高等代数习题集（整理）

高等代数习题集（整理） 高等代数习题集 苏州大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 科学学院高等代数组收集 2003, 4,30 -------------------------------------------------------------------------------- 设 X = ，求X。 设二次型 f (x1, x2, ... , xn)是不定的， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 : 存在n维向量X0，使 X0'AX0 = 0，其中A是该二次型的矩阵。 设 W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}。 a 证明:W是P[x]4的子空间。 b 求W的维数与一组基。 在R3中定义变换A:任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3, x1 -4x2, 3x3)。 1， 证明:A是Rr3上线性变换， 2， 求A在基 xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。 设 ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换， W是A的不变子空间。证明:W也是A-1的不变子空间。 设V是n维欧氏空间，A是V上变换。 若任意 , V，有 (A, A) = (,)。 证明:A是V上线性变换，从而是V上正交变换。 设 X = ，求X。 设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0， 证明:存在实n维向量X0 0，使 X0'AX0 > 0。 设 A = ， W = {| R4, A = 0}。证明: [1，]W是 4的一个子空间。 [2，]求W的维数与一组基。 设 B， C = ，在 R2 x 2中定义变换A:任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。 1， 证明:A是 R2 x 2上线性变换。。 2， 求A在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形。 设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换， 若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明: V = AV.+A-1(0)。 设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。 证明:W也是A的不变子空间。 设 X = ，求X。 设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0， 证明:存在实n维向量X0 0，使 X0'AX0 > 0。 设 A = ， W = {| R4, A = 0}。证明: [1，]W是 4的一个子空间。 [2，]求W的维数与一组基。 设 B， C = ，在 R2 x 2中定义变换A:任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。 [1，]证明:A是 R2 x 2上线性变换。。 [2，]求A在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。 设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换， 若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明: V = AV.+A-1(0)。 设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。 证明:W也是A的不变子空间。 设 X = ，求矩阵X。 设实二次型 f (x1, x2, ... , xn) = X'AX的秩是n,其中A是实对称矩阵. 证明:实二次型 g(x1, x2, ... , xn) = X'A-1X与 f (x1, x2, ... , xn)有相同的正负惯性指数和符号差 。 设 W = {(a1, a2, ... , an)| ai R,ai = 0} 证明 [1，]证明:W是 Rn的子空间。 [2，]求W的维数与一组基。 设 B = , B = .在 R2中定义变换 : 对任意 X R2 x 2,X = BX + XC [1，]证明[2，]求在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵。 设 A = ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 设V为数域P上n维线性空间，V1, V2为其子空间， 且 V = V1V2,为V上可逆的线性变换. 证明: V = V1 + V2。 设V为n维欧氏空间，若A既是V上对称变换且A2 = E。 证明:存在V的一组标准正交基，使得在该基下的矩阵为 。 设 X = ，求矩阵X。 设 f (x1, x2, ... , xn) = X'AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果X'AX = 0当且仅当X = 0。 证明: f (x1, x2, ... , xn)的秩为n，符号差是n或- n. 