欧式空间[指南]

欧式空间[指南] 欧氏空间(Euler space) 一、 内积与欧氏空间 1.设V是实数域R上的线性空间,在V上定义一个二元实函数,称为 (,,,)(1)(,,,),(,,,),(2)？,(3)内积,记为,它具有以下性质: 这样的线性空间V称为欧几里的空间,简称欧氏空间. ,,,2.设V是数域P上的线性空间,如果V中的任意两个向量都按某 f(,,,)一法则对应P内唯一确定的数,记为,且 ;(1),k,k,P,,,,,,,V有f(k,，k,,,),kf(,,,)，k(,,,)121211221122(2),l,l,P,,,,,,,V有f(,,l,，l,),lf(,,,)，l(,,,)121211221122 f(,,,)则称是V上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数. ,,,,V4.设V是n维欧氏空间,为V的一组基,,若e,e,？,e12n ; ,,xe，xe，？，xe,,ye，ye，？，ye1122nn1122nn nnnn (,,,),(e,e)xy,axy 则, ,,,,ijijiijj,,11,,11jiji 5.称 A,(a),((e,e))为基的度量矩阵. e,e,？,eijij12n 6. 设是n维欧氏空间V的一组基,,A是基下的e,e,？,ee,e,？,e12n12n ,,,,,V(,,,),XAY度量矩阵,则任意,有. 7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 的. 二、 长度与夹角 ,,,|,|,(,,,)||01。欧氏空间V中向量长度 ;单位化:当,时，,0|,| 2(欧氏空间中的重要不等式: ? Cauchy-Буняковский不等式: ,,,,V对任意向量有。|(,,,)|,|,||,|,当且仅当,，,线性相关时等式成立。 ,,,,V? 三角不等式:对任意向量有 222|,，,|,|,|，|,|,当且仅当(,,,),0时,|,，,|,|,|，|,| ,,(,),1,,,cos3(向量的夹角:当是非零向量时，称为的夹角，|,||,| ,,,,,,0,,,,,,,,记为. 三、 标准正交基及性质 (,,,),01(在欧氏空间V中，如果，那么称正交或互相垂直。,与, 2(正交向量组(正交向量组必定线性无关) 3(正交基、标准正交基 4(关于标准正交基，有下述重要结论: ?n维欧氏空间中标准正交基总是存在的，且不唯一; ?一个标准正交基到另一个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵，反之如果第一个基是标准正交基，过渡矩阵是正交矩阵，则第二个基也是标准正交基。 ?n维欧氏空间中的一个基是标准正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵。 ?在标准正交基下，任一向量的坐标都可以通过内积表示为: ，它的逆命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 也成立;,,(,,,),，(,,,),，？，(,,,),1122nn ,,,,V?设 是n维欧氏空间V的一组标准正交基,,若e,e,？,e12n ，，则,,xe，xe，？，xe,,ye，ye，？，ye1122nn1122nn (,,,),xy，xy，？，xy1122nn 5(施密特(Schmidt)正交化 四、 格拉姆矩阵 1(n维欧氏空间中任意k(k?n)个向量的内积所组成,,,,？,,12k ,,,,,,(,)(,)？(,),,n11121,,,,,,,,(,)(,)？(,),,n21222,,,,(,,？,),的矩阵 k12,,？？？,,,,,(,,),(,,)？(,,,),n121nn, 称为k个向量的格拉姆矩阵，对应的行列式,,,,？,,12k 称为格拉姆行列式。 G，,,,,？,,),|,(,,,,？,,)|12k12k 当向量组是欧氏空间的一组基时，格拉姆矩阵是基的度量矩阵。,,,,？,,12k 2(关于格拉姆矩阵有以下结论 2G，,,,,？,,),|a|设是n维向量，则(1)，，,,a,a,？,akijii1i2in12 (2) n维欧氏空间中任意k(k?n)个向量的所组成的格拉姆行列,,,,？,,12k式不等于零的充要条件是线性无关，且行列式值大于零。,,,,？,,12k 习题举例 1(填空 ,,,1)设为n维欧氏空间V中的基,在此基下向量坐标分别为,,,,？,,12n n (,,,),ab,,则内积的充分必要条件是 。(a,a,？,a)(b,b,？,b),12n12nii,1i(是V的标准正交基) ,,,,？,,12n 2)是有限维欧氏空间的子空间，存在，使得的充分条件是子V,V,,V,,,0,,V1212空间的维数之间满足 。( 维(V),维(V)123)对角矩阵为正交矩阵的充要条件是 (对角线上的元素为?1)。 ,,V2( 设A与B是欧氏空间V的两个线性变换，并且对任意 (A(,),A(,)),(B(,),B(,))有， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 AV与BV作为欧氏空间是同构的。 证明:AV与BV均是欧氏空间V的子空间，因而对于V的内积来说作成欧氏空间。 f:A(,),B(,),,,,Vf,,,,V令，则是一个映射。因为任取， 若A(,),A(,),A(,,,),0, 得 ？(A,(,,),A,(,,)),0,(B(,,,),B(,,,))B(,,,),0,，从而有 B(,),B(,),ff即可证是单射，又是满射，现证是线性的; ,A(,),A(,),A(V),,k,Rf(A,()，A(,)),f(A(,，,),B(,，,)，有 ,B,()，B(,),f(A(,))，f(A(,)) f(kA,()),f(A(k,),B(k,),kB(,),kf(,)f，再证保持内积不变; ,,,,,VA,(，,),A,(，,)),(A,(),A,())，2(A(,),a(,))，(A(,),A(,))，有 ,B,(，,),B,(，,)),(B,(),B,())，2(B(,),B(,))，(B(,),B(,)) (A(,),A(,)),(B(,),B(,)) 所以 (f(A,(),f(A(,)),(B(,),B(,)),(A(,),A(,))f即，从而是同构映射，AV与BV作为欧氏空间是同构的。 3(设V是实数域R上的n维欧氏空间，是V的一组基，,,,,？,,C,C,？,C12n12n ,,V,是R中的n个数。证明:存在唯一向量使得内积 。(1993年北京理工大学考研 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 )(,,,),Ci,1,2,？,nii 证:设内积关于基下的度量矩阵为A，且设 ,,,,？,,12n 0,,,,k,,1,,？,,k,,2,,(,,,),(k,？,k)A1i,i,1,2,？,n (); 则，,,,,？,,i1n12n,,,,？,,？,,,,kn,,,,0,, 所以 10？0,,,,01？0,,((,,,),(,,,),？,(,,,)),(k,k,？,k)A,(k,k,？,k)A,(C,？,C)从12n12n12n1n,,？？？,,,,00？1,, ,1而=(C,C,？,C)A，所以满足条件的是存在的。 (k,？,k),n1n12 ,,V再证唯一性;设存在，也有， (,,,),Ci,1,2,？,nii 则，从而有，可推出(,,,),C,(,,,)i,1,2,？,n(,,,,,),0i,1,2,？,niiii(,,,,,,,),0,,,即。 3( (1993年浙江大学考研题)欧氏空间中的两组向量,,,,？,,12m ，若满足 (,,,),(,,,),i,j,1,2,？,m， ,,,,？,,ijij12m 证明:与同构。 V,L(,,,,？,,)V,L(,,,,？,,)112m212m 证明:先证;设且为V的基，设dimV,dimVdimV,r,,,,？,,112112r ，因为，(,,,),(,,,),i,j,1,2,？,mk,，k,，？，k,,0ijij1122rr ,,,,(,)？(,),,k,,rr1,11rr,,,,,,(k,k)(k,？k)？？？？ ,所以,,,,,,iiiir1i,i,11,,,,(,,,)？(,,,)krrrr1,,,, ,,,,(,)？(,),,k,,rr1,11rrr,,,,(k,？k)？？？？(k,,k,)k,,0==，。,,,,,,,riiiiii1i,1i,1i,1,,,,,(,,)？(,,,)krrrr1,,,, 由线性无关，得 同理可证，,,,,？,,dimV,r,即dimV,dimVdimV,dimV12r21221所以，即与同构。 dimV,dimVVV1212 习题举例 1(判断下列结论哪些正确,哪些不正确,正确的请说明理由;不正确的举出反例说明。 1)正交矩阵的特征根全是实的; 2)实对称矩阵的特征根全是实的; ,3)A为n阶实对称矩阵，则A正定充分必要条件是存在某非奇异矩阵B使;A,BB 4)复对称矩阵一定能相似于对角矩阵; 5)若A，B是n阶正交矩阵，且|A|=-|B|，则|A+B|=0; ,6)若对于n个非零数二次形k,0,k,0,？,k,0fxx？xXAX(,,,),12n12n , 都有 则二次形是正定二次形。f(k,k,？,k),0fxx？xXAX(,,,),12n12n ,,,(,，,,,,,),02.求证:在欧氏空间中，两个向量的模相等当且仅当。 3(举例说明:复对称矩阵的特征值不一定为实数。 2k，14(若A为n阶实对称矩阵，且, A,E(k,N) ,UAU,E.证明:存在A为n阶正交矩阵U，使得 mA,Bm,N5(设A为n阶正交矩阵，，则存在正定矩阵B，使。