信号与线性系统分析__吴大正课件

null第一章 信号与系统理解冲激信号的特性 第一章 信号与系统认识本课程领域的一些名词、术语 学习信号运算规律、熟悉 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式与波形的对应关系了解本课程研究范围、学习目标 初步了解本课程用到的主要方法和手段学习的主要内容：§1.1 绪论§1.1 绪论 什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？系统的概念第一章 信号与系统信号的概念 一、信号的概念一、信号的概念 消息 (message): 信息 (information): 信号 (signal):人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。通常把消息中有意义的内容称为信息。 本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。信号是信息的载体，通过信号传递信息。信号实例信号实例 信号我们并不陌生。如 刚才铃声—声信号，表示该上课了； 十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通； 电视机天线接受的电视信息—电信号； 广告牌上的文字、图象信号等等。二、系统的概念 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。 一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。 如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。 系统的基本作用是对信号进行传输和处理。输入信号激励输出信号响应二、系统的概念？信号处理信号处理对信号进行某种加工或变换。目的： 消除信号中的多余内容； 滤除混杂的噪声和干扰； 将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。 信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号传输信号传输通信的目的是为了实现消息的传输。原始的光通信系统——古代利用烽火传送边疆警报；声音信号的传输——击鼓鸣金。利用电信号传送消息。 1837年，莫尔斯(F.B.Morse)发明电报； 1876年，贝尔(A.G.Bell)发明电话。利用电磁波传送无线电信号。 1901年，马可尼(G.Marconi)成功地实现了横渡大西洋的无线电通信；全球定位系统GPS(Global Positioning System)；个人通信具有美好的发展前景。 通信系统 通信系统为传送消息而装设的全套技术设备§1.2 信号的描述和分类§1.2 信号的描述和分类信号的描述几种典型确定性信号信号的分类一、信号的描述一、信号的描述信号：是信息的一种物理体现，它一般是随时间位信号：按物理属性分：电信号和非电信号，它们可电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法：本课程讨论电信号---简称“信号”。（2）信号的图形表示--波形（1）表示为时间的函数“信号”与“函数”两词常相互通用。置变化的物理量。以相互转换。二、信号的分类二、信号的分类 按实际用途划分： 电视信号、雷达信号、控制信号、通信信号…… 信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。 按所具有的时间特性划分： 确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周其信号； 能量信号和功率信号； 一维信号和多维信号； 因果信号与反因果信号； 实信号与复信号； 左边信号与右边信号。1. 确定信号和随机信号1. 确定信号和随机信号可用确定的时间函数表示的信号：f(t)随机信号：确定性信号：伪随机信号： 貌似随机而遵循严格规律产生的信号：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。但实际传输的信号是不确定的，常受到各种干扰及噪声的影响。取值具有不确定性的信号：伪随机码。 2. 连续信号和离散信号2. 连续信号和离散信号连续时间信号：在一定的连续的时间范围内，对于值域连续值域不连续任意的时间值，都有对应的函数值 “连续”指函数的定义域—时间连续，但可含间断点简称连续信号。，至于值域可连续也可不连续。离散时间信号：离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。 定义域—时间是离散的离散点间隔离散时刻tk(k = 0,±1,±2,…)有定义 Tk= tk+1-tk可以相等也可不等；其余时间无定义。通常取等间隔T，表示为f(kT)，简写为f(k)；等间隔的离散信号称为序列，其中k称为序号。上述离散信号可简画为：上述离散信号可简画为：用表达式可写为：或写为： 对应某序号k的序列值称为第k个样点的“样值”。 模拟信号、抽样信号、数字信号模拟信号、抽样信号、数字信号数字信号：模拟信号：抽样信号：量化抽样连续信号幅值时间均连续时间幅值离散连续时间幅值均离散离散信号模拟信号数字信号3. 周期信号和非周期信号3. 周期信号和非周期信号 定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。连续周期信号举例连续周期信号举例例 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt分析 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。