设 = (1, 2, 3, 0), = (- 1, -2, 0, 3)， = (0, 0, 1, 1), = (1, - 2, - 1, 0)， W = {ki| ki R}。 [1，]证明:W是Rr4的子空间。 [2，]求W的维数与一组基。 设A三维向量空间V上可逆线性变换，A在 基 ,,下的矩阵是 。 [1，]证明:A的逆变换A-1也是V上线性变换。 [2，]求A-1的在 ,,下的矩阵。 设 ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 设V为n维欧氏空间，若A既是V上正交变换，又是V上对称变换。 证明:A2是V上的恒等变换。 设V为数域P上n维线性空间，W为其子空间，A为V上线性变换。 证明:维(AW) +维 (A-1(0) W) =维W。 设 X = ，求矩阵X。 设 W = {A| A R3 x 3, A' = - A}。 [1，]证明:W是 R3 x 3的一个子空间。 [2，]求W的维数与一组基。 设实二次型 f (x1, x2, ... , xn) = X'AX的秩为n， 符号差是s。证明:R中存在 (n - | s|)维子空间W使任意X0 W， X0'AX0 = 0。 在R[x]3中定义变换A:任意 f (x) R[x]3, A(f (x)) = xf'(x)。 [1，]证明:A是R[x]3上线性变换。 [2，]求A在基 1, x + 1, x2 + x + 1下的矩阵。 设 A = ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 设V为数域P上n维线性空间，A为V上线性变换。证明: 维(AV) +维 (A-1(0)) =维V。 设V为n维欧氏空间，若A是V变换，若任意 , V， (A,) = (, A)。 证明:A是V上线性变换，从而为V上对称变换。 设 V = P[x]5,f (x) V ，有 f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)， 其中r(x) = 0或次(r(x)) < 2, [1，]证明: f (x) V,令 A(f (x)) = r(x)，则A是V的一个线性变换; [2，]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵. 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换, 设A, B是n x n正定矩阵，证明:A2 + B2是正定矩阵, 设 W = {A| A = (aij)n Pn x n,aii = 0}, [1，]证明:W是 Pn x n的子空间, [2，]求W的维数与一组基, 判别下述结论是否正确，并说明理由, [1，]若n x n矩阵A, B有相同特征多项式，则A与B相似; [2，]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补，则 V = W W, 设A为n维欧氏空间V的线性变换， 证明:A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量, 设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变 求矩阵 A = 的特征值和特征向量。 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 +5x1x2 -3x2x3 的标准型，并写出所用的非退化的线性替换。 设V是由零多项式和数域 上 次数小于3的一元多项式的全体组成的P上线性空间。对于任意的 f (x) V,定义 (f (x)) = f'(x) - f''(x).证明 [1，]证明:是V的线性变换。 [2，]求在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵。 设V是一个欧氏空间， , V。证明: || = || ( + , - ) = 0 设 W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}. [1，]证明:W是P[x]4的子空间。 [2，]求W的维数与一组基。 设A为线性空间V上线性变换。证明: A是可逆的线性变换的充要条件是A 的特征值一定不等于零. 设A为n x n实矩阵， A = A', A3 = En 证明:A = En 。 设 X = ,求矩阵X。 在Rr3中定义线性变换A: (a1, a2, a3) R3, A(a1, a2, a3) = (2a2 + a3, a1 -4a2, 3a1)。求在基 {(1, 0, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 1)}下的矩阵. 用正交线性替换化二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形 设V为数域P上n维线性空间，A是V的一个可逆线性变换， W是A子空间。证明:W也是A-1-子空间。 设A是正定矩阵，证明: A-1, A2都是正定矩阵。 设V为数域P上n维线性空间，A是V的线性变换，且 kerA = kerA2。证明: V = kerA AV。 设V为n维欧氏空间，A是V上对称变换，且A2 = E。 证明:存在V的一标准正交基，使A在该基下的矩阵是 . 设 B P2 x 2， [1，]证明: A(X) = BX - XB,X P2 x 2是 P2 x 2上一个线性变换; [2，]当 B = 时，求A在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换。 