导数例题

导数例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2,y,(1，cos2x)[例1]已知,则 . y, 1,2(，1)(,1)xx,,2f(x),[例2]已知函数判断f(x)在x=1处是否可导, ,1,(x，1)(x,1),2, 2y,2x，3[例3]求在点和处的切线方程。 Q(2,9)P(1,5) 1[例4]求证:函数y,x，图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其x 斜率为0的切线方程. 3,，x,0,，,x,0[例5]已知，函数，，设，记曲线在y,f(x)f(x),x,aa,01 M(x,f(x))点处的切线为 . l11 (1)求 的方程; l (x,0)(2)设 与 轴交点为，求证: xl2 2y,x[例6]求抛物线 上的点到直线的最短距离. x,y,2,0 232P[例7]已知曲线及点P(0,0)，求过点的曲线的切线方程 .S:y,,x，x，4xS3 32Rf(x),ax，3x,x，1[例8]已知函数在上是减函数，求的取值范围. a [例9]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省? 3''f(x),3x，3ax,1,g(x),f(x),ax,5f(x)[例10]函数，其中是f(x)的导函数.(1)对满足,1?a?1的一切a的值，都有g(x),0，求实数x的取值范围; 2y(2)设a,,，当实数m在什么范围内变化时，函数,f(x)的图象与直线m y,3只有一个公共点. [例11]若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度, 1 2(照度与成正比，与成反比) ，BAO,,,BA,r,sin,r ,例12,求函数的导数: 1,x232 (1)y, (2)y,(ax,bsin,x) (3)y,f(x，1)2(1，x)cosx ,例13,利用导数求和 ,2n1*(1)S=1+2x+3x+„+nx(x?0,n?N) n *123n(2)S=C+2C+3C+„+nC,(n?N) nnnnn 一、选择题 sinx1.(????)y=ecos(sinx)，则y′(0)等于( ) A.0 B.1 C.,1 D.2 x，92.(????)经过原点且与曲线y=相切的方程是( ) x，5 xxA.x+y=0或+y=0 B.x,y=0或+y=0 2525 xxC.x+y=0或,y=0 D.x,y=0或,y=0 2525 二、填空题 f(xk)f(x),,003.(????)若f′(x)=2, =_________. lim0k,02k 4.(????)设f(x)=x(x+1)(x+2)„(x+n),则f′(0)=_________. 三、解答题 225.(????)已知曲线C:y=x与C:y=,(x,2),直线l与C、C都相切，求1212直线l的方程. 6.(????)求函数的导数 x22x3(1)y=(x,2x+3)e; (2)y=. 1,x 7.(????)有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s1.4 m时，梯子上端下滑的速度. ,22222n1*8.(????)求和S=1+2x+3x+„+nx,(x?0,n?N). n 2 《导数及其应用》单元测 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 (文科) (满分:150分 时间:120分钟) 一、选择题(本大题共10小题，共50分，只有一个 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 正确) 21(函数的导数是( ) ，，f(x),2,x 22,,,,f(x),8,xf(x),4,x(A) (B) (C) (D) f(x),4,xf(x),16,x ,xf(x),x,e2(函数的一个单调递增区间是( ) ,,,,,,,, (A),1,0 (B) 2,8 (C) 1,2 (D) 0,2 3(已知对任意实数，有，且时，fxfxgxgx()()()(),,,,,，xx,0,,，则时( ) fxgx()0()0,,，x,0 ,,,,A( B( fxgx()0()0,,，fxgx()0()0,,， ,,,,C(fxgx()0()0,,， D(fxgx()0()0,,， 3，，f(x),x,3bx，3b0,14(若函数在内有极小值，则( ) 1b,(A) (B) (C) (D) 0,b,1b,1b,02 4yx,5(若曲线的一条切线与直线xy，,,480垂直，则的方程为( ) ll A( B( C( D( 430xy,,,xy，,,450430xy,，,xy，，,430 x2ye,(2)，e6(曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) 2e9222,( ,( ,( ,( e2ee24 ,,7(设fx()是函数fx()的导函数，将yfx,()和yfx,()的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ) 3 2fxaxbxc(),，，8(已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有fx'()f'(0)0,x f(1)，则的最小值为( ) fx()0,f'(0) 