变量代换公式1

z20  12 X1 变变变量量量代代代换换换公公公式式式 定定定义义义 1：设设设 ~F : Rn ! Rn 。。。如如如果果果对对对任任任意意意 ~x; ~y 2 Rn ，，， k~F(~x) � ~F(~y)k = k~x � ~yk，，，那那那么么么我我我们们们称称称 ~F是是是 Rn上上上的的的刚刚刚体体体运运运动动动。。。 据线性代数知道，如果 ~F是 Rn 上的刚体运动，那么一定存在 ~c 2 Rn 以及 L 2 Aut(Rn)，满足 jdet[L]j = 1， kLk = 1， 使得对每个 ~x 2 Rn ， ~F(~x) = L(~x) + ~c。于是从上节的结果立刻推得定理 1。引理 2 介绍一类重要的 Lipschitz连续映射。 定定定理理理 1：设 ~F : Rn ! Rn是Rn上的刚体运动。那么对Rn中每个若当可测集 S， ~F(S)总是若当可测的且�(~F(S)) = �(S)。 引引引理理理 2：设设设 O是是是 Rn的的的开开开集集集，，， ~g : O! Rm是是是 O上上上的的的连连连续续续可可可微微微映映映射射射。。。紧紧紧集集集 K � O。。。那那那么么么存存存在在在某某某个个个与与与 K有有有关关关的的的常常常数数数 C，，， 使使使得得得对对对任任任何何何 ~x; ~y 2 K，，，都都都有有有 k~g(~x) � ~g(~y)k � C k~x � ~yk。。。 证证 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 明明: 用反证法。假设结论不成立，那么对每个 n 2 N ，都可以找到 ~xn; ~yn 2 K ，使得 ~xn , ~yn ，且 k~g(~xn) � ~g(~yn)k=k~xn � ~ynk > n ；由于 ~g : O ! Rm 在紧集 K 上连续，一定有某个 M > 0 ，使得对每个 ~x 2 K ，有 k~g(~x)k � M ；这 说明 limn!1 k~xn � ~ynk = 0 ；又由紧集的刻画，存在 fxng1n=1 的某子列 f~xnk g1k=1 以及 ~a 2 K ，使得 limk!1 k~xnk � ~ak = 0 ；于 是 limk!1 k~ynk � ~ak = 0； 对于 ~a 2 K � O，由 ~g0在~a点的连续可微性，也即求导映射D~g : O! Lin(Rn;Rm)在 ~a点的连续性，一定能找到 � > 0， 使得对任意 ~x 2 B(~a; �)，都有 kD~g(~x) �D~g(~a)k = k~g0(~x) � ~g0(~a)k < 1，因而 k~g0(~x)k � k~g0(~a)k + 1。我们记 I := k~g0(~a)k + 1。最 后，我们找某个 L 2 N，使得 ~xnL ; ~ynL 2 B(~a; �)，并且相应的 nL > I。这总是可以做到的。我们在凸集 B(~a; �)上对映射 ~g关 于 ~xnL ; ~ynL 两点来运用微分中值不等式，可以得到矛盾。� 定定定理理理 3：若若若 ~O是是是Rn的的的开开开集集集，，， ~g : O! Rn连连连续续续可可可微微微，，，则则则以以以下下下陈陈陈述述述成成成立立立：：： (i)如如如果果果A � Rn是是是若若若当当当零零零测测测紧紧紧集集集，，，那那那么么么 ~g(A)也也也 是是是若若若当当当零零零测测测紧紧紧集集集。。。 (ii)如如如果果果 S是是是若若若当当当可可可测测测紧紧紧集集集，，，且且且对对对每每每个个个 ~x 2 S˚，，， ~g0(~x) 2 Aut(Rn)；；；那那那么么么 ~g(S) 也也也是是是若若若当当当可可可测测测紧紧紧集集集。。。 证证证明明明: 据上节的讨论， (i) 是明显成立的。注意到由于 (i) 成立，为了证 (ii) ，我们只要证 @(~g(S)) � ~g(@S) 。为了证该 包含关系，考虑到 S是紧集，于是 ~g(S)也是紧集。于是 @(~g(S)) � ~g(S)；于是对每个 ~y 2 @(~g(S))，一定有某个 ~x 2 S，使 得 ~y = ~g(~x) ；我们只要说明，每个对应于上述确定的 ~y 的、满足 ~y = ~g(~x) 的 ~x 2 S ，一定有 ~x 2 @(S) 。