解答解答解答（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s 由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。 （2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。离散周期信号举例1离散周期信号举例1例 判断正弦序列f(k) = sin(βk)是否为周期信号，若是，确定其周期。解 f (k) = sin(βk) = sin(βk + 2mπ) ， m = 0,±1,±2,…式中β称为数字角频率，单位：rad。由上式可见： 仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。 当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。离散周期信号举例2离散周期信号举例2例 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f2(k) = sin(2k)解 （1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。举例举例由上面几例可看出： ①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。 ②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。例1例2例3连续周期信号示例离散周期信号示例1离散周期信号示例24．能量信号与功率信号4．能量信号与功率信号 将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为（1）信号的能量E（2）信号的功率P 若信号f (t)的能量有界，即 E <∞ ,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时 P = 0 若信号f (t)的功率有界，即 P <∞ ,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时 E = ∞离散信号的功率和能量离散信号的功率和能量离散信号，也有能量信号、功率信号之分。 一般规律 ※一般规律 ※ 一般周期信号为功率信号。 时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。 还有一些非周期信号，也是非能量信号。如：ε(t)是功率信号； tε(t)、 e t为非功率非能量信号;δ(t)是无定义的非功率非能量信号。5．一维信号和多维信号5．一维信号和多维信号一维信号： 多维信号： 还有其他分类，如：只由一个自变量描述的信号，如语音信号。由多个自变量描述的信号，如图像信号。实信号与复信号 左边信号与右边信号因果信号和反因果信号三．几种典型确定性信号三．几种典型确定性信号本课程讨论确定性信号先连续，后离散；先周期，后非周期。指数信号指数信号重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。单边指数信号---衰减K正弦信号正弦信号衰减正弦信号： 复指数信号复指数信号讨论①不能产生 ②用来描述各种信号 ③信号分析及运算简化ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)抽样信号(Sampling Signal)抽样信号(Sampling Signal)§1.3 信号的基本运算§1.3 信号的基本运算 两信号的相加和相乘 信号的时间变化 平移 反转 尺度变换 信号的微分和积分一、信号的加法和乘法一、信号的加法和乘法同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。离散序列相加、乘离散序列相加、乘二、信号的时间变换二、信号的时间变换1.信号的反转； 2.信号的平移； 3.信号的展缩（尺度变换）；. 4.混合运算举例。1. 信号反转1. 信号反转 将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (·) t→-t 没有实现此功能的实际器件，数字信号处理中可的反转或反折。 从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴反转180o。如 以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出”。 2.信号的平移2.信号的平移 将 f (t) → f (t – t0) ， f (k) → f (k – k0)称为对信号f (·)的雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。平移或移位。若t0 (或k0) >0，则将f (·)右移；否则左移。如：3.信号的展缩(尺度变换）3.信号的展缩(尺度变换） 将 f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。离散信号：由于 f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义， 进行尺度如：若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则扩展 。变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。4. 混合运算举例4. 