设 W1 = | x, y, z P, W2 = | A, b, c P都是 P2 x 2的子空间。 [1，]求 W1 W2的维数和一组基; [2，]求W1 + W2的维数。 判别下述结论是否正确，并说明理由。 [1，]设 A, B Pn x n，若A, B有相同特征多项式，则A与B相似; [2，]设A是P上n维线性空间V的线性变换，若A有n个不同特征值，则 A在某基下的矩阵是对角形。 判别实二次型 f (x1, x2, x3) = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3 是不是正定的,并说明理由。 设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换。 若A有n个互异的特征值，且A的特征向量都是B的特征向量， 证明:AB = BA。 设A, B是n阶实对称矩阵，且B是正交矩阵。证明:存在n x n实可逆矩阵T，使T'AT与T'BT同时为对角形。 设 X = ，求矩阵X。 设 B， C = ，在 R2 x 2中定义变换A:任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。 [1，]证明: A是 R2 x 2上线性变换。 [2，]求A在基 E11, E12, E23, E22下的矩阵。 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, 设 W = {(a1, a2, ... , an)| Ai Rn, a1 + a2 + ... + an = 0}。 [1，]证明:W是Rn的子空间。 [2，]求W的维数与一组基。 设V为数域P上n维线性空间，V1, V2为V的两子空间， 且 V = V1 V2, A是V上可逆线性变换。证明: V = AV1 AV2。 设V是一个欧氏空间， , V， 证明: || = || + , - ) = 0。 设A是欧氏空间V的一个正交变换， 证明:A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间。 设 V = P2 x 2, B V，(1)证明:变换A: X BX - XB是V上一个线性变换;(2)当 B = 时，求A在基Eij下的矩阵。 求 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -6x2x3的标准形， 并给出所用的非退化线性替换P. 求k为何值时 f (x1, x2, x3) = x12 + (k + 2)x22 + kx32 +2x1x2 -2x1x3 -4x2x3 是正定的。 判别下述结论是否正确，并说明理由。 [1，]设 A, B Pn x n，若A, B有相同特征多项式，则A与B相似; [2，]设A是P上n维线性空间V的线性变换，若A有n个不同特征值，则 A在某基下的矩阵是对角形。 设 W1 = | x, y, z P, W2 = | A, b, c P都是 P2 x 2的子空间。 (1)求 W1 W2的维数和一组基;(2)求W1 + W2的维数。 设 A = ， [1，]求A的特征值与特征向量; [2，]A是否相似于对角形，为什么, 设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换。 若A有n个互异的特征值，且A的特征向量都是B的特征向量， 证明:AB = BA。 设A, B是n阶实矩阵，且B是正定矩阵。证明:存在实可逆矩阵P， 使PTAP与PTBP同时为对角形。 设 V = P2 x 2, B V， [1，]证明:变换A: X BX，是V上一个线性变换; [2，]当 B = 时，求A在基Eij下的矩阵。 求 f (x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3的标准形， 并给出所用的非退化线性替换. f (x1, x2, x3) = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是否正定。为什么, 判别下述结论是否正确，并说明理由。 [1，]设 A, B Pn x n，若A与B相似，则A, B有相同特征多项式; [2，]设A是n维线性空间V的线性变换，若A在某基下的矩阵是对角形， 则A有n个互异特征值。 设 = (1, 0, 1, 1), = (1, -1, 1, 2), beta1 = (1, -1, 0, 1), = (0, 1, 0, 1), W1 = L(,), W2 = L(,)。 [1，]求W1 + W2的维数和一组基; [2，]求 W1 W2的维数。 设 A = ， [1，]求A的特征值与特征向量; [2，]A是否相似于一个对角矩阵，为什么, 设A是实对称矩阵，并且A3 = En。证明:A = En。 设A, B是数域 上n维线性空间V的两线性变换。若AB = BA，并且A有n个互异的特征值。 证明:A, B有n个线性无关的公共特征向量. 设 V = P[x]5,f (x) V, A(f (x)) = r(x)， 其中 f (x) = (x3 - 1)q(x) + r(x), r(x) = 0或次(r(x)) < 3。 [1，]证明:变换A是V的一个线性变换。 [2，]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵。 设 A = 求正交矩阵T使T'AT为 设A, B是n x n正定矩阵，证明:A2 + B2是正定矩阵。 判别下述结论是否正确，并说明理由。 [1，]设A是n维线性空间V的线性变换，则 V = AV kerA; [2，]设V为欧氏空间，A是V的一个对称线性变换， ,是A之属不同特征值下的特征向量,则 , 设 ,是 上n维线性空间V的线性变换， W既是-不变子空间,也是-不变子空间.