确实，否则我们 有 ~x 2 S˚ ，那么因为 ~g0(~x) 2 Aut(Rn) ，由反函数存在定理，存在包含 ~x 的开集 U � S ，以及包含 ~y 的开集 V � Rn ，使 得 V = ~g(U) � ~g(S)。这说明 ~y是 ~g(S)的内点，因而与 ~y 2 @(~g(S))矛盾。� 以下我们介绍一些典型的若当零测集。假设 0 < d < n，E := [0; 1]d�f~0Rn�d g，那么E是Rn中的若当零测集。事实上，对 每个N 2N，都可以找到Rn中Nd个棱长都是 2=N的正闭方块，其中心都属于以下集合 f(a1=N; a2=N; ; ::; ad=N; 0; :: ; 0) j 8k 2 f1; ::; dg ; ak 2 f1=(2N); 3=(2N); :: (2N � 1)=(2N)g g，可以验证， E含于这 Nd个正闭方块的并集里。这 Nd 个正闭方块的体积 总和是 Nd � (2=N)n 。由此不难得出结论。 一般地，对Rd中的每个闭方块 J(d)， J(d)�f~0Rn�d g都是Rn中的若当零测集。进一步地，对Rd中任何有界集 S(d)， S(d)� f~0Rn�d g也都是 Rn中的若当零测集。 推推推论论论 4：设设设 0 < d < n 。。。 O 是是是 Rd 中中中的的的开开开集集集。。。 ~g : O ! Rn 是是是连连连续续续可可可微微微映映映射射射。。。 K � O 是是是 Rd 中中中的的的紧紧紧集集集。。。那那那 么么么 S := ~g(K)是是是 Rn 中中中的的的若若若当当当零零零测测测集集集。。。 证证证明明明:找 Rd 的某个闭区间 J(d) ，使得 K � J(d) ；那么 K˜ := K � f~0Rn�d g � J(d) � f~0Rn�dg ；于是 K˜ 是 n 维若当零测集，同 时 K˜ 当然是 Rn 中的紧集。现在定义 � : Rn ! Rd 如下，对每个 ~x = (x1; ::; xn) 2 Rn ， �(~x) := (x1; ::; xd)。那么 �在 Rn 上 连续可微；于是 ~G := ~g � � 在 ��1(O) 上有定义，且 ~G : ��1(O) ! Rn 在开集 ��1(O) 上连续可微。由于 �(K˜) = K � O ； 故 K˜ � ��1(O)；于是据定理 3，可知 ~g(K) = (~g � �)(K˜) = ~G(K˜)是 Rn 中的若当零测集。� 现在设 S � Rn 为有界集， L 2 End(Rn)，当 det[L] = 0时，可以证明， �((L(S)) = 0。事实上，因为 det[L] = 0，所 以 L 秩的 d 小于 n ， L(S) 属于 Rn 的某个 d 维的线性子空间，且 L(S) 是有界集。于是，我们可以找到某个满秩的线性映 射 M 2 Aut(Rn) ，以及 Rd 中有界集 S(d) ，使得 M(L(S)) = S(d) � f~0Rn�d g 。据前面的讨论， S(d) � f~0Rn�d g 是 Rn 中的若当零 测集，于是据上节的讨论， L(S) = M�1(M(L(S))) = M�1(S(d) � f~0Rn�dg)是 Rn 中的若当零测集。结合上节的讨论,我们知道， 对 Rn 的任何若当可测集 S，以及任何 L 2 End(Rn)， L(S)都是若当可测集，且 �(L(S)) = jdet[L]j � �(S)。 定定定理理理 5：设设设正正正闭闭闭方方方块块块W � Rn 棱棱棱长长长为为为 a，，， L 2 End(Rn)。。。如如如果果果对对对映映映射射射 ~g : W ! Rn ，，，存存存在在在某某某 � 2 (0; 1)以以以及及及 ~l 2 R，，，使使使得得得 对对对每每每个个个 ~x 2W，，， k~g(~x) � L(~x) �~lk � � � a，，，那那那么么么存存存在在在仅仅仅依依依赖赖赖于于于 L的的的常常常数数数 C，，，使使使得得得 �(~g(W))=vol(W) � j det L j + C�。。。 证证证明明明: 当 j det L j = 0 时， L(W) 属于 Rn 的某 d 维线性子空间。类似于上一段的讨论，取线性映射 M 2 Aut(Rn) ， 使 M 是刚体运动（于是 j det[M] j = 1 ， kMk = 1 ），且 M(L(W)) � Rd � f~0Rn�d g 。