532A( B( C( D( 322 x2pfxxxmx:()eln21,，，，，pq9(设在内单调递增，，则是的(0)，，,qm:5?, ( ) ,(充分不必要条件 ,(必要不充分条件 ,(充分必要条件 ,(既不充分也不必要条件 10( 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是( ) f(x) //0,f(2),f(3),f(3),f(2)(A) y //0,f(3),f(3),f(2),f(2)(B) //0,f(3),f(2),f(3),f(2)(C) //0,f(3),f(2),f(2),f(3)(D) O 1 2 3 4 x 二(填空题(本大题共4小题，共20分) 11(函数fxxxx()ln(0),,的单调递增区间是,,,,( 3fxxx()128,,，12(已知函数在区间上的最大值与最小值分别为Mm,，则[3,3], ,,( Mm,, 2313(点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值y,x,x，,,3 范围是 132，，,,,，,14(已知函数(1)若函数在总是单调函数，则a的取值范围y,x，x，ax,53 [1,，,)是 . (2)若函数在上总是单调函数，则a的取值范围 . 4 (3)若函数在区间(-3，1)上单调递减，则实数的取值范围是 . a 三(解答题(本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分) 15(用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1， 问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大,最大体积是多少, 32fxxaxbxc()2338,，，，16(设函数在及时取得极值( x,1x,2 (1)求a、b的值; 2fxc(),(2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围( x,[03]， 3AB、17(设函数fxxx()32,,，，分别在处取得极小值、极大值.xoy平面上点的xx、12 PP坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直(xfx,())(xfx,())PAPB•,4Q1122 线的对称点，.求 yx,,2(4) AB、(?)求点的坐标; (?)求动点的轨迹方程. Q 32fxxx()233.,,，18. 已知函数 (1)求曲线yfx,()在点处的切线方程; x,2 (2)若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围. xmfxm，,0，， 3ax2，，f(x),,(a，1)x，4x，1a,R19(已知 3 (1)当时，求函数的单调区间。 a,,1 (2)当时，讨论函数的单调增区间。 a,R ,,x,,1,0(3)是否存在负实数a，使，函数有最小值,3, 5 2a20(已知函数，，其中( fxx,，gxxx,，lna,0，，，，x (1)若是函数的极值点，求实数的值; ahxfxgx,，x,1，，，，，， 2)若对任意的(为自然对数的底数)都有?成立，求(exxe,1,，fxgx，，，，,,1212 实数的取值范围( a 导数例题答案 2,y,(1，cos2x) [例1]已知,则 . y, 错因:复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,x2x ,有的同学忽视了,导致错解为:. y,,2sin2x(1，cos2x) 2,,,,,y,yu,2u(1，cos2x),2u,(,sin2x),(2x)y,u正解:设,,则 u,1，cos2xxux ,. ？,2u,(,sin2x),2,,4sin2x(1，cos2x)y,,4sin2x(1，cos2x) 1,2(，1)(,1)xx,,2f(x),[例2]已知函数判断f(x)在x=1处是否可导, ,1,(x，1)(x,1),2, 1122[(1，,x)，1],(1，1)22,？lim,1,？f(1),1错解:。 ,x,0,x 分析: 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 1122[(1，,x)，1],(1，1)y,22lim,lim,1解: ,,,x,,x,00xx,, ? f(x)在x=1处不可导. ，,,x,0,x,0注:，指逐渐减小趋近于0;，指逐渐增大趋近于0。 ,x,x fx，,x,fx()()00点评:函数在某一点的导数，是一个极限值，即，?x?0，lim,x,0,x ，,包括?x?0，与?x?0，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. 2y,2x，3[例3]求在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。 6 P错因:直接将，看作曲线上的点用导数求解。 Q ,PP分析:点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值;yx,1点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线( Q 2,,解: ？