高斯投影坐标正反算公式[1]

高斯投影坐标正反算公式[1] 测绘数据处理 ?8.3高斯投影坐标正反算公式 任何一种投影?坐标对应关系是最主要的,?如果是正形投影～除了满足正形投影的条件外,C-R偏微分方程,～还有它本身的特殊条件。 l8.3.1高斯投影坐标正算公式: B, x,y , 高斯投影必须满足以下三个条件: ?中央子午线投影后为直线,?中央子午线投影后长度不变,?投影具有正形性质～即正形投影条件。 由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线～即 0,,,,l/,,1/20,l,330ll(8-10)式中～x为的偶函数～y为的奇函数,～即～ l如展开为的级数～收敛。 246x,m，ml，ml，ml，？0246 ,8-33, 35y,ml，ml，ml，？135 m,m,？式中是待定系数～它们都是纬度B的函数。 01 由第三个条件知: ,x,y,x,y ,,,, ,q,l,l,q l(8-33)式分别对和q求偏导数并代入上式 dmdmdm2424024m，3ml，5ml，？,，l，l，？135dqdqdq (8-34) dmdmdm35353512ml，4ml，6ml，？,,l,l,l,？246dqdqdq l上两式两边相等～其必要充分条件是同次幂前的系数应相等～即 61 测绘数据处理 dm0m,1dq dm11m,,,22dq (8-35) dm12m,,33dq ？？？？？？ m(8-35)是一种递推公式～只要确定了就可依次确定其余各系数。 0 由第二条件知:位于中央子午线上的点～投影后的纵坐标x应等于投影前 l,0从赤道量至该点的子午线弧长X～即(8-33)式第一式中～当时有: x,X,m (8-36) 0 顾及(对于中央子午线) dX ,M dB dBNcosBr2,,,VcosB dqMM 得: dmdXdXdBc0m,,,,,r,NcosB,cosB1 (8-37,38) dqdqdBdqV dmdm11dBN11m,,,,,,,sinBcosB2 (8-39) 2dq2dBdq2 m,m,m,m依次求得并代入(8-33)式～得到高斯投影正算公式 3456 62 测绘数据处理 NN232244,,,,,,x,X，sinBcosB,l，simBcosB(5,t，9，4)l24,,,,,,224 N5246,,，sinBcosB(61,58t，t)l6,,720, NN3223,,,,,y,cosB,l，cosB(1,t，)l3,,,,,,6 (8-42) N5242225,,，cosB(5,18t，t，14,,58,t)l5,,120, 8.3.2高斯投影坐标反算公式 lx,y B, , 投影方程: ,B,(x,y)1 (8-43) l,,(x,y)2 满足以下三个条件: ?x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴,? x坐标轴投影后长度不变,?投影具有正形性质～即正形投影条件。 高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。 qB?由x求底点纬度(垂足纬度),对应的有底点处的等量纬度～求x,yff q,q,l与的关系式～仿照(8-10)式有～ f q,q(x,y) l,l(x,y) q,l由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)～可将展开为y的幂级数,又由 l于是对称投影～q必是y的偶函数～必是y的奇函数。 63 测绘数据处理 24q,n，ny，ny，？024 (8-45)3l,ny，ny，？13 n,n,n,？是待定系数～它们都是x的函数. 012 由第三条件知: ,q,l ,～ ,x,y ,l,q ,,～ (8-21) ,x,y (8-45)式分别对x和y求偏导数并代入上式 dndndn2424024，y，y，？,n，3ny，5ny，？135dxdxdx dndndn ,,35353512ny4ny6nyyyy，，，？,,，，，？,,246dxdxdx,,上式相等必要充分条件～是同次幂y前的系数相等～ dndndndn1110312n,n,,n,n,,,,,,？1234 dxdxdxdx234 第二条件～当y=0时～点在中央子午线上～即x=X～对应的点称为底点～ B其纬度为底点纬度～也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度～设所f q对应的等量纬度为。也就是在底点展开为y的幂级数。 f 由(8-45)1式 n,q 0f 依次求得其它各系数 64 测绘数据处理 dqdndqdqdBM111,,,,,,f0,,,,,,,n,,,,,,1 dXdXdXdBdXNcosBMNcosBr,,,,,,ffffff (8-51) tdndn11dB,,,,f11,,,,,,n,,,,22 (8-51)1 2dX2dBdX2NcosB,,,,ffff ………… n,n,n,n将代入(8-45)1式得 0246 ,ttff22244,,q,q,y，5，6t，,4y，，ffff242NcosB24NcosBffff t f242226，，,61，180t，120t，46,，48,tyfffff6720NcosBff (8-55)1 2422246，，,,,tyt(56t4)yfffff2，，,,,qqf4262 4NcosB24NcosBffff 36,tyf3 q,q,，，f63 (8-55) 8NcosBff n,n,n将代入(8-45)2式得(8-56)2式。