平面向量及运算法则

平面向量及运算法则 平面向量及运算法则 1、向量: (1)概念:既有 又有 的量叫做向量 AB(2)表示:可以用有向线段来表示，包含三个要素: 、 和 ;记为或 a AB(3)模:的长度叫向量的模，记为或 ||AB||a (4)零向量:零向量的方向是任意的 单位向量是____________的向量. (5)相等向量: 的向量叫相等向量; (6)共线向量: 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则: 加法法则: (1)平行四边形法则，要点是:统一起点; (2)三角形法则，要点是:首尾相接; 减法法则:向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指 向 。 3、实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作 ，其长度与方向,a,a规定如下: (1) = ;(2),> 0 时，与同向;,< 0 时，与反向;(3),= ||,a||||,a,aa,aa0 时，= ,a0 4、向量的线性运算满足: (1) ,,()a, ,,，(2)()= a (3)= ,()ab， 5、 其中,,R且唯一 ,,,baa,(0)ab// 随堂练习 1. ?向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上 ABCD ?若a=b, b=c,则a=c; ?若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定; ?若|a|=|b|,则a=b。 错误～未找到引用源。?若a与b共线, b与c共线,则a与c共线 其中正确命题的个数是( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 2、如图所示，D、E、F分别是?ABC的边AB、BC、CA的中点,则,( ) AF,DB C A. B. FDFCFEC. D. FEBEBAD3、在平行四边形ABCD中，下列各式中成立的是( ) A( B( ABBCCA，,ABACBC，, C( D( ACBAAD，,ACADDC，, 4(下面给出的四个式子中，其中值不一定为的是( ) 0A. B. ABBCCA，，OAOCBOCO，，， C. ABACBDCD,，, D. NQQPMNMP，，, ABADABAD，,,5(在平行四边形中，若则必有 ( ) ABCD AD,0ABAD,,00或A. B. C. 是矩形 D. 是正方形 ABCDABCD 16、如图所示，OADB是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=BC，OAaOBb3 1CN=CD(试用，表示，，( abOMONMN3 B D M N C N O A ee7、设两个非零向量、不是平行向量 12 eeeee,e(1)如果=+，=2+8，=3()，求证A、B、D三点共线; ABBCCD121212 kkeeeke(2)试确定实数的值，使+和+是两个平行向量( 1212 变式: 已知、不共线，=a+b( OAOBOPOAOB 求证:A、P、B三点共线的充要条件是a+b=1( 1(平面向量的基本定理: 如果e，e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只12 有一对实数λ，λ使a= 12 (2)平面向量的坐标运算: 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差;一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。若 ，则=,=( x，y) , (x，y)= (x, x， y, y);实数与向A(x,y),B(x,y)ABOBOA2 21121211122 量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. (3)向量共线的两种判定方法:a?,()。 ,,,,,ab, xyxy0b,01221 2(平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义:已知两个非零向量a与,，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos,叫a与,的数量积，记作a,b，即有a,b = |a||b|cos,，(,?θ?π)。并规定0与任何向量的数量积为0。注意:两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos,的符号所决定. (2)向量的数量积的几何意义:数量积a,b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos,的乘积. (3)两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量，e是单位向量; 1: e,a = a,e =|a|cos,; 2: a,b , a,b = 0; 23: 当a与b同向时，a,b = |a||b|;当a与b反向时，a,b = ,|a||b|. 特别地a,a = |a|或||aaa,, ab,4: cos, = ||||ab 5: |a,b| ? |a||b|。 (4)向量的数量积满足下列运算律 已知向量与实数。 ,abc，， ?,___________(______律) ab, ?,___________ ,ab,，， ?,___________ a+bc,，， )平面向量数量积的坐标表示 (5 a=xy,b=xy,ab=,,,已知非零向量 ，，，，1122 (6)平面内两点间的距离公式 2a设___ 或=___________ 。 a=a=(x,y), 3.向量垂直的判定 a=x,y,b=x,y,则a,b , a,b = 0; ,，,xxyy0，，，，11221212 a=x,y,b=x,y,小结:向量共线的两种判定方法 ，，，，1122 a?,()。 ,,,,,ab, xyxy0b,01221 a=x,y,b=x,y,向量垂直的两种判定方法则a,b , a,b = 0;，，，，1122 ,，,xxyy01212 4,平面向量的应用 ,1,能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问 题。 (2)用向量知识把日常生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型解决实际问题。 随堂练习 1(下列说法中，正确的是( ) ?一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底; ?一个平 面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底; ?零向量不可作为基 底中的向量。 ,(?? ,(?? ,(?? ,??? ,,,,b2(若向量= (1,1), = (1,,1), =(,1,2),则 等于( ) acc ,,1313,,bb,,A、+ B、 aa2222 ,,1313,,bb,, C、 D、+ aa2222 3.已知向量则与的关系是( ) ab,,,,(2,4) (1,2)ba A(不共线 B(相等 C(同向 D(反向 4.已知，且，则x=( ) abx,,,,(,),(,)131ab// 11A(3 B(-3 C( D( ,33 ,,5. 设是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是e,e12 ( ) ,,,,,,,,A. +和- B. 3-2和4-6 eeeeeeee12121212 ,,,,,,,C. +2和2+ D.+和 eeeeeee1212122 6.已知:,a,,3，,b,,6，当?a?b，?a?b，?a与b的夹角是60?时，分别求a?b与 | a+ b| 7(设向量满足 及 ab,ab,,1327ab,, (1)求 所成角的大小。 ab, (2)求 的值。 3ab， 平面向量的应用 能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问题。 随堂练习 ,,a1(已知,,为?,,,的,,边上的中线，若,，,，则,( ) ABAMACb ,,,,11aa,(( , ) ,(,( , ) bb22 ,,,,11,(,( ，) ,(( ，) aabb22 2(已知|a|,3，|b|,5，如果a?b，则a?b, . 11,,a,1,03.,安徽卷理3文3～设向量，b,,，则下列结论中正确的是( ) ，，,,22,, 2ab,A、 B、 ab,,2 C、ab,与垂直 D、? bba ??4.在?ABC中，AB,a，BC,b，且a?b,0，则?ABC的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 5、设表示“向东走3km” 表示“向北走3km”则+表示 。 abab ,,,,,,6.设=a+5，=-2a+8，=3a-3，那么下列各组的点中三点一定共线的是ABBCCDbbb ( ) A. A，B，C B. A， C， D C. A，B，D D. ,，,，, 7(设向量a，b满足|a|,|b|,1及|3a,2b|,3，求|3a，b|的值. ??8.在?ABC中，AB,(1，1)，AC,(2，k)，若?ABC中有一个角为直角，求实数k的值. 9.某人在静水中游泳，速度为43 千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳. (1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进,实际前进的速度为多少, (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进,实际前进的速度为多少, ,,,,a,(2,1)10(已知与，要使最小，则实数的值为___________。 b,(1,2)ta，tb 11(,重庆卷理2～已知向量满足，则( ) ab,abab,,,,0,1,2,2ab,,A. 0 B. C. 4 D. 8 22 课后习题 一、 选择 1、下列命题正确的个数是( ) ;?;?;? ?ABBA，,000,,ABABACBC,,00,,AB A、1 B、2 C、3 D、4 2、若向量,,,则等于 ( ) a,(1,1)b,,(1,1)c,,(1,2)c 13311331 A、 B、 C、 D、 ,，ab,，abab,ab,22222222 3、已知,且?,则 ( ) a,(1,2)bx,,(2,3)x,ab 33A、,3 B、 C、0 D、 ,444、下列命题中: ?若,则或; ?若不平行的两个非零向量,满足abab,,0a,0b,0 ,则; ?若与平行,则 ;?若?,?,()()0abab，,,,ab,abab,,,ababbc则?;其中真命题的个数是( ) ac A、1 B、2 C、3 D、4 5、已知，，，则与的夹角是( ) a,3b,23abab,,,3 ::::A、150 B、120 C、60 D、30 6、若a,(3,4),b,(2,,1),且(a，xb),(a,b),则实数x= ( ) 232323A、23 B、 C、 D、 234 0,若,则( ) 7、在ΔABC中AB,3,AC,4,，BAC,60BA,AC, A、6 B、4 C、-6 D、-4 二、填空题 8、已知a,(5,x),a,13,则x, 19、已知MAMB,,,(2,4),(2,6)，则 AB,2 10、若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A、B、C三点共线,则x, a,(6,2)bk,,(3,)11、已知向量与的夹角是钝角,则k的取值范围是 三、解答题 12、向量，,当k为何值时，A,B,C三点共线, OAk,(,12)OB,(4,5)OCk,(10,) 13、在直角?ABC中，,(2,3)，,(1，k)，求实数k的值。(10分) ABAC ee14、 已知、是夹角为60?的两个单位向量，aee,,32，bee,,23(1)求(2)ab,121212求与的夹角. ab，ab, 15、 已知，当k为何值时,(1)与垂直, a,(1,2)b,,(3,2)kab，ab,3(2)与平行,平行时，它们是同向还是反向, kab，ab,3