[精品]振动力学课后答案

[精品]振动力学课后 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 1.8 图示为一周期性方波。 (1)将它展成傅里叶级数; (2)比较(1)的级数与例1.1中的级数，你观察到方波相位前移1/4周期时有什么效应, 解:一个周期内函数P(t)可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 ,,,32,,,,0,ttP,022,,,Pt(),, ,P,,30,,,t 22,,T由于区间[0，T]内关于堆成，一周内面积为0，故=0。 aPt()02 tT，2axntdt,,cos ()nt,tT 32,,,p，，,02,,2,coscoscosntdtntdtntdt,,,,,， ,,,,,,,30,，，22,, ,,,32，，,p22,,,sinsinsinnnn,,,0,, ,,， ,,,,nnn,,,,3022,,，， 4P,0 n为奇数,,,n,n为偶数,0,tT，2bxntdt,,sin ()nt,tT 32,,,，，p,02,,2,sinsinsinntdtntdtntdt,,,,,， ,,,,3,,,0,，，22,, ,,,32，，,pcoscoscosnnn22,,,,,,0,,,,，,= 0 ,,,,nnn,,,,3022,,，， ?图示方波的傅里叶级数展开式为: n4P,10,，, Pantntsin()cos,,,,()tn,,？2,n11,3,nn 4P110,，，，,,,？ (coscos3cos5)ttt,35 比较例1.1，可以得到:相位前移1/4周期后，傅里叶级数的每一项函数由奇函数变为偶 函数，但各分量的幅值不变。 2.8 求图所示的系统的固有频率，其中钢丝绳的刚度为k.滑轮质量忽略不计。 1解:对于系统，钢绳等效为弹性系数为k的弹簧。 1 则每个弹簧的变形分别为: 4mgmg4mg ,,,,,,123kkk123 mgmgmg44总变形 ,,,,,，，,，，123kkk123 系统等效刚度为: kkkmg123,, ke,44，，kkkkkk231312 系统的固有频率为: kkkke123,,, n44，，mkkkkkk231312 2.27 一个有阻尼的弹簧质量系统，质量是10Kg，弹簧静伸长时1cm，自由振动20个循环后， 振幅从0.64cm减至0.16cm，求阻尼系数c。 解:由幅值 AcmAcm,,0.64,0.16,121 A0.6420,,T20,1n1,,,ee代入减幅 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 (2.65)得到 A0.1621 40,,,,,ln420()T,,两边求对数， 12,1,, cc由于振动衰减的很慢，一定很小，所以，而 ,,,,ln440,,,cmgc2,m ,s ln41.386981g,,,，,,所以 cmNsm2106.9/,,,40201s 3.14 对于图示系统，证明:(1)时，摆杆的中点是节点N，在单摆振动时N点始,,,2n ,2n终不动;(2)一般情况下，摆锤至节点N的距离为。 bl,() , ,证明:(1)由于微幅振动中偏角的变化规律为: 2a,,g,sint,,，其中， ,,,,n2l1,,nl, ,2g当时，， ,,2,,,,,2nln, x节点N的位移可表示为: N 2lla,,，,，,,sinsinxxatt,,, Ns2221,l, 12,,,,atsin(1)=0 21 即，当时，摆杆中点N在摆动中始终不动。 ,,,2n x(2)一般情况下，节点N的位移为: N 2a,,,sinsin,，,，,,xxbatbt,,, Ns21,l, 2,b,atsin(1),，,, 2l1,, x,0则不动点N的位移 N 222,,b,b,,n,101bl(1),,，,,即:,,,，， 2222l1,,,l,,,n 2,n,blbl,,,,摆锤至节点的距离 2, 3.33 求零初始条件下的无阻尼系统对图所示激振力的响应。 解:图示函数可以表示为: P,0Pt,0,,tt0,1 tP,t,1() tt,,01, 0,,tt ? 当时， 1 t1 xPtd,,,,,,()sin()(),tn0m,nt1, ,,,Ptd(1)sin(),,,0,n0mt,1nttP,0 ,,,,[sin()sin()],,,,,,tdtd,,nn00mt,1ntP11t0 ,,,,,,,,,,[cos()sin()]ttd,0nn0,,mt1nntPP00 ,,,,(1cos)sin(),,,,,ttd,nn0kkt1 udvuvvdu,, 利用分步积分法，求解后一项: ,, 1sin(),,,tddv,,tu, 令，，则 vtdt,,,,cos()nn,n tt11t,,,,tttdt ,,,,sin(),,t, cos()cos()0nnn,,00,,nn 11111,,,,tttt ,, sin(sin)nn,,,,,nnnnn tPP100 ,,,,,,,,,,sin()(sin)tdtt,nn0,ktkt11n Ptsin,t0n0,,tt? ,,,，xt(1cos),1()tnktt,11n ，xxtt,tt,?