y,2x，3,？y,4x.？y,4x,1 P即过点的切线的斜率为4，故切线为:( y,4x，1 T(x,y)4x设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又Q000 2y,92x,6200k,，故，。 ？2x,8x，6,0.？x,1,3,4xPQ0000x,2x,200 即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为: QTQ y,4x,1,y,12x,15 点评: 要注意所给的点是否是切点(若是，可以直接采用求导数的方法求;不 是则需设出切点坐标( 1y,x，[例4]求证:函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其x 斜率为0的切线方程. 1分析: 由导数的几何意义知，要证函数y,x，的图象上各点处切线的斜率都x 小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进 行论证与求解. 111,解:(1)y,x，,？y,1,,1，即对函数y,x，定义域内的任一，其x2xxx 11y,x，导数值都小于，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线x的斜率都小于1. 111,,0(2)令，得，当时，;当时，y,,2， y,1，,2x,,1x,1x,,121x 1y,x，？曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为(1,2)与(,1,,2)，切线x 方程分别为y,2或y,,2。 点评: 在已知曲线 y,f(x)切线斜率为的情况下，要求其切线方程，需要求k ,y,f(x)f(x),k出切点，而切点的横坐标就是的导数值为时的解，即方程的k 7 ,解，将方程的解代入就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即f(x),ky,f(x) ,可写出切线方程，要注意的是方程有多少个相异实根，则所求的切线就f(x),k有多少条. 3,，[例5]已知，函数，x,0,，,，设x,0，记曲线在y,f(x)f(x),x,aa,01 处的切线为 . 点M(x,f(x))l11 (1)求 的方程; l (2)设 与 轴交点为(x,0)，求证: xl2 111 333x,ax,aa,x,x ? ; ?若，则 1221分析:本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 33,yx，,x,a,x，a()/fx,,解:(1)()limlim ,x,0,x,0,x,x 223x,x，x,x，,x33()(),lim ,x,0,x 222 ,lim[3x，3x,x，(,x)],3x,x,0 2,,y,f(x),f(x)(x,x)？切线的方程为 ？f(x),3xl11111 32即. y,(x,a),3x(x,x)111 (2)?依题意，切线方程中令y=0得， 33x,ax,a11x,x,？x,x,,?由?知， 2121223x3x11 8 2y,x[例6]求抛物线 上的点到直线的最短距离. x,y,2,0 2PP(x,x)分析:可设 为抛物线上任意一点，则可把点到直线的距离表示为自变 的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，量x 当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求. x,y,2,0 2解:根据题意可知，与直线 x,y,2=0平行的抛物线y=x的切线对应的切点到 '直线x,y,2=0的距离最短，设切点坐标为()，那么,y|,2x|,2x,1x,xx,x000 1? x,02 11? 切点坐标为，切点到直线x,y,2=0的距离(,)24 11|,,2|7224d,,， 82 72 ? 抛物线上的点到直线的最短距离为. 8 232P[例7]已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程 .P(0,0)S:y,,x，x，4xS3 2,,PPy,,2x，2x，4错解:，？过点的切线斜率，？过点的曲线k,y,4Sx,0 的切线方程为. y,4x 错因:曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导 PP数的几何意义.在此题中，点凑巧在曲线上，求过点的切线方程，却并非S PPP说切点就是点，上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程，认识不到位，发生了混淆. PPQ(x,y)正解:设过点的切线与曲线切于点，则过点的曲线的切线斜率 SS00 yy2200,k,y,,2x，2x，4,？,2x，2x，4,k？，又，。?x,x00PQ000xx00 点Q在曲线上， S 232?，?代入?得？y,,x，x，4x.00003 9 232,x，x，4x00023 ,2x，2x，4,00x0 4332P？x,0x,0化简，得，或.若，则，过点的x,x,0x,k,40000043 33535P切线方程为;若，则，过点的切线方程为过点y,4x？k,x,y,x.0488 35P的曲线的切线方程为或 y,4xy,x.S8 32Rf(x),ax，3x,x，1[例8]已知函数在上是减函数，求的取值范围. a 2,,RRf(x),3ax，6x,1,错解:在上是减函数，在上恒成立， ？