等差数列·例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
解析
1 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？
?100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a=7，d＝7，1
a＝98． n
代入a＝a＋(n－1)d中，有 n1
98＝7＋(n－1)?7
解得n＝14
100以内有14个能被7整除的自然数．
2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数
列，求此数列．
设这五个数组成的等差数列为{a} n
由已知：a＝－1，a＝7 15
?7＝－1＋(5－1)d 解出d＝2
所求数列为：－1，1，3，5，7．
11 53在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间2 22插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．
13 d=3原数列的公差－＝，所以新数列的公差′,, (5) d=22 13d=，期通项为24
3323ann,,，,,,5()1n444 323即 a=n,n44
4 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？
设a=3n，b＝4m－3，n，m?N nm
43m,令，则＝－＝为使为整数，令＝，a=b3n4m3nnm3k, nm3
得n＝4k－1(k?N)，得{a}，{b}中相同的项构成的数列{c}的通项cnmnn＝12n－3(n?N)．
则在[1000，2000]内{c}的项为84?12－3，85?12－3，…，166?12－3 n
?n＝166－84＋1=83 ?共有83个数．
5 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数． ,(xd)x(xd)=15－＋＋＋ 设三个数分别为x－d，x，x＋d． 则,222(xd)x(xd)=83－＋＋＋,
解得x＝5，d＝?2
? 所求三个数为3、5、7或7、5、3
注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．
6 已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差
数列．
?a、b、c成等差数列
?2b=a＋c
?(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c
＝a＋(a＋c)＋c
＝2(a＋c)
?b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，
如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会
这一点．
111 abab若、、成等差数列，且?，求证：、、、不c abc
可能是等差数列．
直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运
用，这时往往用反证法．
假设a、b、c是等差数列，则2b=a＋c
111又?、、成等差数列，abc 211?，即＝＋．,，2acb(ac)bac
22?2ac＝b(a＋c)=2b，b＝ac．
又? a、b、c不为0，
? a、b、c为等比数列，
又? a、b、c为等差数列，
? a、b、c为常数列，与a?b矛盾， ? 假设是错误的．
? a、b、c不可能成等差数列．
8 解答下列各题：
(1)已知等差数列{a}，a?0，公差d?0，求证： nn
?对任意k?N，关于x的方程
2ax＋2ax＋a＝0有一公共根； 1kk+1k+2?若方程的另一根为，求证数列是等差数列；x{}k1，xk
A(2)ABCabc在?中，已知三边、、成等差数列，求证：、cot 2
BCcotcot、也成等差数列．22
2(1)ax＋2ax＋a＝0 kk+1k+2
?{a}为等差数列，?2a＝a＋a nk+1kk+2
2?ax＋(a＋a)x＋a＝0 kkk+2k+2
?(ax＋a)(x＋1)=0，a?0 kk+2k
ak，2?＝－或＝－ x1xkak
11aakk,,,a1，,,2xaadk，2kkk，2,1ak
?{a}为等差数列，d为不等于零的常数 n
1?方程有一公共根－，数列是等差数列1{} 1，xk(2)由条件得 2b=a＋c
?4RsinB＝2RsinA＋2RsinC，2sinB＝sinA＋sinC
BBA+CAC,??＋＋＝4sincos=2sincos ABC π2222
A+CB ? sin=cos22
BA,C? 2sin=cos22
分析至此，变形目标需明确，即要证
BAC2cot=cot＋cot 222
由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有
ACAC，coscossinAC222cotcot，,，,ACAC22sinsinsinsin2222
AC，sin2,()将条件代入 1ACAC，,,(coscos),222
B2cosB2,,,2cotBB2sinsin,222
ABC?、、成等差数列．cotcotcot 222
9 若正数a，a，a，…a成等差数列，求证： 123n+1
111n …，，，,aaaaaa，，，aa，1223111nnn,，
aa,aa,1nn，1nn，1,, aa,,daa，nn，1nn，1
设该数列的公差为d，则
a－a=a－a＝…＝a－a=－d 1223nn+1
?a－a=－nd 1n+1
,aa1n，1?－d=n
a,aaa,aa,1223nn，1左式…=，，，aa,aa,aa,1223nn，1
aa,11n，,d,
aa,11n，, 11n，aa,
n
n,,11n，右式aa，
? 原等式成立．
10 设x?y，且两数列x，a，a，a，y和b，x， 1231
,bb43 bbyb，，，均为等差数列，求．234aa,21
,aamn d可采用＝mn,
aayx,,21 =由(1)3251,,
bb,yx,43=(2)64,52,
bb,843(2)(1)?，得, aa,321
浙公网安备 33021202002483