当时，由于激振力已经消除，系统将以时刻时的位移和速度作为()t()t11初始条件做自由振动。 Ptsin,01n,,， xt(cos),()1tnkt,n1 Ptcos,01n，,， xt(sin),,()1tnnkt1，x(1)t,,，,cos()sin(),,由公式(2.14)代入整理得到: xxtttt()(1)11ttnn,nPtttsinsin(),,,,01nntt,? 1xt,,，[cos],()tnkt,n1 4.10 如图所示，刚性杆AB质量不计，按图示坐标建立系统运动微分方程，并求出固有 频率和相应的主振型。 解: 当m下降单位长度时，根据系统受力平衡和m所受力矩为零得: ,，，，,20kkkkkk,5kk,5,,,11211122 解得 同理得 ,,,220klklkl，，,,kk,,4kk,,42121,,12, m054kk,，，，，系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为 K,M,,,,,,45kk02m，，，， ，，xxmkk0540,，，，，，，，，，，11由得微分方程 ，，MxKx，,0，,,,,,,,,,,,，，xx02450mkk,，，，，，，22，，，， 2，，54kpmk,,系统的特征矩阵为 B,,,2,,452kkpm，， 由频率方程 2kk42254kpmk,,215()9()0pp,，, 得 ,02mm,,452kkpm kk22p,6.85p,0.65解得 ， 12mm kkp,2.617p,0.806固有频率为 ， 12mm 2，，524kpmk,,特征矩阵的伴随矩阵 adjB,,,2,,45kkpm，， 11，，，，将固有频率值代入，得主振型 ， ,,,,12,,,,,1.08750.4625，，，， PPP,,4.29 试确定题4.17的系统对作用于质量m1和质量m4上的阶跃力的响应。 14 解:作用力方程为 ，，xxmkk000000,,,,,,,,,,,11,,,,,,,,,,，，xx000200mkkk,,22,,,,,,,,,, ，,,,,,,,,,,,，，xx000020mkkk,,33,,,,,,,,,,，，xx000000mkk,,,,,,,44,,,, 2,0，，,,kmk,,，，00x，，，，，，e1e11,,,,,,,,,,20x,20,,,kkmk,,e2e22,,,,,,,,,,令主振动为，代入得: ,，tsin,，，,,2,,,,,,,,x,,002,,,kkmk,,e3,3e3,,,,,,,,,,2x000,,kkm4e4,，，，，,,e4，，，，，， ,11000,,,，，，，，，e1,,,,,,,,,12100,,me22,,,,,,,,,,,令 方程可写成 (2) ,,,,,,k01210,,,,,e3,,,,,,00110,,,，，，，,e4，， 234,，,，,41060,,,,求得特征方程为， ,,,,,,,，,,0,2,22,22解出， 1234 2kkk,,,,,,,，,,0,,22,22于是四个固有频率为 ，，，，1234mmm ,,,,0,ee12 ,,，,,,,,20,eee123,,,,0为求主振型，先将代入(2)，得到下列方程组: 1,,，,,,,,20eee234, ,,，,,,0ee34, ,,1,,,,,,,1,1,1显然，令解得。 eee234e1 同样将,,,,,，,,2,22,22分别代入(2)得到四个主振型为: 234 ,,11，，，，11，，，，,,,,,,,,1212,，11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,。 1234,,,,,,,,11,,,,，1212，，，，,,,,,,,,,,,,11，，，，11，，，， 1111,,，， ,,112112,,，,,振型矩阵。 ,,,,121112,,,,,, ,,1111，， 4.000000，，,1,,1,,02.343100T2,,MMM,则 求得 ,,,,,,Mm,,,ppp,,004.0000,,,,00013.657，， 0.50000.65730.50000.2706,,，， ,,0.50000.27060.50000.6533,,1,,系统的正则振型为: ,,,,0.50000.27060.50000.6533,,m,,0.50000.65330.50000.2706，， P，， ,,0,,由题意，施加的作用力为 Pt(),,,0 ,,P，， P1，，，， ,,,,00.004,PTT,,,,将作用力变换到正则坐标下: RtPt,,,,,，，，，,,,,01m,,,,P0，，，， ，，由得 IRt,,，,,() m，，2tt(1cos),，,3,,k,,m2,,tt(1cos),,,32k,,Pk,,，其中。 