二元函数的极值、最值

二元函数的极值、最值 4、二元函数的极值、最值 01极值定义 P208 为极大值 ，，，，，，fx、y,fx、yfx、y0000 为极小值 ，，，，，，fx、y,fx、yfx、y0000 ,fxy,0、，，,x00，，，，fxyxy, 、在、有极限值,00,，，fx、y,0y00,驻点 极值点，需判别 , ,,,,,,设 、 、 ，，，，，，fx、y,Afx、y,Bfx、y,Cxx00xy00yy00 2f ，，x、y B,AC00 A < 0 极大值 < 0 A > 0 极小值 非极值 > 0 不定 =0 33z,x，y,3xy例1、 求的极值 22,,,,f,3x,3y解: ， ， ， f,6xf,3y,3xxxxy ,,,,f,,3f,6y ， xyyy 2,f,0y,0,,3x,3y,0x4y,y,0令 ,,,,2,f,0y,13y,3x,0y,, ，，，，0,01,1得驻点 ， 22，，0,0，，在 ， B,AC,,3,0,9,0，，0,0 ，，f0,0 ? 非极值 22，，1,1，， ， B,AC,,3,36,0，，1,1 ，，1,1 ? 为 极值点 ，，f1,1,,1又 ? 为极小值 A,6,0，，1,1 2x,0例2、求，，在闭区域D:，， z,xy5,x,yy,0 的最大，最小值。 x，y,4 2,,解: ， ，，f,xy10,3x,2y，，f,x5,x,2yxy 5,x,,2xy，，10,3x,2y,0,,令 (在D内) ,,2，，x5,x,2y,0,,5y,,4, 5562555,,,,在D的内部函数只有一个驻点 ， f,,,,,,,242464,,,, x,0f,0f,0在边界 ， 在 ， y,0 2223，，，，，，在，z,x4,x5,x,4，x,x4,x,4x,x x，y,4 dz8842,8x,3x,0y,x,x, 得: ，即 ，为驻点 333dx ,,62525684256z,z,z,0z,,,, 比较 ， ， ,,64273327,, 625z,z,0得最大值 ，最小值 64 在实际问题中 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 最大，最小值往往带有附加条件，即对函数 的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这 些条件由函数的各自变量之间的一些方程来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。 ，，,x,y,0例3、 求原点到曲线的最大距离 22，，,x,y,0此题即在条件下求z,x，y的最小值问题 02条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 ，，，，,x,y,0z,fx,y 求在条件下, 的极值 ，，，，，，F,fx,y，,,x,yfx,y, 令 称为目标函数,为拉格朗日常数 ,F,0,x,,，，x,y 解得的为可能的极值点 F,0,y ,,F,0,, 22例1、求曲面4z,3x,2xy，3y到平面的最短距离 x，y,4z,1 x，y,4z,1d,解法一、曲面上任一点(x，y，z)到平面的距离 18 1222，，，，F,x，y,4z,1，,3x,2xy，3y,4z? 设 2 ,，,,，,,,Fxy4z16x2y0，，,x,1F,x，y,4z,1，,6y,2x,0，，y,x,y,,4 ,得: ，，F,,4x，y,4z,1,4,,0z1,z,22,F3x2xy3y4z0,,，,,16,,, 2d,? 驻点唯一 ? min8 ,解法二、曲面在任一点的切平面法矢量,, n,6x,2y,6y,2x,,4 ,,, 平面x+y-4z=1的法矢量n,1,1,,4 1 6x,2y6y,2x,4,,n,,当?n时，即 111,4 11z,x,y,得:, 416 111(,,)? 在点处切平面平行已知平面 4416 2111(,,)d,? 点到平面距离最短， min44168 22例2、在曲面位于第一卦限部分上求一点，使该点的切z,2,x,y 平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。 ? 曲面位于第一卦限部分上任一点(x，y，z)处的平面方程为: 2xX，2yY，Z,4,z 3，，4,zXYZV,，，,1 即 ， ? 四面体体积 4,z4,z24xy4,z 2x2y 22 故令，，，，F,3ln4,z,lnx,lny，λx，y，z,2 1,F,,，2,x,0x,x,1,F,,，2,y,0,y由 y, ,3F,,，,,0,z4,z,22,F,x，y，z,2,0,, 2x,y,得: 2 z,1 ? 驻点唯一 ,,22,, ? ,,1为所求点。 ,,22,, 22例3、在第一象限内，过椭圆曲线上任一点作椭圆3x，2xy，3y,1 的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。 解:在第一象限内曲线上任一点(x，y)处的切线方程为: 3x，y，， Y,y,,X,x x，3y ，，，，，，，，Yx，3y，X3x，y,yx，3y，x3x，y x，3y3x，y切线与两坐标轴的截距分别为x，y,y，x 3x，yx，3y ,,,,1x，3y3x，y111,,,,S,x，yy，x,,, ,,,,23x，yx，3y2x，3y3x，y,,,, 若要使S最小，只要最大 ，，，，x，3y3x，y 22故设 ，，，，，，F,x，3y3x，y，λ3x，2xy，3y,1 ,F,6x，10y，6λx，2λy,0x,,由 F,10x，6y，2λx，6λy,0,y 22,F,3x，2xy，3y,1,0λ,, 1x,y, 得: 22 ? 