证明: [1，]W是 + ,-不变子空间; [2，]若是可逆的，则W是 -不变子空间, 设 W = {A n x n| TrA = 0}, (其中TrA 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示A的主对角线元素的和). [1，]证明:W是一个子空间; [2，]求W的维数和一组基. 设 A = 可逆，其中 A1 Pm x n, Wi = {AiX = 0} 之解空间,证明: Pn = W1 W2. 设A在基 ,,下的矩阵是 A = 求在基 = 2 +3 + , = 3 +4 + , = +2 +2下的矩阵. 设 A = 求A的特征值，特征向量.A是否相似于对角矩阵, 设A正定矩阵，证明:A*也正定. 判别下述结论是否正确，并说明理由. [1，]n级实矩阵A是负定的充要条件是A的顺序主子式全小于0; [2，]n维欧氏空间V之正交变换把V的正交基变成正交基. 设是A之属的特征向量， g(x) = akxk P[x]，证明:是g(A)之属 g()的特征向量。 设A是n维线性空间V的线性变换，证明下述等价. [1，]A可逆; [2，] kerA = {0}; [3，]A将V的基变成基. 设XTAX是实二次矩阵，XTBX是正定二次矩阵，其中A, B是对称矩阵, 则存在非退化线性替换X = PY把它们同时变换成标准形。 设 V = P[x]5,f (x) V, A(f (x)) = r(x)， 其中 f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)，r(x) = 0或次(r(x) < 2)。 [1，]证明:变换A是V的一个线性变换。 [2，]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵。 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换。 设A, B是正定矩阵，证明:A + B，A-1都是正定矩阵。 判别下述结论是否正确，并说明理由。 [1，]若数域P上n阶矩阵A, B有相同特征多项式，则A与B相似; [2，]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补，则 V = W W。 设 V1, V2, V3 V是有限维子空间，证明: dimV1 + dimV2 + dimV3 = dim(V1 + V2 + V3) + dim(V3 (V1 + V2)) + dim(V1 + V2)。 设A为n维欧氏空间V的线性变换， 证明:A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量。 设A是n维欧氏空间的一个线性变换， (,)是V的内积。证明: (A(), A())是V的内积 A可逆。 设 A = ，求A的逆矩阵。 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 +5x1x2 -3x2x3的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。 设 A = ，求A的所有特征值，特征向量。A是否相似于一个对角矩阵，为什么, 设A是P上n x n矩阵， W = {f (x) P[x]| f (A) = 0}。 证明:W关于通常的加与数乘是一个P上的线性 设 = (1, 2, 1, 0), = (- 1, 1, 1, 1), = (2, -1, 0, 1), = (1, - 1, 3, 7)，求 L(,) + L(,)与 L(,) L(,) 的维数。 设V是一个欧氏空间， , V， 证明: || = || ( + , - ) = 0。 设A是n x n实矩阵，证明:A'A是半正定矩阵。 设A是欧氏空间的一个实对称变换。证明:若A4 = 0，则A = 0。 设 A = ，求A的逆矩阵。 求二次型 f (x1, x2, x3) = 3x12 -5x1x2 +2x1x3 - x32的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。 设 A = ，求A的最小的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。 设A是P上n x n矩阵， W = {f (A)| f (x) P[x]}。 证明:W关于通常的加与数乘是一个线性空间。 设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间，对B V，令 A(B) = ，其中B'是B的转置。 [1，]证明:A是V的一个线性变换。 [2，]求A在基 ,,,下的矩阵。 设V是欧氏空间， , V。证明: (,) = | + |2 - | - |2。 设A是3 x 3矩阵。若1, 1, - 2是A的特征值，求 A2 +2A - 3E3的行列式。 设A是n x n实对称矩阵。证明:若A3是半正定矩阵，则A是半正定矩阵。 求矩阵X，使 X = 。 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 -6x1x2 +4x1x3 -7x22 + x32的一个标准形， 并写出所有的非退化的线性替换。 设 A = ，求A的最大的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。 设A是一个p上n x n矩阵，W是所有形为AB(其中B是n x m矩阵)全体所成的集。 