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第 30 卷第 11 期 大 学 物 理 Vol． 30 No． 11 2011 年 11 月 COLLEGE PHYSICS Nov． 2011 櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍 櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍 殻 殻殻 殻 《广义相对论入门讲座》连载 《广义相对论入门讲座》连载⑤ ———时间与空间 赵 峥 ( 北京师范大学 物理系，北京 100875) 1 坐标钟与标准钟 对于弯曲时空的任意坐标系 xμ ( μ = 0，1，2，3) ， 如果视 x0为时间坐标，则以速率 t = x 0 c 运行的钟，叫 坐标钟． t 称为坐标时间． c 是平直时空中的真 空光速． 在狭义相对论中，我们称固定于一个惯性系中 的真实的钟( 任何作等周期振动的物体) 为标准钟， 它所 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 的时间，为那个惯性系的固有时间，即静止 于那个系中的观测者亲身经历的时间．从 ds2 = － c2dT 2 + dx2 + dy2 + dz2 = － c2dT 2 ( 1) 可得此惯性系的固有时间为 dT = idsc ( 2) 相对论中习惯于用字母 τ来标记固有时间，即 dτ = idsc ( 3) 显然，这个时间正比于观测者 ( 或钟 ) 世界线的 长度． 在广义相对论中，根据等效原理，可对时空中的 任意观测者 A 引入相对于他瞬时静止的局部惯性 系 B，并仿照狭义相对论，定义静止于 B 系中的“真 实钟”为标准钟，它所记录的时间为惯性系 B 的固 有时间．当然，相对于 A 不瞬时静止的局部惯性系， 也可定义标准钟与固有时间，不过我们对此没有兴 趣．设 LA为任意观测者 A 的世界线，当 A 在 P 点 时，相对于他瞬时静止的局部惯性系的世界线为 LB，显然，LB与 LA在 P点相切( 见图 1) ．从狭义相对 论可知，惯性系 B的固有时间为 dτB = ids c ( 4) 但微分几何告诉我们，在一点的邻域，曲线 LA的线 元 dsA与其切线的线元 dsB相等，即有 图 1 观测者 A与 B的世界线 dsA = dsB ( 5) 所以，我们可以合理地定义观测者 A( 一般不是惯性 观测者) 的固有时间为 dτA = idsA c = idsB c = dτB ( 6) 它正比于 A 的世界线长度． 因此，对于弯曲时空中 的任意观测者，我们可以让他所持的钟的读数正比 于自己世界线的长度．这个钟就是他的标准钟，记录 的时间就是他的固有时间． 而且，我们看到，在他的 世界线上每一点，此固有时间都与该点的瞬时静止 惯性系的固有时间相等．因此，“随着观测者 A 一起 运动的钟”和“A 的瞬时静止惯性系的钟”，都可以 作为 A的标准钟，记录他的固有时间． 但前者只是 一个单一的钟，可连续记录 A 的固有时间，后者由 无穷多个钟组成，每一个只在一个时空点的邻域，记 录 A在那一瞬间的固有时间． 下面我们来考察相对于某一个坐标系 xμ静止 的观测者，寻找他的坐标时间与固有时间之间的关 系．从连载④中的式( 17) 和这里的式( 6 ) 不难看出 此关系为 dτ =idsc = 1 c －gμ νdx μdx槡 ν = 1 c －g槡 00dx 0 = －g槡 00dt ( 7) 这里我们已考虑到观测者静止于坐标系 xμ中的一 第 11 期 赵 峥: 《广义相对论入门讲座》连载⑤ 63 个点．从式( 7 ) 可知，在非笛卡尔坐标系中，同一时 空点的固有时间一般不等于坐标时间． 我们要强调 3 点: 1) 坐标钟是虚构的，仅在计算中有用． 标准钟 才是真实的钟．有测量意义的是标准钟记录的固有 时间，不是坐标时间． 2) 任何作周期振动的物体都可以作为标准钟． 标准钟不一定要置于惯性系或瞬时惯性系中． 它可 以在弯曲时空中沿任何类时世界线运动，所记录的 固有时间就是它的世界线的长度． 3) 任何观测者的固有时间可以等价地用两种 钟计量:他自己携带的标准钟;相对于他瞬时静止的 自由下落钟． 2 固有距离的测量 假定 A、B为空间两邻点，光信号从 A射向 B，再 反射回 A，所需要的坐标时间为( 见图 2) Δx0 = dx0( 2) － dx 0 ( 1) ( 8) 其中 dx0( 1)≡ ( 1) x0A － x 0 B，dx 0 ( 2)≡ ( 2) x0A － x 0 B ． 图 2 固有距离的测量 没有假定坐标光速各向同性，所以 dx0( 1) 不一定 等于 dx0( 2) ．在 B点引入局部惯性系，Δx 0相应的固有 时间是 Δτ = 1c － g槡 00Δx 0 ( 9) 在局部惯性系中，光速( 固有光速) 各向同性并恒等 于 c，因此，两邻点间的纯空间距离为 dl = cΔτ2 = 1 2 － g槡 00Δx 0 ( 10) 这就是用标准尺测得的纯空间距离，即固有距离．事 实上，它是依据光速不变的原理，用测量固有时间的 方法间接测得的．