混合运算举例例1例3平移与反转相结合平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。例2平移与尺度变换相结合注意： 对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；意一切变换都是相对t而言；对逆运算，反之。 混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注平移与反转相结合举例平移与反转相结合举例例 已知f (t)如图所示，画出 f (2 – t)。 解答 法一：①先平移f (t) → f (t +2) ②再反转 f (t +2) → f (– t +2)法二：①先反转 f (t) → f (– t) ②再右移 f (– t) → f (– t +2)左移右移= f [– (t – 2)]平移与展缩相结合举例平移与展缩相结合举例例 已知f (t)如图所示，画出 f (3t + 5) 解答 时移 尺度 变换尺度 变换时移平移、展缩、反折相结合举例平移、展缩、反折相结合举例例 已知f (t)如图所示，画出 f (- 2t - 4)。 解答也可以先压缩、再平移、最后反转。也可以先压缩、再平移、最后反转。三．微分和积分三．微分和积分冲激信号§1.4 阶跃函数和冲激函数§1.4 阶跃函数和冲激函数 阶跃函数； 冲击函数； 阶跃序列和单位样值序列。 函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数电路如图：持续下去。1. 定义在t=0时刻，电路接入电源，波形图如上图：注意：在t=0处，发生跳变,未定义或1/2。单位阶跃函数1且无限2. 延迟单位阶跃信号2. 延迟单位阶跃信号3. 阶跃函数的性质3. 阶跃函数的性质（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = ε(t) -ε(t-T) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间 （3）积分 二．单位冲激函数二．单位冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 矩形脉冲演变为冲击函数； 狄拉克（Dirac)定义定义； 冲击函数与阶跃函数关系； 冲击函数的性质。作用时间极短一种物理量的理想化模型。1.矩形脉冲演变为冲击函数δ(t)1.矩形脉冲演变为冲击函数δ(t)含义：宽为τ ,高为τ/1 ,面积为1 变化： 面积1不变，脉冲宽度τ 脉冲幅度 t τ ← 单位冲击函数函数，在t=0点有一“冲激”，在t=0点以外各处，函数值为零。τ 0 → τ/1 注意：如果矩形面积=E，E冲激强度为E2. 狄拉克(Dirac)定义2. 狄拉克(Dirac)定义 函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1； 3. δ(t)与ε(t)的关系3. δ(t)与ε(t)的关系引入冲激函数之后，间断点的导数也存在引入冲激函数之后，间断点的导数也存在f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)三． 冲激函数的性质三． 冲激函数的性质 取样性 冲击偶 尺度变换 复合函数形式的冲击函数1. 取样性(筛选性)1. 取样性(筛选性)⑵ 对于平移情况：⑴ 如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有 取样性证明取样性证明分t = 0和t ≠0 两种情况讨论 1. 当t ≠0 时，δ(t)= 0，f(t)δ(t)= 0，积分结果为0 2. 当t = 0 时，δ(t) ≠ 0，f(t)δ(t)= f(0)δ(t) ，取样性质举例取样性质举例0ε(t)2.冲激偶 规则函数求极限定义2.冲激偶 规则函数求极限定义冲激偶的性质冲激偶的性质 ① f(t)δ’(t) = f(0)δ’(t) – f ’(0)δ (t) 证明 [ f(t)δ(t)]’ = f(t)δ’(t) + f ’(t)δ (t) f(t)δ’(t) = [ f(t)δ(t)]’ – f ’(t)δ (t) = f(0)δ’(t) – f ’(0)δ (t) ② 证明 冲激偶的性质冲激偶的性质② δ(n)(t)的定义：δ’(t)的平移：③④不能按常规函数对待+、-面积抵消3. 对(t)的尺度变换3. 对(t)的尺度变换证明推论:(1)δ(2t) = 0.5δ (t) 当a = –1时 δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数举例(2)冲激信号尺度变换的证明冲激信号尺度变换的证明冲激信号尺度变换举例冲激信号尺度变换举例例1例2举例举例已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t) 4. 复合函数形式的冲激函数4. 复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，…，n) ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)ε[f(t)]图示说明 例f(t)= t2 – 4 null一般地，这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 的n个冲激函数构成的冲激函数序列。 注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。 ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)冲激函数的性质 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 冲激函数的性质总结（1）取样性 （2）奇偶性 （3）比例性 （4）微积分性质（5）冲激偶 四. 序列δ(k)和ε(k)四. 序列δ(k)和ε(k)这两个序列是普通序列------非奇异函数1. 单位(样值)序列δ(k)取样性质：f(k)δ(k) = f(0)δ(k)f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 例定义1-1-22012. 单位阶跃序列ε(k) 定义2. 单位阶跃序列ε(k) 定义ε(k)与δ(k)的关系δ(k) = ε(k) –ε(k –1) 或ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…定义§1.5 系统的描述§1.5 系统的描述 系统的分类 系统的数学模型 系统的框图描述 一、系统的分类一、系统的分类1.广义定义：是一个由若干个有相互关联的单元组合而成的具有特定功能的整体。如：通信系统、控制系统、计算机系统，但要注意其概念很宽泛，不仅仅限于电路、通信等方面课程：电路、网络、系统通用2.系统的分类： 可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。系统的分类系统的分类 连续系统与离散系统 动态系统与即时系统 但输入单输出与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统 时不变与时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统 常用分类方法：系统的分类系统的分类 连续(时间)系统：系统的激励和响应均为连续信号； 离散(时间)系统：系统的激励和响应均为离散信号； 混合系统：连续系统与离散系统的组合；是连续信号，一个为离散信号。 如A/D，D/A变换器，系统的激励和响应一个是⑴.连续系统与离散系统系统的分类系统的分类 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。 如：含有记忆元件(电容、电感等)的电路是动态系统 否则称：即时系统或无记忆系统（电阻串并联）。 ⑵.动态系统与即时系统课程：动态系统 二、系统的数学模型二、系统的数学模型 连续系统解析描述：微分方程 离散系统解析描述：差分方程1. 连续系统的解析描述1. 连续系统的解析描述 图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得二阶常系数线性微分方程抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统机械减振系统机械减振系统其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为 能用相同方程描述的系统称为：物理系统不同： 数学模型相同2. 离散系统的解析描述2. 离散系统的解析描述例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β元/月，求第k个月初存折上的款数。 设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为βy(k-1),则 y(k)= y(k-1)+βy(k-1)+f(k) 即： y(k)-(1+β)y(k-1) = f(k) 若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。三．系统的框图描述三．系统的框图描述 连续系统的基本单元 离散系统的基本单元 系统模拟系统的模型（微分方程、差分方程）：微分差分运算包含表示单元符号并连接成系统加法乘法1. 连续系统的基本单元1. 连续系统的基本单元延时 器加 法 器积 分 器数 乘 器乘 法 器注意：没有微分器？实际：用积分单元代替2. 离散系统的基本单元2. 离散系统的基本单元加法器迟延单元数乘器3. 系统模拟3. 系统模拟实际系统→方程→模拟框图 →实验室实现（模拟系统）→指导实际系统设计例1例2例3例4方程←→框图用变换域方法和梅森 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 简单，后面讨论。由微分方程画框图例1由微分方程画框图例1例1：已知y”(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，画框图。解：将方程写为 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t)由微分方程画框图例2由微分方程画框图例2例2 请画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。解：解法二解法二解2：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。 设辅助函数x(t)满足 x”(t) + 3x’(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出 y(t) = x’(t) + x(t)，它满足原方程。例3由框图写微分方程例3由框图写微分方程例3：已知框图，写出系统的微分方程。设辅助变量x(t)如图x(t)x’(t)x”(t)x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t) ,即x”(t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x’(t)+ 3x(t)根据前面，逆过程，得y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t)例4由框图写差分方程例4由框图写差分方程例4：已知框图，写出系统的差分方程。