一类旋转体的侧面积与体积公式

一类旋转体的侧面积与体积公式 一类旋转体的侧面积与体积公式 第21卷增刊 2003年7月 中国民航学院 JOI瓜NALOFCIVILAVIATIONII,,EIn'YOFCHINA Vo1.21Suppl July2003 文章编号:1001-5000(2003)S1-0008-01 一 类旋转体的侧面积与体积公式 林漪 (天津市机电职业技术学院,天津300000) 摘要:证明了满足定理l条件的封闲曲线L,绕X轴旋转一周的侧面积A=2k~r?f|(其中f|为L|的长度).满足定 理2条件的封闭曲线L|绕轴旋转一周的体积V=Zk~rA(其中:A为图形|s的面积). 关键词:封闭曲线;旋转体侧面积;旋转体积 中图分类号:013文献标识码:B 引理设tp()在【a,6】连续且tp()>0,?(口,b);tp (口)=(b)---O,则由(,,)乙(x)---O(O<~)?JI})确定的图 像是一条经过(a,k),(b,k)且对称于y=k的封闭曲线.(以 下把具有上述性质的封闭曲线简称为对称于y=k的封闭曲 线) 证明设()在【a,6】连续,且()>0,?(口,b); (口)=(6)--0 ),=?(),)?[0,k】 y----k+,p)?0 这时,()()=.I}+()?矗>0, 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 (,Y1)位于y=k的上 面;()=y2(x)=k-~p()?0,说明(,Y2)位于y=k的下面 (在轴上面). 图像G()={(,Y)l+),?【口,hi}经过点(口,k), (b,k);图像G(正)={(,y)ly=k-~p(),E【口,hi}经过点(a, k),(6,k). 显然,G()与G(f2)是以y=k对称.故G()uG(正)是 一 条经过(a,k),(b,k)且对称于y=k的封闭曲线. 定理1设函数()在(a,b)具有一阶连续导数, ()在【d,6琏续且妒()>o,?(口,b);妒(口)=妒(6)=0,妒() E【0,k】'则由(),)乙)=0确定的封闭曲线L绕旋转 所得到旋转体(环体)的侧面积A=2kIv?.(其中:f|为周线 L的长度) 证明由已知可得,L,是对称于y---k的封闭线,且曲线 方程是YI--.k+~p)?.I},y2=k-ep)?0,它们经过点(a,k), (a,k). 因为,函数()在(口,b)具有一阶连续导数,故曲线 Y1+()的长度Z为 ,b z=f,/dxJd 因为,y2(x)---k一()对称于上支曲线,其长度也为Z,所以 ,b 1,=21=2f,/dx 现在计算厶绕轴旋转所得的旋转体(环体)的侧面积A ,brb A=2?f,/dx+2'n"?fy2,/丁dx= rb 2?I(.I}+()),/出+ ,brb 2.I,厂dx=2k~r?2I,/厂dx 故A=2k?f| 定理得证. 例1求由+(),)-_-a2(O<a~k)绕轴旋转所得到 旋转体的侧面积. 解设()=,/,可知()在【一a,a|连续,0? )?J},L是一条以(0,k)为圆心的圆周,其周长=2彻,由 定理l A=2k'n"?l,=2k~r?2~a=4ka'td 土 例2求星形线.+(),一.I})..(0<口?.I})绕轴旋转 所得到旋转体的侧面积. 222 解由星形线得(.I})=a一(1) 式(1)两边同时立方,得 22 (.I}):(口丁丁):() 222 由星形线+),=口的周长为l,=6a,所以 A=2k~r?6a=l2kant 定理2设函数()在【口,6】连续,且()>0,?(a, b),(口)=(6)--0,()?【0,k】'则由(),)'一()=0围成 图形S(L为|s的周线)绕轴旋转所得到旋转体(环体)的 体积V=2.k~r?A,其中:A为图形|s的面积. 