由 ds2 = 0 = g00 ( dx 0 ) 2 + 2g0idx 0dxi + gikdx idxk ( i，k = 1，2，3) ( 11) 可得 dx0 = － g0idx i ± ( g0ig0k － g00gik ) dx idx槡 k g00 ( 12) 所以 Δx0 = 2 ( g0ig0k － g00gik ) dx idx槡 k － g00 ( 13) 代入式( 10) 可得 dl = gik － g0ig0k g( )00 dxidx槡 k ( 14) 或 dl2 = γikdx idxk ( 15) 其中 γik = gik － g0ig0k g00 ( 16) 是纯空间度规． 注意，它不同于 gik ． 式 ( 14 ) 和式 ( 15) 所示的 dl，就是 A、B两点间的纯空间距离——— 固有距离．再强调一下，它实际上是依据光速恒定的 原理，用标准钟测得的．相对论中用来测量距离的工 具是钟而不是尺． 3 同时的传递性 在狭义相对论中，爱因斯坦指出，静止于同一惯 性系的不同空间点的钟，总可以根据光速的均匀各 向同性，用光信号来加以校准，使它们“同时”或“同 步”，从而建立起全空间的同时面． 爱因斯坦把“同时”和“同步”视作相同的概念， 本节的讨论表明，二者还是有区别的．下面我们把钟 的时刻校准，称为“同时”，把钟的快慢校准称为“同 步”． 3． 1 “同时传递性”的条件 把空间中各点的钟校准同时，建立同时面，这件 在惯性系中肯定可以做到的事情，在广义相对论的 各种弯曲时空的任意坐标系中，却不一定都能做到． 在物理学中，校准不同地方的时钟，定义“同 时”概念，都必须给出实际可行的方法，否则就是无 用的空谈．在黎曼时空的任意坐标系中，我们仍然用 光信号来校准静止于各空间点的钟，并定义“同 时”性． 设 A、B 为黎曼时空中两个相邻的空间点，L、M 分别为点 A和点 B的世界线．如果在 A 点的坐标时 刻( 1) x0A，从 A 向 B 发出一个光信号，此信号在 B 点 的坐标时刻 x0B到达 B，并反射回 A． 回到 A 时，A 的 坐标时刻为( 2) x0A ( 见图 3) ．令 dx0( 1)≡ ( 1) x0A － x 0 B ( 17) dx0( 2)≡ ( 2) x0A － x 0 B ( 18) x0A≡ ( 1) x0A + ( 2) x0A 2 ( 19) 并定义 x0A为与 x 0 B同时的 A处的坐标时刻．显然有 x0A = 1 2 ［( x 0 B + dx 0 ( 1) ) + ( x 0 B + dx 0 ( 2) ) ］ 64 大 学 物 理 第 30 卷 图 3 两异地事件的同时 = x0B + 1 2 ( dx 0 ( 2) + dx 0 ( 1) ) ( 20) 这就是说，当两异地事件同时发生时，坐标钟会相差 Δx0 = x0A － x 0 B = 1 2 ( dx 0 ( 2) + dx 0 ( 1) ) ( 21) 光信号的传播应服从式( 11) ，利用式( 12) ，可得 Δx0 = － g0i g00 dxi ( 22) 利用式( 22 ) ，可沿任一开放路径，把路径上各点的 坐标钟调整“同时”．“同时”被定义为相邻坐标钟的 指示相差 － g0i g00 dxi，但是，由于 Δx0一般不是全微分， 沿闭合路径的积分一般不等于零，即 ∮ Δx0≠0 ( 23) 所以，如果某两点相距有限距离，沿不同路径去校准 这两点的坐标钟，结果会不同．因此，若把 A 调整到 与 B同时，再把 C 调整到与 B 同时，这时 C 与 A 仍 不一定同时，即“同时性不一定具有传递性”．显然， 同时性具有传递性的充要条件是 Δx0为全微分，即 ∮ Δx0 = ∮ － g0ig( )00 dxi = 0 ( 24) 一般说来，这意味着时轴正交 g0i = 0 ( 25) 所以，仅当采用时轴正交系时，才能把空间各点的坐 标钟调整同时，建立同时面． 可见，时轴正交系在广 义相对论中具有重要意义． 3． 2 “钟速同步传递性”的条件 我们再介绍一个比建立同时面稍弱一点的命 题:使空间各点坐标钟的速率同步 ( 仅仅钟的快慢 一样，不要求有同时面) ． 在相邻的 A、B两点的第一个同时时刻，坐标钟 相差 Δx01 = x 0 A1 － x 0 B1 = － ( g0i / g00 ) 1dx i ( 26) 在第二个同时时刻，坐标钟相差 Δx02 = x 0 A2 － x 0 B2 = － ( g0i / g00 ) 2dx i ( 27) 二坐标钟的速率之差为 δ( Δx0 ) ≡( x0B2 － x 0 B1 ) － ( x 0 A2 － x 0 A1 ) = －［( g0i / g00 ) 2 － ( g0i / g00 ) 1］dx i ( 28) 上式为零的条件是( g0i / g00 ) 与坐标时间 x 0无关． 可 见，各空间点坐标钟速率相同的充分条件是  x0 g0i g00 = 0 ( 29) 充要条件则是 ∮ － g0ig( )00 1dxi = ∮ g0ig( )00 2dxi ( 30) 或  x0 ∮ Δx0 =  x0 ∮ － g0i g( )00 dxi = 0 ( 31) 也即 ∮ － g0ig( )00 dxi =  ( 32) 其中 是不依赖于时间 x0的常数． 