对任意 " > 0 ，证明 M(L(W)) 含 于各边长分别为 kLk � a + "; ::; kLk � a + " （ d 个） "; ::; " （ n � d 个）的闭方块，于是 (M � ~g)(W) 含于各边长分别 为 kLk � a + " + 2� � a; ::; kLk � a + " + 2� � a （ d 个） " + 2� � a; ::; " + 2� � a （ n � d 个）的闭方块 J ，于是 ~g(W) � M(J) 。 当 j det L j , 0时，证明 (L�1 � ~g)(W)含于棱长为 a + 2kL�1k � �的正闭方块K，于是 ~g(W) � L(K)。细节留给同学们补足。� 变量代换公式的证明的一个核心工具，是反函数存在定理的证明所用的以下引理。 引引引理理理 6：设设设 n 2 N ，，， O 是是是 Rn 的的的开开开集集集，，， ~h : O ! Rn 在在在 O 上上上连连连续续续可可可微微微，，， ~h(~0) = ~0 ，，， ~h0(~0) = In ；；；又又又设设设 a > 0 ，，， � 2 (0; 1=pn) ，，， Q := [�a; a]n ；；；满满满足足足对对对每每每个个个 ~x 2 Q ，，， k~h0(~x) � Ink � � 。。。那那那么么么 ~h : Q ! Rn 是是是单单单射射射，，，且且且有有有包包包含含含关关关 系系系 (1 � �pn)Q � ~h(Q) � (1 + �pn)Q。。。 引引引理理理 7：设设设 n 2 N ，，， O 是是是 Rn 的的的开开开集集集，，， ~g : O ! Rn 在在在 O 上上上连连连续续续可可可微微微。。。 a ，，， � ，，， p 为为为正正正实实实数数数，，，且且且 p� 2 (0; 1=pn) ；；； 设设设 ~g(~0) = ~0；；；记记记 L := ~g0(~0) 2 Aut(Rn)满满满足足足 kL�1k � p，，，且且且对对对每每每个个个 ~x 2 Q := [�a; a]n � O，，，有有有 k~g0(~x) � Lk � �；；；那那那么么么有有有包包包含含含关关关 系系系 (1 � p�pn)L(Q) � ~g(Q) � (1 + p�pn)L(Q)。。。 证证证明明明:设 ~h := L�1 � ~g ；如果记 � := p� ，那么 ~h 满足引理 6 的所有条件；于是有结论 (1 � p�pn)Q � (L�1 � ~g)(Q) � (1 + p� p n)Q；于是 (1 � p�pn)L(Q) � ~g(Q) � (1 + p�pn)L(Q)；� 引引引理理理 8：设设设 n 2 N ，，， O 是是是 Rn 的的的开开开集集集，，， ~f : O ! Rn 在在在 O 上上上连连连续续续可可可微微微。。。 a ，，， � ，，， p 为为为正正正实实实数数数，，，且且且 p� 2 (0; 1=pn) ；；； 设设设 ~x0 2 O，，，记记记 L := ~f 0(~x0) 2 Aut(Rn)满满满足足足 kL�1k � p，，，且且且对对对每每每个个个 ~x 2 Q˜ := [�a; a]n + ~x0 � O，，，有有有 k ~f 0(~x) � Lk � �；；；那那那么么么有有有包包包含含含 关关关系系系 (1 � p�pn)n�(L(Q˜)) � �( ~f (Q˜)) � (1 + p�pn)n�(L(Q˜))。。。 证证证明明明: 设 ~y0 := ~f (~x0) ；如果记 Q := [�a; a]n 。令 ~g := ~T�~y0 � ~f � ~T~x0 ；更明确地，对每个 ~x 2 O � ~x0 ，定义 ~g(~x) := ~f (~x + ~x0) � ~y0 ；那么容易验证， ~g : O � ~x0 ! Rn 满足引理 7的条件，于是引理 7的结论成立。注意 �(L(Q)) = �(L(Q˜))，且 因 ~g(Q) = ~f (Q˜) � ~y0 ，还有 �(~g(Q)) = �( ~f (Q˜))。引理由此得证。 引引引理理理 9：设设设 n 2N，，，O是是是Rn的的的开开开集集集，，， K � O是是是Rn的的的紧紧紧集集集，，， ~g : O! Rn在在在O上上上连连连续续续可可可微微微。。。