证明从已知的条件可知,厶是对称于y--.k的封闭曲 线,其方程为 (下转第l0页) 收稿日期:2003-01—13 作者简介:林漪(1962一),女,福建莆田人,高级讲师,理学学士,研究方向为教学教学 研究 一?潮嘲翻潮潮溯潮豳淄隧懑围涠 中国民航学院2003年7月 用仃f() 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示,@)的分段线性插值函数,注意到线 性函数最大最小值必然在其定义区间端点上达到,再结合 式(4)容易得到 Ip@)一不f@)I?{Ip(嚣)一不一(?)I,:= max{IPh()-f()Il?1圳厂IIV?[?,b】(5) 另一方面,由微分学中值定理得到 f@)一仃^f@)= If,)+磐(]= (】-[(]= 【,()-f()】(1),V?(l,氟),i=1,2,…,,l 从而有 I,@)一仃,()I?2Jl0厂0,E[?,b】(6) 综上所述,有如下误差估计结果: 定理设f(x)?c2[?,b】,则由上述方法构造的分段线 性连续函数p()满足 IIpII?^IifII(7) ? 其中 』p,-f』蕾=m, ()()I 证明由式(5),(6)可得,对V?[?,b】,有 Iph()—,()I?Iph()一仃f()I+ I仃,()()I?寺^II/"II? 因此,式(7)成立. 2结束语 在解决实际问题时,羞厂(?),f(6)未知,即两端流量 不易测出时,可取 p():止 p(6):止 但在端点附近逼近效果略差. 另一个值得讨论而有趣的问题是:若介质由不同材料 构成,即K为分段常数时,如何模拟流量函数的问题.例 如:设介质在区间[?,卅,,6】上由不同物质构成,于是 此时鼹x)=-其/3f麓,,此时流量函数(()仍在=处连续,但.,@)不连续,如何构造分段线性连续函数模拟)(而不是 ,())是有价值的. 【1]1ChouSo-Hsiang,TangShengrong.ConservativeP1codonning andnonconformingGalerkinFEMS:effectivefluxevaluationvia anonmixedmethodapproach叨.SIAMJNumerAnal.2OOO.38 (2):660--680. 【2】徐利治.王仁宏.周蕴时.函数逼近的理论与方法【M】.上海:上海 【3】孙永生.函数逼近论上册【M】.北京:高等教育出版社,1985. 【4]徐萃薇.计算方法引论【M】.北京:高等教育出版社.1985. (责任嫡辑:李侃) (上接第8页) Yl=k+tp()?,),2==一()?0 它们经过点(a,k),(b,k),而图形S的面积为 ,^ As=2I(x)dx.J4 r^ 厶绕轴旋转所得到旋转体的体积由公式=订?f(Y :)出得 ,^ =订?I{+()】一()】2ld=J? ,^ 订?I2+2()+()—2+2()一()】d=J4 r^ 4k.tr?f(x)dx=-2k~r?A, 定理得证. 例3求由2+(),)(o<??|i})绕轴旋转所得到 旋转体的体积. 解由已知方程变形得 (),)2=乙 设@)=,/,则()在[吨,连续,0?()?, 方程所围的图形的面积 AI=2I~o(x)dx----dm所以,V=2k,rr?a%-=_2ka2~ 例4求方程多+=1(0<6?|i})绕轴旋转所得 到旋转体的体积. 解由已知方程变形得()==6(1一) 设 )--bVl一 则()在[-?,al连续,0?@)?|i}.方程所围的图形的面积 A,--2出订 所以 V=2k,rr.ab~-2kab1r2 定理给出绕轴旋转所得到旋转体的侧面积和体积公 式,同理可以推出绕Y轴旋转的公式. 参考文献: 【1】同济大学数学教研室.高等数学【M】.第4版.北京:高等教育出 版社.1996. (责任嫡辑:李侃) ;; 驺,娃联鞭;?乳髓瓣.,一