Holder不等式的Jensen证明Holder不等式的Jensen证明
Jensen不等式证明Hölde不等式及其推广
引理
1:Jensen不等式
若在为凹函数，则对于任意fxab,，，,,
nnn,,i,,1,,,则有，abinii,1,2,,,in,1,2,,fxfx,,,i,0,，，，，，，,,,iiii,,i,1ii,,11,,
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用Jensen不等式证明Hölde不等式
1,,令，则，所以在为凹函数，则对于任意fxx,lnfx0,，,fx,,,0，，，，，，，，2x
11，,1,由Jensen不等式可知...
Holder不等式的Jensen证明
Jensen不等式证明Hölde不等式及其推广
引理
1:Jensen不等式
若在为凹函数，则对于任意fxab,，，,,
nnn,,i,,1,,,则有，abinii,1,2,,,in,1,2,,fxfx,,,i,0,，，，，，，,,,iiii,,i,1ii,,11,,
in,1,2,,，，
用Jensen不等式证明Hölde不等式
1,,令，则，所以在为凹函数，则对于任意fxx,lnfx0,，,fx,,,0，，，，，，，，2x
11，,1,由Jensen不等式可知 xyinii,01,2,,,,，，pq
,,xy11ii lnlnln，,，xyii,,pqpq,,
两边取为底的对数可得 e
11xypqii ，,xyiipq
pqabiixy,,,令 iinnpqab,,iiii,,11
n
ab11,iinnxypq,ii11则 ，,,,1xy,,ii11pq,,11iinnpq,,,,pqab,,ii,,,,,,,,,,11ii
11nnnpq,,,,pq整理后即得到Hölder不等式: abab,,,,iiii,,,,,,,1111,,,,ii
ain,,0(1,2,, 推广的证明:设 js,1,2,,) ij
1snnsspj1,,pj则有，其中( aa,,,,1,,,ijij,,,,jj11p,,,1ii11,,jj证明
1,,令，则，所以在为凹函数，则对于任意fxx,lnfx0,，,fx,,,0，，，，，，，，2x
s1,由Jensen不等式可知 ainjs,,,01,2,,1,2,,,1，，，，,ijp,1jjss,,xxlnijijln1,2,,,,in ，，,,,,,,ppjj,,11jj,,
两边取为底的对数可得 e
1ssxpijj,,,xin1,2,, ，，,ijj,1pj,1j
pjaij令可以得到 ,xijnpja,ij,1i
ns
1,a,ijsnnsnsxx,1jpijijj,1i 1,,,,,x,,,,,ij1,1jpp,,,,,11111jiijinjjspj,,pj,a,ij,,,1j,1i,,
1nnsspj,,pj整理后得到 aa,,,,,ijij,,,,jj11,,ii11,,
aik,(取等条件cc为常数，ks,1,2,,) n
a,iki,1
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