且且且对对对每每每个个个 ~x 2 O，，， ~g0(~x) 2 Aut(Rn)。。。那那那么么么，，，对对对每每每个个个 " > 0，，，都都都有有有某某某 � > 0，，，使使使得得得对对对任任任意意意的的的正正正闭闭闭方方方块块块 Q˜，，，如如如果果果设设设 Q˜的的的中中中心心心为为为 ~x0 ，，，那那那么么么只只只要要要 Q˜的的的棱棱棱长长长 小小小于于于 �，，，就就就有有有如如如下下下估估估计计计式式式 ��� �(~g(Q˜)) � jdet [~g0(~x0)]j � �(Q˜) ��� � " � �(Q˜)。。。 证证证明明明: 如同反函数存在定理的证明那样，我们引用以下事实：求导映射 D~g : O ! End(Rn)（ D~g(~x) = ~g0(~x); 8~x 2 O） 是 O 上的连续映射。由于 Aut(Rn) 是 End(Rn) 中的开集，如果记 O˜ := (D~g)�1(Aut(Rn)) ，那么据前提知道 K � O˜ � O ， 而 O˜ 是 O 的开集，于是它是 Rn 的开集。由于求逆映射 # : Aut(Rn) ! Aut(Rn) 也是连续映射，而 D~g(O˜) � Aut(Rn) ， 于是 # � D~g : O˜ ! Aut(Rn) 是连续映射。由于 K 是 Rn 的紧集，我们知道存在 p > 0 ，使得对每个 ~x 2 K ，都 有 k(# �D~g)(~x)k = k(~g0(~x))�1k � p； 另外，我们定义函数 h : Q! R如下：对每个 ~x 2 O， h(~x) := j det [~g0(~x)] j；由于 j det [~g0(~x)] j是以矩阵 [~g0(~x)]的各元 素（也即 ~g的各分量函数的各偏导函数）为因子的有限乘积的有限项和的绝对值，而 ~g的各分量函数的偏导数都是 O上的 连续函数，于是 h是 O上的连续函数。由于 K是紧集，故存在 c > 0，使得对每个 ~x 2 K，有 j det [~g0(~x)] j < c； 由以上这两段 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，对任意给定的 " > 0 ，我们可以找到依赖于上述 p 以及 c 的某个 � > 0 ，使得 pnp� < 1 ，且对 每个 � 2 [�1; 1] ，有 j(1 + �pnp�)n � 1j � "=c ；再对该 � > 0 ，据 D~g 在 K 上的一致连续性，找到某 � > 0 ，使得对任 意 ~s;~t 2 K，只要 k~s �~tk � �pn=2，就有 kD~g(~s) �D~g(~t)k = k~g0(~s) � ~g0(~t)k < �。 现在设正闭方块 Q˜ � K， Q˜的棱长小于 �， ~x0 是 Q˜的中心，我们来证引理 9的估计式： 对每个 ~x 2 Q˜，由前提知 k~x � ~x0k � �pn=2，于是由前段之讨论知， k~g0(~x) � ~g0(~x0)k < �。于是据推论 8，如果记 L := ~g0(~x0)，那么 (1�p�pn)n�(L(Q˜)) � �( ~f (Q˜)) � (1+p�pn)n�(L(Q˜))；于是据前节关于线性映射与可测集的讨论， (1�p�pn)n � jdet [L]j�(Q˜) � �( ~f (Q˜)) � (1+ p�pn)n � jdet [L]j�(Q˜)；于是有某 �1 2 [�1; 1]，使得 �( ~f (Q˜)) = (1+�1p�pn)n � jdet [L]j�(Q˜)； 由前面的构造，知道 (1 + �1p� p n)n 2 [1 � "=c; 1 + "=c]；于是有 �2 2 [�1; 1]，使得 �( ~f (Q˜)) = (1 + �2"=c) � jdet [L]j�(Q˜)；但 由前面的构造，有 j det [L] j < c；于是 ��� �(~g(Q˜)) � jdet [L]j � �(Q˜) ��� = ��� �2 � "=c � jdet [L]j � �(Q˜) ��� < " � �(Q˜)。