解：设辅助变量x(k)如图x(k)x(k-1)x(k-2)即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) x(k)= f(k) – 2x(k-1) – 3x(k-2)§1.6 系统的特性与分析方法§1.6 系统的特性与分析方法 系统的特性 系统的分析方法一、系统的特性一、系统的特性 连续系统与离散系统 动态系统与即时系统 但输入单输出与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统 时不变与时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统 常用分类方法： 系统的特性 线性性质 时不变性 因果性 稳定性1. 线性1. 线性 y(t):系统的响应、f(t):系统的激励⑴ 线性性质：齐次性和可加性可加性：齐次性：f(·) →y(·) y(·) = T[ f (·)] f (·) → y(·) a f(·) →a y(·) f1(·) →y1(·) f2(·) →y2(·) f1(·) +f2(·) →y1(·)+y2(·) af1(·) +bf2(·) →ay1(·)+by2(·) 综合，线性性质：线性系统的条件线性系统的条件⑴ 动态系统响应不仅与激励{ f (·) }有关，而且与可分解性 零状态线性 y (·) = T [{ f (·) }, {x(0)}] yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]， yzs(·) = T [{ f (·) }, {0}]零输入线性⑵ 动态系统是线性系统，要满足下面3个条件：系统的初始状态{x(0)}有关, 初始状态也称“内部激励”。线性系统的条件线性系统的条件①可分解性： y (·) = yzi(·)+ yzs(·) ②零状态线性： T[{af1(t) +bf2(t) }, {0}] = aT[{ f1 (·) }, {0}] +bT[{ f2 (·) }, {0}] y (·) = T [{ f (·) }, {x(0)}] yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]， yzs(·) = T [{ f (·) }, {0}]③零输入线性： T[{0},{ax1(0) +bx2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}]举例1举例2线性系统（连续、离散） 线性微分（差分）方程 判断线性系统举例判断线性系统举例例1：判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1 显然， y (t) ≠ yzs(t) ＋ yzi(t) 不满足可分解性，故为非线性 （2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 满足可分解性； 由于 T[{a f (t) }, {0}] = | af (t)| ≠ a yzs(t) 不满足零状态线性。故为非线性系统。 （3） yzi(t) = x2(0)，T[ {0},{a x(0) }] =[a x(0)]2 ≠a yzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。例2：判断下列系统是否为线性系统？例2：判断下列系统是否为线性系统？解：y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 满足可分解性；T[{a f1(t)+ b f2(t) }, {0}]= aT[{f1(t)}, {0}] +bT[{ f2(t) }, {0}]，满足零状态线性；T[{0},{ax1(0) + bx2(0)} ] = e-t[ax1(0) +bx2(0)] = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}], 满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。2. 时不变性2. 时不变性 时不变系统：系统参数不随时间变化线性系统时不变常系数微分方程时变变系数微分方程线性时不变系统：yzs(·) = T [{ f (·) }, {0}]yzs( t-td) = T [{ f (t-td) }, {0}]yzs(k-kd) = T [{ f (k-kd) }, {0}]时不变性时不变性 f(t - td) → yzs(t - td) f(t ) → yzs(t ) 举例判断时不变系统举例判断时不变系统举例例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yzs(k) = f (k) f (k –1) （2） yzs (t) = t f (t) （3） y zs(t) = f (– t)解 (1) 令g (k) = f(k –kd) T[{0}， g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –kd) f (k–kd –1 ) 而 yzs (k –kd) = f (k –kd) f (k–kd –1) 显然 T[{0}，f(k –kd)] = yzs (k –kd) 故该系统是时不变的。 (2) 令g (t) = f(t –td) T[{0}， g (t)] = t g (t) = t f (t –td) 而 yzs (t –td)= (t –td) f (t –td) 显然T[{0}，f(t –td)] ≠ yzs (t –td) 故该系统为时变系统null(3) yzs(t) = f (– t) 令g (t) = f(t –td) , T[{0}，g (t) ] = g (– t) = f(– t –td) 而 yzs (t –td) = f [–( t – td)] 显然 T[{0}，f(t –td)] ≠ yzs (t –td) 故该系统为时变系统直观判断方法： 若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 LTI系统的微分特性和积分特性LTI系统的微分特性和积分特性本课程重点：讨论线性时不变系统。（2）微分特性： 证明(Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。（1）线性性质：齐次性和可加性(3) 积分特性：若 f (t) → yzs(t) f ’(t) → y’zs (t) 若 f (t) → yzs(t) 3. 因果性3. 因果性 因果系统：即因果系统: 激励是原因，响应是结果，响应是不输出不超前于输入。 判断方法：举例综合举例指零状态响应不会出现在激励之前的系统。有t < t0 ，yzs(t) = 0t =t0时f(t)加入： 可能在激励施加之前出现的。因果系统判断举例因果系统判断举例如下列系统均为因果系统：yzs(t) = 3f(t – 1)而下列系统为非因果系统：(1) yzs(t) = 2f(t + 1)(2) yzs(t) = f(2t)因为，令t=1时，有yzs(1) = 2f(2)因为，若f(t) = 0， t < t0 ，有yzs(t) = f(2t)=0, t < 0.5 t0 。因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 实际的物理可实现系统均为因果系统 非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。 因果信号可表示为：t = 0接入系统的信号称为因果信号。4. 稳定性4. 稳定性 一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yzs(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若│f(.)│<∞，其│yzs (.)│<∞ 则称系统是稳定的。 如： yzs(k) = f(k) + f(k-1)是稳定系统；因为，f(t) =ε(t)有界，是不稳定系统；二. LTI系统分析概述二. LTI系统分析概述 系统分析：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。 具体地说：系统分析就是建立系统的数学方程并求出解答。 系统的分析方法：输入输出法（外部法）状态变量法（内部法）（chp.8)外部法时域分析（2、3)变换域法连续系统—频域法(4)和复频域法(5)离散系统—频域法(4)和z域法(6)系统特性：系统函数（7)求解的基本思路：求解的基本思路： 把零输入响应和零状态响应分开求。 把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。采用的数学工具： 时 域： 卷积积分与卷积和 频 域： 傅里叶变换 复频域：拉普拉斯变换与Z变换§2.1 LTI连续系统的响应§2.1 LTI连续系统的响应第二章 连续系统的时域分析1.LTI连续系统的时域分析：2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换时域分析法：函数的变量----t域分析法的基础 3.时域分析法主要内容：概述： 求出响应与激励关系 经典法 零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积积分 建立线性微分方程并一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)高等数学中经典解法：完全解 = 齐次解 + 特解。 LTI连续系统：常系数的n阶线性常微分方程 齐次解： 满足齐次方程的通解，又叫齐次解 特解： 满足非齐次方程的解，叫特解 1. 齐次解1. 齐次解举例齐次方程：特征方程：特征根：后由初始条件定特征根λn个单实特征根齐 次 解 r重实根1对共轭复根r重共轭复根齐次解的形式由特征根定: 待定系数Ci在求得全解齐次解举例齐次解举例解：系统的特征方程为特征根对应的齐次解为2. 特解2. 特解特解的函数形式与激励函数形式有关如下表，将特解函数式→代入原方程，比较定出待定系数。激励f(t)响应y(t)的特解yp(t)举例常数常数特征根均不为0α≠特征根α=特征根α=r重特征根特征根≠±jβ有r重特征根为0特解举例特解举例如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。 例：给定微分方程式解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为 将此式代入方程得到 这里，P2， P1， P0，null等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到所以，特解为(2)当f(t)= et 时(2)当f(t)= et 时 特解为yp(t)=P et ，这里，P是待定系数。 代入方程后有：3. 全解3. 全解完全解 = 齐次解 + 特解注意：举例 齐次解的函数形式：仅与系统本身的特性有关特解中待定系数：特解带入非齐次方程，对比求；齐次解中待定系数：在全解求得后由初始条件定。