驻点唯一 1,s ? min4 例4、P212 例5.32 5.33 第六章 多元函数的积分 01二重积分 1、定义 P225 n ，，，， fx,yd,,limf,,,,,,,,,,,0,,1,,D 226 2、性质 P 其中表示平面区域D的面积 d,,,D ，，,,,,D，，，， , ，表D的面积 fx,yd,,f,,,,,,,D 3、几何意义 ，，，，，，fx,y,0x,y,Dz,fx,y ， ，则，，表示以为顶，fx,yd,,,D以D为底的曲顶柱体体积。 4、二重积分在直角坐标下的计算法 ，，，， fx,yd,,fx,ydxdy,,,,DD ，，z,fx,y,0设 用平面截立体得如图<1>所示的曲边梯形 x,x yx，，2，，，，其面积sx,fx,ydy ,，，yx1 b，，f，，x,yd,,sxdx ,,,aD byx，，，，2，，,fx,ydydx ,,,,，，ayx1，， byx，，2，， ,dxfx,ydy ,,，，ayx1 dhy，，2，，,dyfx,ydx ,,，，chy1 222x,1例1、计算二重积分其中D由曲线直线及y,x，，x，yd,x,,D y轴所围成。 (1,1)解:首先画出积分区域D 22y=xx=11x2222 ，，，，x，yd,,dxx，ydy,,,,x00D0 1 y,0 2x611,,1x26,,234,, xyydxxdx，,，,,,,,,,0033105,,,,0 、将二重积分，，化为累次积分，其例2fx,yd,,,yD2y,x中D为: 22y,4,x22x0 (1) 抛物线 y,x 及 y,4,x所围成 ,222,,y,x(,2,2),,解: 交点 ,,2(2,2),,y,4,x,, 224,x f(x,y)d,,dxf(x,y)dy2,,,,,2xD 2y44,y? dyf(x,y)dx，dyf(x,y)dx,,,,0,y2,4,yy k222x，y,k (2) 圆，， 所围 x，y,ky,0 x 0-kkkk-yx-y=kf(x,y)d,,dyf(x,y)dx22222x，y,k,,,,0,k,yD 220k,xkk,x,dxf(x,y)dy，dxf(x,y)dy,,,,,k000 22y,xy,4x (3)，，所围， y,1 y1,1y2f(x,y)d,,dyf(x,y)dx，dyf(x,y)dx y,,,,,,0,y02D 220,x,1例3、计算 , 0?y?1 xydxdy,,D y 11112222 ,dxxydy,xdxydyy,0(1,1),,,,00001 x,1 1133 xy20 ,, x1 33900 例4、P228，例6.1，6.2，6.3 x111yf(x),edy例5、，则 f(x)dx,(e,1),,x02 y xx，，11111 yyf(x)dx,edydx,dxedy解: ,,y,1,,,,,00x0x,,1 (1,1) ，， yxxy,x 1y1yy,dyedx,yedy 0 ,,,000 x0 11 ,y(e-1)dy,(e,1),02 222y22,y-y例6、dxedy,dyedx ,,,,0x00y y,2 222 ,y,yedy (2,2) ,0 1-4,(1-e) y,x 2 0 x 例7、交换积分次序 121x3(3,x)2 I,dxf(x,y)dy，dxf(x,y)dy,,,,0010y 2(1,1)13,2yy,x ,dyf(x,y)dxy=(3-x)/2,,0yx03 例8、 P231 例6.5例6.6，6.7(1)，6.8，6.9，6.10 5、二重积分在极坐标下计算方法 f(x,y)d,,f(rcos,,rsin,)rdrd,,,,,DD 22,x,y222ed,例9、计算 D:x，y,a ,,D 2,a222,x,y,r解:ed,,d,erdr ,,,,00D a,21,r2,,,2,ed(,r) ,02 2,a,,(,e) 222，，x，y,b,bx,0y,x例10、 D:由，，， x,yd,,,D 222，，x，y,a,a，， 0,a,b 所围。 ,2bsin,22解:x,yd,,d,rcos,sin,rdr ,,,,,2asin,D4 2bsin,4,,r44522,cos,sin,,d,,4(b,a)sin,cos,d, π,,,θ,,4342asin,4πθ,b4 γ,2bsinθ0 γ,2asinθ ,17446442 ,4(b,a),sin,,(b,a),6124 2222，，x,0x，y,1,1例11、 D由 ,x，y,1及轴所围。 x,yd,,,D ,r,1,,(,1) 得交点 ,6,r,2sin,, ,2sin,22x,yd,,d,rcon,sin,rd, ,,,,,1D6 2sin,,144,con,sin,d,,r ,,416 ,,212195624,(4sin,con,-sin,con,)d,,(sin,,sin,), ,,,4381666 例12、P238 例6.13 6.14 6.15 dxdyπ例13、证明 2π(174),,,,,2242216sinxsiny，，x，y,1 证: 2,1dxdydxdyr,,,ddr,,,,,,0022222，，，，，16sinxsiny16xy16r2222x，y,1x，y,1 12,2,16，r,2,(17,4) 0 dxdy11,2dxdy1又 ,,,,,,,,,,2244416sinxsiny2222，，，,，,xy1xy1 例14、设f(x) 在 [a,b]上连续且单调增加，试证: 22ba,x,b,b,a D,(x,y) yf(y)df(x)dx,,,,,,aa,y,b2,D 22bba,证:设 Iyf(y)df(x)dx,,,,,,a2D bb ,yf(y)d,,ydyf(x)dx,,,,aaD ,yf(y)d,,yf(x)d,,yf((y)-f(x))d,,,,,,,DDD D关于 ,xf((x)-f(y))d,,,y=x对称 D 1 ,[y(f(y)-f(x))，x(f(x)-f(y))]d,,,2D 1 ,(y-x)[f(y)-f(x)]dxdy,,2D ? ，，单增 ? ，，，，，，，， fxy,xfy,fx,0 22bb,aI,0? 即 yf(y)df(x)dx ,,,,,a2D