(最后表达式) 135 x,y?求B,B与的关系。 f M dq,dB由(8-7)式知: NcosB B,f(q),B,f(q) (8-47) ff 65 测绘数据处理 B,f(q，q,q),f(q，dq)fff (8-48) 按台劳级数在展开 qf 23,,,,,,dB1dB1dB23,,,,,,,，，，，？Bf(q)dqdqdqf23,, (8-49) ,,,,dq26dqdq,,,,,,fff 23,,,,,,dBdBdB1123,,,,,,，，，，，，B,B,q,q，q,q，q,q，？ffff23,,,,,, dq26dqdq,,,,,,fff (8-50) 由(8-7)式可求出各阶导数: ,,dB2,,,VcosBff,, (8-53) dq,,f 2,,dB24,,,,sinBcosB(1，4,，3,)ffff2,, (8-54)1 dq,,f 3,,dB32222442,,,,cosB(1,t，5,,13,t，7,,27,t)ffffffff3,,(8-54)2 dq,,f ………………… 将式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式并按y幂集合得高斯投影坐标反算公式(8-56)1, 66 测绘数据处理 ttff,,222224B,B,y，5，3t，,9ty，，fffff32MN24MNffff tf246,y61，90t，45ty，，ff5720MNff 3yy22,，，l,,1，2t，ff3 NcosB6NcosBffff 5y24222，，，5，28t，24t，6,，8,tfffff5120NcosBff (8-56) p(x,y)P(B,l)p(x,y)归纳由求的基本思想:由点得到底点f(x,0)～将底点f作为过渡～也就是说将坐标原点o移到f点～先求q,q,Q(x,y)1f q,q,Q(x,y)关系式～再将关系式代入f1l,Q(x,y)2 B,B,Q(q,q)B,B,Q(x,y)关系式得关系式～最后将坐标原f3ff4 P(B,l)点移回到o点,从而求得点。 8.3.3高斯投影坐标正反算公式的几何解释 67 测绘数据处理 ?当B=0时x=X=0～y则随l的变化而变化～这就是说～赤道投影为一直线且为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说～中央子午线投影亦为直线～且为x轴～其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。?当l=常数时(经线),随着B值增加～x值增大～y值减小～这就告诉我们～经 cos(,B),cosB线是凹向中央子午线的曲线～且收敛于两极。又因～即当用-B代替B时～y值不变～而x值数值相等符号相反～这就说明赤道是投影的对称轴。?当B=常数时(纬线)～随着的l增加～x值和y值都增大～这就是说～纬线是凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时～x值不变～而y值数值相等符号相反～这就说明～中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件～所以经线和纬线的投影是互相垂直的。?距中央子午线愈远的子午线～投影后弯曲愈厉害～表明长度变形愈大。 GIS经纬度坐标转高斯投影直角坐标(x, y)的公式 GPS接收机接收到的是经纬度坐标～必须通过高斯投影将其转换成高斯坐标。由已知的参考大地坐标系中点的大地纬度和大地经度,B, L,～求相应的高斯投影直角坐标(x, y)的公式, 称为高斯投影正算公式。 设参考椭球的长半轴为a～第一偏心率为e～则高斯投影正算公式如下。(L、B为转换前的经纬度坐标,x、y为转换后的高斯坐标,L0为投影带的中央经线坐标,C0、C1、C2、C3为与点位无关而只与椭球参数有关的常数) 68 测绘数据处理 我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万， )中，大于等于50万的均采用高斯-克吕格投影(Gauss-Kruger)，又叫横轴墨卡托投影1:100万 (Transverse Mercator);小于50万的地形图采用正轴等角割园锥投影，又叫兰勃特投影(Lambert Conformal Conic);海上小于50万的地形图多用正轴等角园柱投影，又叫墨卡托投影(Mercator)，我国的GIS系统中应该采用与我国基本比例尺地形图系列一致的地图投影系统。 在城市GIS系统中均采用6度或3度分带的高斯-克吕格投影，因为一般城建坐标采用的是6度或3度分带的高斯-克吕格投影坐标。高斯-克吕格投影以6度或3度分带，每一个分带构成一个独立的平面直角坐标网，投影带中央经线投影后的直线为X轴(纵轴，纬度方向)，赤道投影后为Y轴(横轴，经度方向)，为了防止经度方向的坐标出现负值，规定每带的中央经线西移500公里，即东伪偏移值为500公里，由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，因此规定在横轴坐标前加上带号，如(4231898,21655933)其中21即为带号，同样所定义的东伪偏移值也需要加上带号，如21带的东伪偏移值为21500000米。 69