与激励f(t)的函数形式无关又叫固有响应或自由响应特解的函数形式：又叫强迫响应由激励确定自由响应强迫响应 全解=齐次解+特解 例 题例 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。 解: (1) 特征方程： λ2 + 5λ+ 6 = 0 特解： yp(t) = e – t 其特征根： λ1= – 2，λ2= – 3齐次解： yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 特解： yp(t) = Pe – t 特解带入方程：Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 ： P=1 全解=齐次解+特解 例 题null全解： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0 （2）齐次解同上。 当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根之一相重 特解： yp(t) = (P1t + P0)e–2t 特解代入方程： P1e-2t = e–2t 得： P1= 1 但P0未定特解： yp(t) = (t + P0)e–2t 全解全解全解： y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入： y(0) = (C1+P0) + C2=1 y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 ： C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解： y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应 二．关于0-和0+状态的转换二．关于0-和0+状态的转换t=0+ f(t)接入 t=0 t=0- y(j)(0-)反映的是历史状态与激励f(t)无关初始值或起始值y(j)(0+)冲击函数匹配法（0-、 f(t)）共同决定0+t例1=右侧是否包含δ(t)、δ,(t)---例20-和0+初始值举例10-和0+初始值举例1例1：描述某系统的微分方程为 y’(t) + 3y(t) = 3f’(t) 已知y(0-)=2 f(t)= δ(t) ，求y(0+) 。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y’(t) + 3y(t) = 3δ'(t) （1） 冲击函数匹配法原理： t=0 时刻，微分方程左右两端δ(t)及其各阶导数平衡相等0-和0+初始值举例10-和0+初始值举例1y’(t) + 3y(t) = 3δ'(t)冲击函数匹配法原理： t=0 时刻，微分方程左右两端δ(t)及其各阶导数平衡相等分析：右端有δ'(t)y(t)含3δ(t),右端δ(t) 不存在y’(t)必含3δ'(t)y’(t)必含-9δ(t)y(t)含-9ε(t)y(t)在t=0时刻：有y(0+)-y(0-)=9 跳变y(0+)-y(0-)=9三.零输入响应和零状态响应三.零输入响应和零状态响应 y(t) = yzi(t) + yzs(t) LTI系统 响应第1种：自由响应+强迫响应第2种：零输入响应+零状态响应yzit): 没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；yzst): 不考虑起始储能的作用（起始状态=0），只由系统外加输入信号所产生的响应。全响应 y(t) = yzi(t) + yzs(t)的求取方法： 借助经典方法卷积积分法（后面学）1.概 述 y(t) = yh(t) + yp(t) 零输入响应和零状态响应 零输入响应和零状态响应 y(t) = y zi(t) + yzs(t)（1）. yzi(t) 零输入响应微分方程：齐次y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t)=0Czij-----待定系数（2）. yzs(t) 零状态响应微分方程：非齐次2.经典分析及求解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t) 零输入响应和零状态响应 零输入响应和零状态响应其中：Czsj------待定系数yp(t)----特解（3）. y(t) 全响应自由响应强迫响应零输入响应零状态响应3. yzi (0+)、 yzs(0+)、 及各阶导数的确定由yzi(j)(0+)由yzs(j)(0+)由y(j)(0+) 响应及各阶导数初始值 响应及各阶导数初始值(j=0,1,2,-------n-1) y(t) = yzi(t) + yzs(t) y（j) (t) = yzi(j)(t) + yzs(j)(t) y（j) (0-) = yzi (j)(0-) + yzs (j)(0-) y（j) (0+) = yzi (j)(0+) + yzs(j)(0+)⑴.起始条件yzs(0+)例1响应：零状态响应由0-、f(t)共同决定Czsj--由yzs(j)(0+)定响应：且 t=0_时:激励没有接入yzs (j)(0-)=0例1零状态（前提）yzs (j)(0+)=?t>0后：⑵. 起始条件yzi(0+)若有，利用δ函数匹配法t>0后：有输入微分方程=右端有没有δ函数其中：Czij要由起始条件yzi(j)(0+)定 yzi（j) (0+) = yzi (j)(0-) = y (j)(0-)类似电路中的换路定则yzs(0+)由 0-、f(t)共同决定零输入响应f(t)=0 t=0- yzi(j) (0-)存在零输入响应和零状态响应举例零输入响应和零状态响应举例例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f ’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t) 求该系统的零输入响应和零状态响应。 