� 定定定理理理 10 （（（紧紧紧集集集上上上的的的积积积分分分变变变量量量代代代换换换公公公式式式）））：设设设 O 是是是 Rn 的的的开开开集集集，，， ~g : O ! Rn 连连连续续续可可可微微微，，， A � O 是是是 Rn 的的的紧紧紧集集集，，， 满满满足足足条条条件件件 (i) A 若若若当当当可可可测测测；；； B := ~g(A) 若若若当当当可可可测测测；；； (ii) 存存存在在在若若若当当当零零零测测测集集集 S � A ，，，使使使得得得 ~g : A n S ! Rn 是是是单单单射射射，，，且且且对对对每每每 个个个 ~u 2 A n A，，， ~g0(~u) 2 Aut(Rn)；；；如如如果果果 f : B = ~g(A) ! R是是是连连连续续续函函函数数数，，，那那那么么么 R ~g(A) f (~x) d~x = R A f (~g(~u)) � jdet [~g0(~u)]jd~u；；； 证证证明明明: 在定理的前提下，等式两端都有意义。取定 � > 0，我们证两端之差小于 "的某常数倍。这足以证明两端相等。 首先，据引理 2 ，存在 C > 0 ，使得对任意 ~s;~t 2 A ， k~g(~s) � ~g(~t)k � C � k~s � ~tk 。其次，对定义在紧集上的连 续函数 f : ~g(A) = B ! R ，存在 M > 0 ，使得对每个 ~x 2 B = ~g(A) ，有 j f (~x)j � M ；再次，对紧集上的连续函 数 det [~g0(�)] : A! R，也有某 c > 0，使得对每个 ~u 2 A，都有 jdet [~g0(~u)]j � c； 现在，如果记 A˜ := a n A，那么 A˜是若当可测的，于是有二分闭方块构形 K � A˜，使得 �(A˜ n K) < "；由于 �(S) = 0， 我们有 �(A n K) = �(((A n S) [ S) n K) = �(A˜ n K) + �(S) = �(A˜ n K) < "，于是我们得到第一个估计 (�) ��� Z A f (~g(~u)) � jdet [~g0(~u)]jd~u � Z K f (~g(~u)) � jdet [~g0(~u)]jd~u ��� � Z AnK j f (~g(~u))j � jdet [~g0(~u)]jd~u �M � c � �(A n K) < M � c � ": 另外，如果记 L := ~g(K)，那么由于 ~g : A! B = ~g(A)是满射，故 B nL = ~g(A) n ~g(K) � ~g(A nK)。又注意到 K作为闭方块 构形是Rn中的紧集，且 K � A˜ = A nS；由 ~g满足条件 (ii)，据定理 3，可知 L = ~g(K)是若当可测的紧集。于是， B nL是若 当可测集。据上节引理 12，有估计 �(BnL) = �(BnL) � �(~g(AnK)) � (2Cpn)n ��(AnK) = (2Cpn)n ��(AnK) < (2Cpn)n �"； 于是我们得到第二个估计 (��) ��� Z ~g(A) f (~x) d~x � Z ~g(K) f (~x) d~x ��� � Z ~g(A)n~g(K) j f (~x)j d~x = Z BnL j f (~x)j d~x < (2Cpn)n �M � ": 2 为了结束证明，我们只需要某个对于相应函数分别在 K， L = ~g(K)上积分之差的估计。而这两者又与各自的黎曼和有 关联，于是这种估计可以通过考虑黎曼和来得到。注意到二分闭方块构形总可以表示为尺寸相同的两两无公共内点的正闭方 块的并集。以下我们来选取正闭方块的棱长 � > 0，以得到所需的估计。 假设 K 已经表示为 N 个上述正闭方块 Q1; ::;QN 的并集，其中心分别是 ~u1; ::; ~uN ；那么据定理 3 ，对每个 n 2 f1; ::;Ng， ~g(Qn)若当可测，集合 ~g(Q1); ::; ~g(QN)两两无公共内点，且显然 f~g(Qn) j n 2 f1; ::;Ng g构成 L = ~g(K)的一个划分。 据引理 2，对每个 n 2 f1; ::;Ng， ~g(Qn)的直径不超过 2pn� � C。