条件式( 29 ) 比式 ( 25 ) 要弱，条件式 ( 31 ) 或式 ( 32) 则比式( 24) 要弱．这就是说，把“钟的速率调得 一样快”比把“钟调整同时”的条件要弱． 在满足条件式( 31) ，但不满足式( 24) 的坐标系 中，钟速的同步具有传递性，即可把空间中各点坐标 钟的速率调得一样快，但是，不能在空间建立同时 面，即不存在全空间统一的“同时时刻”． 此外，还应该注意，从黎曼时空中任一点的静止 标准钟与坐标钟的关系式 Δτ = 1c － g槡 00Δx 0 ( 33) 不难看出，即使把引力场中各点的坐标钟调整同步 了，各点标准钟的速率一般也不一样． 参考文献: ［1］ 刘辽，赵峥．广义相对论［M］． 2 版． 北京: 高等教育出 版社，2008． ［2］ 赵峥，刘文彪． 广义相对论基础［M］． 北京: 清华大学 出版社，2010． ［3］ 爱因斯坦 A．相对论的意义［M］．李灏，译．北京: 科学 出版社，1961． ［4］ 朗道，栗弗席兹．场论［M］．任朗，袁炳南，译．北京: 人 民教育出版社，1959; Landau L D，Lifshitz E M． The classical theory of fields［M］． Beijing: World Publishing 第 11 期 赵 峥: 《广义相对论入门讲座》连载⑤ 65 Corpotation，1999． ［5］ Mller C． The theory of relativiy［M］． 2d ed． London: Oxford Univ Press，1972． ［6］ 爱因斯坦 A．狭义与广义相对论浅说［M］．杨润殷，译． 上海:上海科学技术出版社，1964． ［7］ 梁灿彬，周彬．微分几何入门与广义相对论［M］． 2 版． 北京: 科学出版社，2006． ［8］ 刘辽，赵峥，田贵花，等． 黑洞与时间的性质［M］． 北 京: 北京大学出版社，2008． ( 上接 57 页) Distribution of electric potential between two charged confocal parabolic conductor plates by parabolic cylindrical coordinates ZHU Guo-bin，CHEN Gang，CHEN Meng-jiao ( School of Physics and Technology，Soochow University，Suzhou，Jiangsu 215006，China) Abstract: The distribution of the electric potential between two charged confocal parabolic conductor plates and the charge distributions on the conductors surface are given by parabolic cylindrical coordinates． Key words: parabolic cylindrical coordinates; parabolic plate; electric potential; charge density 欢迎订阅 2012 年《大学物理》 《大学物理》是中国物理学会主办的、以高校物理教学研究为主要内容的学术性刊物，连续多年被评为 中文核心期刊．《大学物理》的办刊宗旨是:紧密结合我国高等院校物理教学实践，开展学术交流，报导研究 成果，介绍物理学在技术领域和交叉学科的应用及物理学前沿进展，以提高我国高校物理教学质量和教学研 究水平．主要栏目有教学研究、教学讨论、物理实验、教学改革、基础物理教学现代化问题、物理教育与科学素 质培养、前沿综述、专论、物理学史与物理学家、大学生园地、专题连载等．本刊读者对象为高校物理教师、学 生、中等学校物理教师和物理学工作者等． 自创刊以来，本刊始终坚持高标准、高质量的原则，发表了许多高水平的论文．在这些论文中，有些澄清 或纠正了某些国内外教材或文献中长期存在的混乱和错误;有些对扩展教师的知识面有重要的参考价值;有 些论文的内容完全可以用来更新国内外教材的相应内容．本刊在推广教学研究成果，促进我国高校物理教学 改革和教学现代化的进程中做出了积极的贡献，并在一定程度上起到了导向的作用．本刊以严谨的科学作风 和认真的工作态度，赢得了广大读者的信赖与好评，被誉为“研讨教学、解决疑难、交流学术、开阔眼界、启迪 思维”的良师益友． 2012 年将是《大学物理》创刊 30 周年的大喜之年，本刊在这里向广大读者致以崇高的敬礼，感谢广大读 者多年来对本刊的关心和爱护，更希望在以后的日子里继续得到广大读者的支持和帮助，让我们共同携手把 《大学物理》办得更精彩． 本刊为月刊，开本为大 16 开，页数 64 页．国内由邮局发行，可在全国各地邮局订阅，邮发代号: 82 － 320; 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