参数法求轨迹方程的两条主线

参数法求轨迹方程的两条主线参数法求轨迹方程的两条主线第28卷第9期2009年9月数学教学研究61 参数法求轨迹方程的两条主线安玉彬宋雪梅 1.陇西县文峰中学,甘肃陇西748000) 2.兰州城市学院数学学院,甘肃兰州730070 摘要:本文依据直线和圆锥曲线的关系,论述建立曲线方程的两种典型方法. 关键词:参数方程;求解;主线;圆锥曲线中图分类号:G632.479 高考对圆锥曲线的考查既是重点,难点, 又是热点.而这种考题的结构大多情况下少不了轨迹问题,往往是先求出曲线的轨迹方程然后再考查直线与圆锥曲线的有...

参数法求轨迹方程的两条主线第28卷第9期2009年9月数学教学研究61 参数法求轨迹方程的两条主线安玉彬宋雪梅 1.陇西县文峰中学,甘肃陇西748000) 2.兰州城市学院数学学院,甘肃兰州730070 摘要:本文依据直线和圆锥曲线的关系,论述建立曲线方程的两种典型方法. 关键词:参数方程;求解;主线;圆锥曲线中图分类号:G632.479 高考对圆锥曲线的考查既是重点,难点, 又是热点.而这种考题的结构大多情况下少不了轨迹问题,往往是先求出曲线的轨迹方程然后再考查直线与圆锥曲线的有关问题. 能否顺利的解答这种题,轨迹方程求解的正误是关键.求解轨迹方程方法较多,而参数法求轨迹方程是非常重要的一种方法,但由于坐标和参数之间的关系比较复杂,使学生感到抽象,难以理解,甚至连参数都确定不出. 实际上适合用参数法求解的轨迹方程经常是动点满足的条件不易直接得出,也元明显的相关点但却较易发现这个动点的运动常受到另一个变量(如角度,斜率,比值,截距等)制约,即动点坐标(,)中的,Y分别随另一个变量的变化而变化.具有这种特征的题目可利用参数法求解.本文就直线和圆锥曲线相交于不同两点,弦的轨迹,或者以向量式为载体给出的轨迹问题,通过两个具体的例子谈两点自己的解题策略. 例1(2007年湖南卷)已知双曲线z.一 .=2的右焦点为F,过点F的动直线与双曲线相交于A,B两点,点C的坐标是(1,0). (I) 证明 ?C百为常数; (II)若动点M满足劢一瘌二士,茄 (其中0为坐标原点),求点帕轨迹方程. 分析鳃决此题两第1条主线是弄清楚收稿日期:2009—07—20 向量式=蔬+蔬+的实质.若设 M(x,3,),A(zl,Y1),B(z2,y2),由C点的坐标为(1,0),则C–(z一1,),CB一(z2—1, Y2),蕊一(z一1,.),于是有 {z一.z.十z._而这种结构已具备参数I—l十2. 方程的形式.第2条主线是建立+z和 +2的关系,或直接消去Xl+z2,l+2,或用一个字母参数表示这两个式子,得到一个具体的参数方程.若解法选择设直线方程,那么可以斜率或截距为参量.若解法采取‖点差法‖,由于作差后的式子既包含了中点又包含了斜率,所以常利用点共线,斜率相等建立 zl+和+2的关系.(I)解题过程略, 下面给出(11)的解题过程. 解法1由条件知F(2,0).设A(, YI),B(x2,Yz),M(x,),则=(z—l,), 蔬=(zl一1,Y1),蔬=(2—1,2). (一1,o).由动一商+魂+,1导 x--l … =x~+x,一’ 即xl+x : 2=x+ 于是AB的中点坐标为(芝号). 当AB不与z轴垂直时, 62数学教学研究第28卷第9期2009年9月 M—yz—y/2一 Y z1一z2z+2一2’ 芝厶即Yt—Y2~--(一X2).(1) 又因为A,B两点在双曲线上,所以 X{一Y}一2,zi—Yi一2. 两式相减得 (z1一z2)(1+X2) =(Yi--y2)(1+Y2). 即(zl—2)(1+2)一(l--:-y2).(2) 将(1)代人(2)式,化简得 z--y.----4. 当AB与z轴垂直时,X==2,求得 M(2,O),也满足上述方程. 所以点M的轨迹方程是.--y=::4. 解法2同解法1得. f,’(3). 1Yl+Y2一Y. 当AB不与X轴垂直时,由(I)有 z~X2芸,(4)z’(4 Yl+Y2=k(xl+2—4) 一是(一4)一.c5 由(3),(4),(5)式得 +2=篙,(6) : .(7)’(― 当七?O时,?0,由(6),(7)式得 , 代人(7)式化简整理得 .一Y----4. 当正=0时,点M的坐标为(一2,0),溯足上述方程.? 当AB与.iT轴垂直时,=.一2,求得 M(2,O),也满足上述方程. 故点M的轨迹方程是.一Y.一4. 例2在平面直角坐标系 xOy中,抛物线—上异于坐标原点0的两不同动点A, B满足A0上B0(如图1). (I)求?A0B的重心G (即三角形三条中线的交点) 的轨迹方程. J r O 图1 (?)?A0lB的面积是否存在最小值? 若存在,求出最小值;若不存在,说明理由. 解(I)设AAOB的重心为G(,), A(xl,Y1),B(x2,Y2),则 f】+X2 I—丁一’ I一. 因为OA-1.OB,所以志0A?志0B=一1,即 X1X2+Y1Y2一一1.(8) 又点A,B在抛物线上,有Y一z{,Yz— ;,代人(8)化简得..==:一1.所以 =一 1( z}+;) = ?[(zl+z2)--2x1z2] -- 1~(3+- ~=3xz+吾. 所以重心为G的轨迹方程为 3,一3x.+?. 总之,像上述两个例题一样,只要动点和已知条件没有直接的联系就可以考虑用参数方程法求轨迹,求解时注意两个方面:一方面要确定题目中的参数;另一方面要建立参数和动点的关系式才能顺利的解答轨迹问题. 参考文献【1]高考研究室.我是状元:高考复习新思路?数学i’M2.呼和浩特:内蒙古大学出版社,2008. [2]y_f-#.尚考转型复习设计.立体课堂?数学 [M].济南:山东大学出版社.2007.

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