证明:W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间。 设V是由零多项式和P上次数小于3的一元多项式的全体组成的P上的线性空间。 对于f (x) V，令 A(f (x)) = f'(x) - f''(x)。 [1，]证明:变换A是一个线性变换。 [2，]求A在基 {1, x + 1, x2 - x}下的矩阵。 设V是欧氏空间， , V。证明: 若 | + |2 = ||2 + ||2，则与正交。 设A, B都是n x n正定矩阵。证明:A + B也是正定矩阵。 设A是n x n实对称矩阵。证明: 若A5 = En，则A = En。 设 A = ，求A的逆矩阵。 求二次型 f (x1, x2, x3) = 2x12 + x22 -4x1x2 -4x2x3的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。 设 A = ，求A的最小的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。 设V是欧氏空间，W是V上所有对称变换组成的集合。 证明:W关于通常的加与数乘是一个R上的线性空间。 设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间，对B V，令 A(B) = B。 [1，]证明:A是V的一个线性变换。 [2，]求A在基 ,,,下的矩阵。 设V是一个欧氏空间， , V。证明: 若与正交，则 | + |2 - | - |2 = 0。 设A是n x n矩阵。证明:若0是A的一个特征值，则A不是可逆的。 设A是n x n实对称矩阵。是A的最大特征值。 证明: ( +1)En - A是正定矩阵。 求矩阵X，使 X = 。 求二次型 f (x1, x2, x3) = 2x12 +5x22 +5x3 设 A = ，求A的全体实的特征值，并求属于这些特征值的全体特征向量。 设 W = {f (x) P[x]| f (1) = 0}。 证明:W关于通常的加与数乘是一个上P的线性空间。 设 = (1, 2, -1, -2), = (3, 1, 1, 1), = (- 1, 0, 1, -1), = (2, 5, -6, 5), = (- 1, 2, - 7, - 3)，求 L(,,) + L(,)与 L(,,) L(,) 的维数。 设V是一个欧氏空间， , V。证明: | + |2 + | - |2 = 2||2 +2||2。 设A是3 x 3矩阵。若1, - 1, - 2是A的特征值，求 A2 -3A - 10E3的行列式。 设A是一个n x n实对称矩阵.如果对任意n维列向量(视为n x 1矩阵)， 有 (A,) > 0。证明:A是正定矩阵。 计算向量组， = , = , = , = 的秩. 计算行列式: . 求下列线性方程组的一个基础解系和解集. 证明:如果x 1,则 = - . 设 f (x), g(x) P[x]，证明:f (x)与g(x)互素的充要条件是 f2(x) + 3f (x)g(x) + g3(x) 与 4f3(x)g(x)互素. 设 f (x) R[x].证明:如果f (x)在R中有根，则f (x3)在R中有根. 已知 ,, ... ,与 ,, ... ,有相同的秩， 证明: ,, ... ,与 ,, ... ,等价. 计算向量组， = , = , = , = 的秩. 计算行列式: . 求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集 item 证明: = anxn + an-1xn-1 + ... a1x + a0. 设 f (x), g(x) P[x]，证明:f (x)与g(x)互素的充要条件是 f (x) + g3(x)与 (f (x)g(x))2互素. 设 f (x) R[x].证明:如果f (x)有正根，则 f ((x - 1)(x - 2))在R中有根. 设 ,, ... ,一组n维向量，如果单位向量 ,, ... ,可被它们线性表出， 证明: ,, ... ,线性无关. 计算矩阵的A秩， A = . 计算行列式: . 求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集. 证明: = (n + an)a1a2 ... an-1. 设 f (x), g(x) P[x]，证明:f (x)与g(x)互素的充要条件是 f3(x) - 2f (x)g(x) + g2(x) 与 f2(x)g(x)互素. 设 f (x), g(x) P[x].证明:如果g(x)次数大于0，f (x)有重因式， 证明:f (g(x))有重因式. 已知向量组 ,, ... ,的秩是r， ,, ... ,是它的一个部分组. 证明:如果 ,, ... ,线性无关， 则 ,, ... ,是 ,, ... ,的一个极大线性无关组. 计算矩阵的A秩， A = . 计算行列式: . 求下列线性方程组的一个基础解系. 证明: = (- 1)n(n + 1)a1a2 ... an. 设 f (x), g(x) P[x]，证明:f (x)与g(x)互素的充要条件是 f3(x) + g2(x)与 f (x)g3(x)互素. 设 f (x) C[x].证明:如果1是f (x)的一个根，则 = + i是f (x3)的一个根. 已知向量组 ,, ... ,的秩是r， ,, ... ,是它的一个部分组. 证明:如果 ,, ... ,线性无关， 则 ,, ... ,是 ,, ... ,的一个极大线性无关组. --------------------------------------------------------------------------------