一届全国分形理论及应用学术讨论会”。1991年11月在 武汉华中理工大学召开第二届会议。1993年10月在合肥中国科技大学召开第三届会议。 1990年英国成立了一家利用混沌/分形理论生产并出售计算机艺术品的商店“Strange Attra ctions”。 1990年李后强(1962- )、程光钺著《分形与分维》由四川教育出版社出版。 1991年英国创办国际学术性刊物《混沌、孤子和分形》(Chaos,Soliton and Fractals )。 1991年芒德勃罗荣获内华达奖章(Nevada Medal)。 1991年底中国国家攀登 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 “非线性科学”项目(“八五”期间1991-1995)启动，到1995年 五年总资助金额498万，首席科学家为谷超豪(1926- )教授，挂靠单位为北京大学非线性科 学中心。“八五”期间在该项目资助下共发表论文1111篇，被《科学引文索引》(SCI)收录3 84篇。 1992年崔锦泰(C.K.Chui)著《小波导论》(An Introduction to Wavelets)在美国出 版。小波(wavelet)分析与分形联系日益紧密。 1993年新加坡创办国际学术性刊物《分形》(Fractals)。 1993年李后强、汪富泉(1955-)著《分形理论及其在分子科学中的应用》由科学出版社出版 。 1993年李后强等主编《分形理论的哲学发轫》由四川大学出版社出版。 1993年芒德勃罗荣获沃尔夫物理学奖(Wolf Prize in Physics)。1994年11月17日芒德勃罗 荣获本田奖(Honda Prize)。 1995年美国佐治亚理工学院著名学者、“混沌传教士”福特(Joseph Ford)不幸去世。在去 世前不久，他还热情地回答了作者的一些问题，并寄来许多材料。为表示对福特的纪念，作 者特别求助朋友用Internet传来一幅彩色照片(见左图)。福特去世的讣文发表在《今日物理 学》(Physics Today)1995年10月号。 1995-1996年中国科协“青年科学家论坛”两次举行非线性科学研讨会。 1995年王东生、曹磊著《混沌、分形及其应用》由中国科学技术大学出版社出版。 1996年北京大学非线性科学中心创办英文杂志《非线性科学与数值模拟通讯》(Communic ations in Nonlinear Science & Numerical Simulation)，在Internet上发行，由陈 耀松(1928- )任主编。此杂志现已被美国《 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 索引》(EI)检索。 1996年4月中央 工艺 钢结构制作工艺流程车尿素生产工艺流程自动玻璃钢生产工艺2工艺纪律检查制度q345焊接工艺规程 美术学院、北京市科协等主办“ 96北京国际计算机艺术展”，在入选 的300余幅作品中有近20幅作品直接采用了分形方法。 1996年7月FractalArt 1.0在中国软件登记中心注册。 1996年8月FRACTINT 19.5在Internet上发行。 目前，混沌、分形、小波、时空离散系统、斑图、自组织系统仍然是非线性科学研究的重点 ,而分形与所有其他方面都有联系。