于是据推论 9以及上节关于普通黎曼和的讨论，对本定 理证明开始部分给定的 " > 0，可以找到上述那些闭方块，使得以下三个陈述同时成立： (i) ��� R K f (~g(~u)) � jdet [~g0(~u)]jd~u �PN n=1 f (~g(~un)) � j det [~g0(~un)]j � �(Qn) ��� < "； (ii) ��� R ~g(K) f (~x) d~x � PN n=1 f (~g(~un)) � �(~g(Qn)) ��� < "； (iii)对每个 n 2 f1; ::;Ng，推 论 9的结论成立，也即是说， ��� �(~g(Q˜n)) � jdet [~g0(~un)]j � �(Q˜n) ��� � " � �(Q˜n) . 由 (iii)可知 ��� PNn=1 f (~g(~un)) � j det [~g0(~un)]j � �(Qn) �PNn=1 f (~g(~un)) � �(~g(Qn))��� �M � �(A) � "；于是我们有第三个估计式 (� � �) ��� Z K f (~g(~u)) � jdet [~g0(~u)]jd~u � Z ~g(K) f (~x) d~x ��� � 2" +M � �(A) � ": 利用估计式 (�) (��) (� � �)，可知 ��� R ~g(A) f (~x) d~x� R A f (~g(~u)) � jdet [~g0(~u)]jd~u ��� � f(2Cpn)n �M+ 2+M ��(A)+M � cg � "。� 引引引理理理 11：设设设 O是是是 Rn 的的的开开开集集集，，， ~g : O! Rn连连连续续续可可可微微微，，，W是是是 O中中中正正正闭闭闭方方方块块块，，，那那那么么么 �(~g(W)) � RW j[~g0(~u)]j d~u 证证证明明明: 用反证法。假设结论不成立，那么存在某 "0 > 0，使得 �(~g(W)) � R W j[~g0(~u)]j d~u + "0 � vol(W)。不妨记W 的棱 长为 a。我们把 W 分成 2n 个棱长为 a=2的两两无公共内点的正闭方块，那么其中必有一个，记为 W1 ，满足 �(~g(W1)) �R W1 j[~g0(~u)]j d~u + "0 � vol(W1)。我们把W1 分成 2n 个棱长为 a=4的两两无公共内点的正闭方块，其中必有一个，记为W2 ， 满足 �(~g(W2)) � R W2 j[~g0(~u)]j d~u+ "0 � vol(W2)。用归纳法，对每个 k 2N，找到含于 O中棱长为 2�ka的正闭方块Wk，使得 对任意 k，Wk+1 � Wk ， �(~g(Wk)) � R Wk j det[~g0(~u)] j d~u + "0 � vol(Wk)。于是可见，存在唯一的 ~x0 2 \1k=1Wk 。且据积分中 值定理，对每个 k 2 N，存在 ~�k 2 Wk ，使得 �(~g(Wk)) � vol(Wk) � j det[~g0(~�k)] j + "0 � vol(Wk)。显然 limk!1 ~�k = ~x0 ，于是 数列 f�(~g(Wk))=vol(Wk)g1k=1 的上极限不小于 j det[~g0(~x0)] j + "0。 而另一方面，对任意的 " > 0，因为 ~g在~x0处可微，存在某 � > 0，使得对任意~x 2 B(~x0; �)，都有 k~g(~x)�~g(~x0)�~g0(~x0)(~x� ~x0)k � �k~x � ~x0k；于是对大于某自然数 K 的所有 k 2 N， Wk 中的点都满足上式。据定理 5，存在某仅依赖于 ~g0(~x0)的常 数 C，使对每个自然数 k > K， �(~g(Wk))=vol(Wk) � j det[~g0(~x0)] j + C"。而这又说明数列 f�(~g(Wk))=vol(Wk)g1k=1 的上极限不 大于 j det[~g0(~x0)] j。我们得到矛盾。� 定定定理理理 12（（（带带带Lipschitz条条条件件件的的的积积积分分分变变变量量量代代代换换换公公公式式式）））：设设设A是是是Rn的的的若若若当当当可可可测测测的的的开开开集集集，，， ~g : A! Rn在在在A上上上 Lipschitz连连连续续续，，， 且且且是是是连连连续续续可可可微微微的的的单单单射射射。。。那那那么么么 B := ~g(A)若若若当当当可可可测测测，，，且且且对对对定定定义义义在在在 B上上上的的的连连连续续续有有有界界界函函函数数数 f : B = ~g(A) ! R，，，有有有 R ~g(A) f (~x) d~x =R A f (~g(~u)) � jdet [~g0(~u)]jd~u；；； 证证证明明明:记 S := f ~u 2 A j ~g0(~u) < Aut(Rn) g。