解yzi(t)形式同齐次方程： yzi ”(t) + 3yzi ’(t) + 2yzi (t) = 0齐次方程的特征根为 ： –1， – 2 yzi ,(0+)=yzi ,(0-)= y,(0-) yzi(0+)=yzi(0-)= y(0-)零输入响应： yzi (t) = Czi1e –t + Czi2e –2t Czi1 Czi2 由 yzi ,(0+)、yzi(0+)决定解得系数：Czi1=4 ,Czi2= – 2（1）零输入响应yzi(t)零状态响应yzs(t)零状态响应yzs(t)yzi(t) = 4e –t – 2e –2t ,t > 0 （2）零状态响应yzs(t) 满足下列方程y zs(t)解的形式：同非齐次方程，由两部分组成形式同齐次方程的解特解（满足非齐次方程）yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e -2t+C (对t>0后y zs”(t) + 3yzs ’(t) + 2yzs(t) = 6) yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 2δ(t) + 6ε(t) yzs(0-) = yzs’(0-) = 0 零状态响应yzs(t)零状态响应yzs(t)Czs1 Czs2 : 由yzs(0+) 及yzs ,(0+)定y zs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs (t) = 6yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e -2t+C yzs(t)中有3各系数待定：Czs1 , Czs2 , CC 应满足：带入方程求得： C=3 yzs (0+) = ？yzs ’(0+) = ？由δ函数匹配法定： 法一：分析+直接积分零状态响应yzs(t)零状态响应yzs(t) yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 右端有δ(t)微分方程积分得：yzs”(t)含有δ(t)yzs’(t)跃变yzs(t)在t = 0连续yzs’(0+)≠yzs’(0-)yzs(0+) = yzs(0-) = 0[yzs’(0+)- yzs’(0-)]+ 3[yzs (0+)- yzs(0-)]+2 因此，yzs’(0+)= 2 + yzs’(0-)=2 零状态响应yzs(t)零状态响应yzs(t) 对t>0时: yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 6 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 求得 yzs(t)= – 4e-t + e-2t + 3 ，t≥0 yzs’(0+)= 2 + yzs’(0-)=2 注意：yzi(t)、yzs(t) 顺序问题？零输入响应和零状态响应举例零输入响应和零状态响应举例例1：已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)求该系统的零输入响应和零状态响应。 已知y(0+)=3，y’(0+)=1，f(t)=ε(t) 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 例2： ⑴零输入响应：yx (t) = Cx1e –t + Cx2e –2t 零状态响应：yf(t)=Cf1e-t + Cf2e -2t+C 其中Cx1 Cx2 由 yx ‘(0+)、yx(0+)决定，而 yx（j) (0+) = yx (j)(0-) = y (j)(0-) 其中 Cf1 Cf2 由 yf '(0+)、yf (0+)决定yf (j)(0+)利用δ函数匹配法例1微分方程 yf(j)(0-)=0 与y(j)(0±)无关null同例1 yf(t)= – 4e-t + e-2t + 3 ，t≥0 y（j) (0+) = yx (j)(0+) + yf (j)(0+) ⑵ 例2 首先求出yf(t)yf(j)(0+)yx(j)(0+) 解：⑴ 零状态响应yf (t) 求得： yf(0+)= 0 yf/(0+)=2 利用 y（j) (0+) = yx (j)(0+) + yf (j)(0+)求得： yx(0+)= 3 yx/(0+)=-1 yx (t) = Cx1e –t + Cx2e –2t ⑵ 零输入响应yx(t)nullyx (t) = 4e –t – 2e –2t ,t > 0 例3：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) f(t)=ε(t)时， 求零状态响应。 分析：LTI 系统零状态响应：线性和微分特性 设f(t) 作用于系统：零状态响应yf1(t)根据LTI系统微分特性： yf1(t) = T[0, f(t)] 即：满足y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = f(t) yf1/ (t) = T[0, f /(t)] 根据LTI系统线性特性： yf(t)= 2yf1/ (t)+6yf1 (t) 冲激响应求解举例2冲激响应求解举例2解 （1）零输入响应同上：例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t) 求该系统的零输入响应和零状