正弦交流电有效值的证明
证法一:
假设有两个交变电压其最大值与周期均相同,瞬时值
表
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达式分别为u1=Mmsinωt、u2=Umcosωt,其中,ω=2π/T,把它们分别加在两个阻值相同的电阻上,设电阻的阻值为R,由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关,故在一个周期内两个交流电产生的热量相等,设都为Q,产生的总热量Q总=2Q。在任一时刻t,这两个电阻上的热功率分别为
,
.
两个电阻上总的发热功率为
。可见两个电阻上总的发热功率是一个定值,与时刻t无关,所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为
.
用一个恒定电压为U的电源,分别给两个相同的电阻R供电,在相同时间T内,每个电阻产生的热量是Q=
,两个电阻产生的总热量为Q=
.由热效应的等效可知
。可得
。而这个恒定电流的电压U就是正弦交变电流的电压的有效值。电流、电动势有效值可同法证得。
证法二:
设流过定值电阻R的电流按正弦规律变化,即i=Imsinωt,交流电的瞬时功率为p=i2R=Im2Rsin2ωt. 因为
代入得
。
上式中,后一项在一个周期内平均值为零,因此在一个周期内交流电平均功率为:
(为最大瞬时功率的一半)
如果考虑一个恒定电流I与其等效,即P=I2R,就有
P=
,即
,所以
证法三:
(积分法)设流过定值电阻R的电流按正弦规律变化,即i=Imsinωt.因为时刻t瞬时功率p=i2R=Im2Rsin2ωt,则一个周期内电阻R上产生的热量为Q=
.
因为
代入得
,代入上式有:
。
由于第二项积分为零,所以Q=
。
如果有一个恒定电流I与其等效,即
,就有
,即
所以有