并记 A1 := f ~u 2 A j ~g0(~u) 2 Aut(Rn) g，那么 A是互不相交的 S与 A1 的并。据 前提， D~g : A ! End(Rn)在 A上连续。由于 Aut(Rn)是 End(Rn)中的开集，所以 A1 是 A的开集。由于 A是 Rn 的开集， 所以 A1是 Rn的开集。由于 ~g : A! End(Rn)在 A1 上的限制是C1同胚， B1 := ~g(A1) 是 Rn 的开集。 对任意确定的 " > 0 ，找一个二分正闭方块构形 K � A ，使得 �(A n K) < " 。 K 中的正闭方块有两种，一种完全含 于 A1 = A n S ，另一种与 S 有非空交集。相应地我们把 K 记为互不相交的分正闭方块构形 K1 和 K2 的并集，两者分别 由上述两类正闭方块组成。记 L1 := ~g(K1) ， L2 := ~g(K2) 。根据定理 3 ， L1 是若当可测的紧集。由于函数 j [~g0(�)] ]j 在 紧集 K 上的一致连续性，我们可以进一步细分 K 中的二分正闭方块，使得细分后 K2 中每个闭方块上的每点 ~u ，都 有 j [~g0(~u)] j < "。据引理 11，�(L2) � "�(K2)。同时据上节的引理 12，�(BnL) = �(~g(AnK)) � (2�pn)n�(AnK) < (2�pn)n"。 这里 � 是 ~g 的 Lipschitz 常数。于是 �(L1) � �(B) � �(B) � �(L1) + �(L2) + �(B n L) � �(L1) + "�(K2) + (2�pn)n" � �(L1) + " � (�(A) + (2�pn)n)。这说明 B := ~g(A)若当可测。 为了证明积分等式，对上述确定的 " > 0，以及相应的A的子集K1，K2，B的子集 L1 = ~g(K1)， L2 = ~g(K2)，据紧集上 的积分变量代换公式， R L1 f (~x) d~x = R K1 f (~g(~u)) � jdet [~g0(~u)]jd~u成立。易见， RL1 f (~x) d~x与 RB f (~x) d~x至多相差 �(B)��(L1)的 某常数倍，于是至多相差 "的常数倍。另外，函数 f (~g(~u)) � jdet [~g0(~u)]j在 K2上有 "某常数倍的界，在 A nK上当然有界，于 是 R K1 f (~g(~u))�jdet [~g0(~u)]jd~u与 RB f (~g(~u))�jdet [~g0(~u)]jd~u的差不超过 RK2 f (~g(~u))�jdet [~g0(~u)]jd~u与 RAnK f (~g(~u))�jdet [~g0(~u)]jd~u两 者绝对值的和,于是至多是 "的常数倍。这说明变量代换公式成立。� 定定定理理理 13 （（（开开开集集集上上上的的的积积积分分分变变变量量量代代代换换换公公公式式式）））：设设设 A 是是是 Rn 的的的若若若当当当可可可测测测的的的开开开集集集，，， ~g : A ! ~g(A) 是是是 A 上上上的的的 C1 同同同 胚胚胚，，， B := ~g(A) 是是是 Rn 的的的若若若当当当可可可测测测的的的开开开集集集，，，那那那么么么对对对定定定义义义在在在 B 上上上的的的连连连续续续有有有界界界函函函数数数 f : B = ~g(A) ! R ，，，有有有 RB f (~x) d~x =R A f (~g(~u)) � jdet [~g0(~u)]jd~u；；； 证证证明明明: 对任意确定的 " > 0，找含于 A的若当可测的紧集 C以及 B的若当可测的紧集D，使得 �(A nC) < "， �(B nD) < " 。记 C1 := C [ ~g�1(D) ， D1 := ~g(C1) ，那么据定理 3 ， C1 ， D1 是分别含于 A 和 B 的若当可测的紧集，且仍 有 �(A n C1) < "， �(B nD1) < "。于是据定理 11，有 R ~g(D1) f (~x) d~x = R C1 f (~g(~u)) � jdet [~g0(~u)]jd~u。这说明结论成立。� 3