可逆分块矩阵的逆矩阵的求法
可逆分块矩阵的逆矩阵的求法 第29卷第3期
2008年6月
衡阳师范学院
JournalofHengyangNormalUniversity No.3Vo1.29
June.2008
可逆分块矩阵的逆矩阵的求法
刘新文,王雪松
(1.湖南工业科技职工大学,湖南衡阳421008;2.湖南交通
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
职业技术学院,湖南衡阳421001)
摘要:研究了可逆分块矩阵在各种不同条件下逆矩阵的存在性.给出了复杂可逆矩阵简单的有效的求解公式.
关键词:可逆分块矩阵;逆矩阵;求法
中图分类号:0151.21文献
标识
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码:A文章编号:1673--0313(2008)O3—0029一O3 矩阵在生物,医学,经济,金融,环境科学及工程技术领域得到了愈来愈广的应用,因此有关矩阵的有效计算问题引起了
大家的普遍关注.本文从逆矩阵的定义出发,推证了逆矩阵的各种求解方法. 0引理
引理…如果方阵A,.可逆,那么分块矩阵一(三)可逆,且其逆矩阵为一(.0一) 引理2?如果方阵B,c可逆,那么分块矩阵一()可逆,且其逆矩阵为T一1一(C.-1) 1定理
定理?设方阵B,c可逆,那么分块矩阵T一()可逆,且其逆矩阵为T一1一(Bo一一BC一-AIc一)
定理2设方阵A,.可逆,那么分块矩阵T一(三)可逆,且其逆矩阵为T一1一(三)-1一(一A.-l—B,.一)
定理3设方阵A,.可逆,那么分块矩阵T一(会三)可逆,且其逆矩阵为T—l一(会兰
--1(一.A一-I一.0一)
定理4设方阵B,c可逆,那么分块矩阵T一(兰)可逆,且其逆矩阵为T一1一(言--1(一cB-1一D,B,C.-i)
2推广
定理5设分块矩阵T一(三)可逆,且其子块方阵B可逆,那么(c一.BA)存在,且方块矩阵T的逆矩阵为:
T一(竺三--1()
,一(C--DB一A)一DB一(C--DB一A)_.,
IB一+B一A(C--DB一A)一DB一一BA(C--DB一A), 收稿日期:2008一O4一O2
作者简介:刘新文(197O一),男,湖南祁东人,湖南工业科技职工大学讲师.研究方向:高等数学,概率论与数理统计
王雪松(1974一),男,湖南祁阳人,湖南交通工程职业技术学院副教授,硕士.研究方向:软件开发,多媒体技术?
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证明由题设知分块矩阵T(三言"-7逆,且方阵B可逆. 所以有
2008年第29卷
)一(.BADB)且上式的右端可描.船rr—nn,t,一t一一又因为丁:(三. B)可
(,.BA言)一(一(C--.BA).B(c一.B,A.)1)
一
(,A)(,.BA言)
点呈)(,(BC,--.B一A一.B,(c一.B一A.)q)
一
f,(c—DBA)DB,(c—DB一A),,
?一…..
\B+B_.A(C—DBA)DB,一
B-1A(C—DB,A)一I)上述定理也可以利用待定法
证明之,现证明如下:
证明设可逆分块矩阵的逆矩阵为丁一(三丢)(Y)
由可逆矩阵的定义和性质知:T丁=丁t丁 :E,即
由(1b)式得:
把(2)式代入(1d)式得
把(3)式代入(2)式得
由(1a)式得;
把(5)式代入(1c)式得
把(6)式代入(5)式得
/AX+BZAY十BW,
\CX+DZCY+DWJ一
(AX+Bz—E
fAy+BW=0
1CX+DZ—o
ICY+DW—Eo
:,BAy
y一(C,DB一A)一
W一一B—A(C,DB一A)一
Z—B,(E,AX)
X一一(C,DB一A),DB
Y=B一+B-!A(C—DB,A)一DB一 由此即得分块矩阵T一(三言)的逆矩阵为: )
r一(三言),一()
一f,c—DB一'A)DB,(c—DB一A),, 下一小jm目m,1|
\B+B叫A(c--DBA)叫DB,一
B,A(c—DB,A)一)以下三个定理同理可证:
…,/ 定理6设分块矩阵T(.B)可逆,且其子块方阵.可逆,那么cA,B.c,一存在,且分块矩
阵T的逆矩阵为:
(1a) (1b) (1c) (1d) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ,/A BD
AC一
,,?\,,?l,
ll—
r
,,,?,y XZ
,,?\
,,J/ BD
AC
/,I?\
一
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T1
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矩
由
2008年第3期刘新文,王雪松:可逆分块矩阵的逆矩阵的求法31 r一f(A--肋c,一(A一肋一c)一肋,1
\一C(A—BDC)D-C(A—BDC)BD+D-,
定理7设分块矩阵丁=(三)可逆,K;E-~fxTfgic可逆,那么(B--AC-1D)-I存在,且分块矩阵的逆阵为:
/一C?D(B—AC一D)一C?+C?D(B—AC一D)一AC,,
\(B—ACD),一(B—ACD)AC/
定理设分块丁一(cD)可逆,且其子块方阵A可逆,那么(D--CA-1B)存在,且分块矩阵丁的逆矩阵为:
,A一+A,B(D—CA一B),一A,B(D—CA一B),,
I一(D—CA一B)一CA一(DCA一B)一lJ
参考文献:
E1]北京大学代数与几何教研室.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1978. [2]丘维声.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1996.
[3]钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社,2002. TheMethodofInverseMatrixoftheInversableBlockMatrix
LIUXin一叫P.WANGXue—song.
(1.HunanIndustryUniversityofScienceandTechnology,HengyangHunan421008,China;
2.HunanTechnicalCollegeofCommunicationsandEngineering,HengyangHunan421001
,China)
Abstract:Inthedifferenttheoreticalframeworkofmathematicmodelanalysis,thispaperstud
iestheexistenceoftheinversema
trixoftheinversableblockmatrix,thengiveseloquentproofofthesimpleandeffectivesolutio
nformulasforthecomplexin
versematrixinvariousconditions.
Keywords:method;inversematrix;inversableblockmatrix
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