xt(),3,,mm4m2,,tt(1cos),,,3,,k ,,m2,,tt(1cos)，,3,k，， TXMX5.12 根据由位移方程得到的瑞利商，推导里兹法的矩阵特征值问题的另外RX(),FTXMFMX 2一种形式为 。 ()0MLa,,, ˆˆˆ解:里兹法中，系统的主振型假设为， Xaaa,，，，,,,？1122ss ˆˆˆDsns，a其中是以个线性独立的假设振型作为列组成的阶矩阵:，是D,,,,？[,,,]12s TXDa,s维常数列向量aaaa,[,,,]？，主振型可写为 12s 将上式代入由位移方程求得的瑞利商中，得到: TTTaDMDaaMa2 , (1) (),,,,RXFTTT()aDMFMDaaLa TT式中 MDMD,LDMFMD,() 由于在系统的真实主振型处取驻值，所以的各元素应当从下列方程中确定: RX()aF ,RX() is,1,2,,？,0,ai ,,1TTTT于是有: aLaaMaaMaaLa,,is,1,2,,？[()()()()]02TaLaaa,,()ii ,,TT2由式(1)上式可写为: (2) ()()0aMaaLa,is,1,2,,？,,aa,,ii ,,,,TTTTT算出 ()()()2()2aMaaMaaMaaMaeMa,，,,is,1,2,,？i,,,,aaaaiiii i其中是阶单位阵的第列，上面个方程可合写为: eIssis ,T()2aMaMa, (3) ,a ,表示将函数分别对的各个元素依次求偏导，然后排成列向量，同样可得到 其中,a ,T()2aLaLa, (4) ,a ,,TT2()()0aMaaLa,相应的，式(2)可表示为，将(3)和(4)代入得: ,,aa,, 2 ()0MLa,,, 6.18 一根简支梁在t=0时刻梁上所有的点除去两端点以外都得到横向速度v，求梁的响应。 解:两端简支的等截面梁边界条件为 ,, , , , 。 Y(0)0,Y(0)0,Yl()0,Yl()0, YxCxCxCchxCshx()cossin,，，，,,,, 代入 1234 i,sin0l,,,得到，， C,0,,CC,,0413l iEJ,22,,()所以梁的固有频率: a,,i,1,2,？iilA, ix,()sinsin,,YxCxC,主振型: i,1,2,？iiil lixAl,,222将主振型代入归一化条件:，得系数 (sin)1,,ACdxC,C,iii,02l,Al ，y,0yv,梁的初始条件:， t,0t,0 l,,(0)0(),,,AYxdx正则坐标的初始条件为: jj,0 l2v，,,,,,,,(0)()2AvYxdxAl i,1,3,5,？jj,0i, ，,(0)jtt,()sin,,因没有激振力，正则广义力为0， jj,j于是梁的自由振动为 ,,212ixv,,,yxtYxtAlt(,)()()sin2sin,,, ,,iiiAlli,,,11ii,,i 2,41vlix, ,sincost,,i33ail,？i,1,3, 7.2 图示四边简支的矩形板受到均匀分布力P(P为常数)的作用而产生静变形，若t=0时00 分布力P突然移去，试求薄板的自由振动。 0 解:四边简支矩阵板的边界条件为: 22,W,WW,,0W,,0; ; 00xx,,xaxa,,22,x,x 22,W,WW,,0W,,0; 。 00yy,,ybyb,,22,x,x 代入(7.37)所假设的主振型，可以得到 ixjy,,WA,sinsin四边简支的矩形板主振型为: ijij,,ab 22Dij20,,,，()固有频率: ij,22abh, abixjy,,2,(sinsin)hWdxdyhA,,将主振型归一化: ,,ijij,,,,00ab, abixjy,,222,sinsinhAdxdy, ,ij,,00ab ab2,,,1hA ij,4 4?系数 A,ij,,hab ,,,0,(,,0)xyP,初始条件:;。 t,00,t 1,,,hPWxydxdy(0)(,)正则坐标的初始条件: rsrs,0,2,,,,rs, ab2,hP1ixjy,,0,, sinsindxdy,,200,ab,hab,rs 8P10 ,,,ij,1,3,5,,？hab22,,rs, ，,,(0)0(,)0,,,,hWxydxdy rsrs,,,,, 薄板的自由振动为: ,, ,,,(,,)(,)(0)cosxytWxyt, ,,rsrsrs,,, rs11,, ,,8P41ixiy,,0,, sinsincoshabt,,,,ij,22habab,,,？？ij1,3,5,1,3,5,,,ij, ixiy,,sinsin,,16P0ab, cost,,,ij,226ijD,？？ij1,3,5,1,3,5,,,0，()ij22ab 22Dij20,,,，() 其中: ij,22abh,