【doc】关于完整体系能量积分条件的讨论

【doc】关于完整体系能量积分条件的讨论【doc】关于完整体系能量积分条件的讨论关于完整体系能量积分条件的讨论 . 力学与实践】999年第21卷 iai西蘑关于完整体系能量积分条件的讨论刘华 (河北建筑科压蘸_面葡'056038) 摘要耐理论力学教材中所给出的力学体系存在能量其中积分条件的各种表述进行妇纳,比较,讨论,明确了哪种表述方法更完善.I 关键词力学体系,能量积分,机械能,\坐标变换方程一一_———一一个完整的有势力学体系的哈密顿函数日,何时为守恒量且等于体系的机械能?何时为守恒量但不等于体系的机械能何时等...

【doc】关于完整体系能量积分条件的讨论关于完整体系能量积分条件的讨论 . 力学与实践】999年第21卷 iai西蘑关于完整体系能量积分条件的讨论刘华 (河北建筑科压蘸_面葡'056038) 摘要耐理论力学教材中所给出的力学体系存在能量其中积分条件的各种表述进行妇纳,比较,讨论,明确了哪种表述方法更完善.I 关键词力学体系,能量积分,机械能,\坐标变换方程一一_———一一个完整的有势力学体系的哈密顿函数日,何时为守恒量且等于体系的机械能?何时为守恒量但不等于体系的机械能何时等于体系的机械能但不是守恒量…一?这在不同教材中给出的条件不同.妇纳起来有:(1)力学体系所受约束是否为稳定约束(2) 坐标变换方程中是否显吉时间】.这两种表述是否一致?哪种表述方法更完美?下面对此进行分析 ,比较. 1体系的哈研顿函数H辱于恒?帕条件一般地力学体系的暗氏函数是广义坐标啦广义动量P0和时间t的函数,即H=日(‰t).取 H的全微分并利用正则方程化简,贝有【】 =酉OH dt (1)眦, =一 mm… 比较式(1),式(2)则 =一豢(3]m夙一由式(1)知若=0,则等=0,从而得初积分日=常量这是一般教材中给出的结论.实际上,由式(2)知,日与对t的依赖关系是相同的即若中不显含t,姗H中也必定不显告,;反之亦然.由式(3)知,若百OL=0则— dH 一 =0,从而H= 恒量,由此可得:体系的哈氏函数日为守恒量的条件是,该体系的拉氏函数中不显吉时阊t. 2体系的哈密顿函教H=T+V的条件设坐标变换方程为rI=r.(),则体系动能 T=++To(4) 198—02一o6收弼第1稿.199~-08-24收割惨改稿. = zzm象妇 = zzm鲁 = zm(警). 由式(4)知,若=0(稳定约束),则T=于是 H=T+[2];若鲁?0,则T=++,于是H=,To+Vi,此时H?T+V,可称为体系的广义能量由此可得:体系的哈氏函数H=T+V 的条件是,坐标变换与时间t无关. 3体系的机械能E:恒量的条件一般地说,(和缸)=T(qnt)一V(q~t),则 daTav 瓦瓦一面? 由式(5)知L中是否显含t,依赖于T,V中是否显古t若L中不显古t,jlII要求T,V中均不显若鲁由式(4)删一定有若同时瓦OV=0 , 则由式(5)知O 瓦 L =0,日为守恒量且日=T+V即此时体系机械能守恒)若?0但满足=0,若同时瓦OV=0 , 由式(5)知百OL=0 , 考虑式(3),式(4),则日为守恒量但H?T+V (H=一To+.即此时体系的广义能量守恒.由此可得:体系的机械鸵守恒的条件是,势能函数和坐标变换方程中均不显含时问t. 4结论由以上讨论知,H=常量,H:E,=常量不是一回事,有各的惫.归纳起来为: (1)若警:0,=0,删日为守恒量t且 H=T+ViE,部律墨械能守恒 (2)若等=0,?0,则日不是守恒量-但 (3)若鲁?0l但=Ul=Ul则日为守恒量.且H=一+V.即体系的广义能量守第4期刘华:关于完整体系能量积分条件的讨论67 恒; (4)若鲁?0.瓦OV?0,则日不是守恒量,怛 H=一+V即体系的广义能量不守恒. 可见,H=恒量,H=E,E=恒量的条件是不同的: (a)H=恒量的条件为L(H)中不显含 (b)H=E的条件为坐标变换与时间t无关j (c)E=恒量的条件为保守系且坐标变换与t无关. 对于保守系.在稳定约束条件下,又选坐标变换与时间t无关,则以上结论(a),(b),(c)均成立; 但只说是稳定约束,它不是(b)的充分条件(要进一步要求坐标变换与t无关)也不是(a)的必要条件. 例一质量为m的质点被约束在半径为R的一光滑细圆环上运动.若(I)圆环在水平面内绕定点0 以角速度(t)(方向垂直于平面)转动(图1);(2)圆环在竖直平面内以匀速v0(方向平行环面】竖直向上运动(图2).试讨论质点m的日函数及机械能的守恒情况. 圈2 对于(1),质点受约束为不稳定约束,取,日为广义坐标,则变换方程 z=RCOS+Rcos(~+日) =Rsin+Rsin(~+口) r' 其中=/w(t)dt+~oo(.为韧始角度).此变换方J0 程显含t(鲁?0)计算知 =m [R2#+u~Rucos2+4W22COS2;] 易见?0,虽有瓦OV= 0,但面OL?0即H既不守恒也不等于机械能j但若=常量,则茅=0. 易见,虽有鲁?0,但面07"=0.又有OV=0, 故此时H为守恒量,且H=一+V= 仇[一4t/2cos.=常量(这里=0)l 对于(2),地面为参考系,约束为不稳约束.以为广标.夺椿方稳 z=RCOS口,=rot+Rsin日其中显含t,且此时也显含t故H?恒量且日?T+.若以圆环为参考系(惯性系),约束为稳定,以日为广义坐标,则变换方程为=Rcos日, =Rsin日,其中不显含t.易知此时日等于质点的机械能且为守恒量. 可见,力学体系所受约束是否为稳定约束"与 "坐标变换方程不显含t"两种表述不是完全等同的. 因为约束是否为稳定,与参考系有关.即使对同一参考系当选用不同广义坐标时,变换方程中可能显含t 也可能不显含t,因而对同一力学体系写出的日函数及其守恒性质也可能有明显差别,只有对某一参考系 (一般为惯性系)约束为稳定的且选取广义坐标与t无关时,本文开头所述两种表述方法(1),(2)才是一致的. 因此,笔者认为,对文首所提问题 ,还是以坐标变换方程中是否显含时间这一条件给出更完善些. 参考文献 1周衍拍.理论力学.北京:高等教育出版社.1985 2胡慧玲普一理论力学基础教程.北京:高等教育出版社, 1986 3卢圣泊等.甩牛顿力学方法和分析力学方法分析机械能守恒条件时遇到的一些问题.大学物理.1988(7):1

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