f(x)？f(x),0 2对一切恒成立，，即，. ？3ax，6x,1,0x,R？,,036，12a,0？a,,3 2,,RRf(x),3ax，正解:，在上是减函数，在上恒成立，？？f(x)f(x)6x,1,0 且，即且，. ？,,0a,036，12a,0a,0？a,,3 x[例3]当 ，证明不等式. ,ln(1，x),xx,01，x xx,f(x),证明:f(x),ln(x，1),，，则，当时。g(x),ln(x，1),xx,021，x(1，x) x，，0,，,在内是增函数，，即，又？f(x)？f(x),f(0)ln(1，x),,01，x ,x,,，，0,，,g(x),，当时，g(x),0，？g(x)在内是减函数，？g(x),g(0)，x,01，x x即ln(1，x),x,0，因此，当时，不等式成立. ,ln(1，x),xx,01，x x点评:由题意构造出两个函数f(x),ln(x，1),，.利用导g(x),ln(x，1),x1，x 数求函数的单调区间，从而导出f(x),f(0)及g(x),g(0)是解决本题的关键. [例9]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省? 22解 : 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费xx，20100,x 3a为a元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A5 10 3a2yy,所需总运费为:+,().对该式求导,得ax，4000,x,100(100,x)5 2a(5x,3x，400),3aax22,,=+=,令,即得25=9(),解yy,0xx，400225x，4005x，400 之得 y=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯xxx112 yy一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,x1 车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省. 点评: 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 知识在实际优化问题中的应用空间. 3''f(x),3x，3ax,1,g(x),f(x),ax,5f(x)[例10]函数，其中是的导函数.f(x)(1)对满足,1??1的一切的值，都有,0，求实数的取值范围; aag(x)x 2y(2)设,,，当实数在什么范围内变化时，函数,的图象与直线amf(x)m y,3只有一个公共点. 2解:(1)由题意 gxxaxa,,，,335，， 2 令， ,xxax,,，,335,,,11a，，，， 对，恒有，即 gx,0,a,0,,,11a，，，， 2,10,,,，，320xx,,,,? 即 ,,2,,10，，,380xx，,,,,, 2解得 ,,,x13 2,,x,,,1故时，对满足,1?a?1的一切a的值，都有. gx,0，，,,3,, '22(2) fxxm,,33，， 3?当时，的图象与直线y,3只有一个公共点 fxx,,1m,0，， ?当时，列表: m,0 11 x ,mm,m,，,,,,m ,m m ，，，，，，', fx， ， ，，00 fx，，极大 极小 2fxfxmm,,,,,,211? ，，，，极小 Rm,，,又?的值域是，且在上单调递增 fx，，，， ?当时函数的图象与直线只有一个公共点. y,3xm,yfx,，， fxfm,,当时，恒有 xm,，，，， 32fm,,321213mmm,,,,由题意得 即，， 3333m,,2,00,2,2,2的取值范围是. 解得综上，m，，，，，， [例11]若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的a 另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度, 2(照度与成正比，与成反比) ，BAO,,,BA,r,sin,r 2y分析:如图，由光学知识，照度r与sin,成正比，与成反比， sin,A即(是与灯光强度有关的常数)要想点处有最 ,yCC2r y大的照度，只需求的极值就可以了. x22B解:设到的距离为，则， x,sin,r,x，aOr 22sinxxa,2x,,y,C,C,C(0,x,,)于是，y,C,0. 2335rr222222(x，a)(x，a) aa22,x,x,,a,2x,0当y,0时，即方程的根为(舍)与，在我们讨1222 a,，0,，,论的半闭区间内，所以函数y,f(x)在点取极大值，也是最大值。即 2 aAy当电灯与点距离为时，点的照度为最大. O2 12 aa(,，,)(0，) 22 + - , y y ? ? 点评:在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点 ,,使得=0且在该点两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该f(x)f(x) 点就是极值点，也是最大(小)值点. ,例12,求函数的导数: 1,x232 (1)y, (2)y,(ax,bsin,x) (3)y,f(x，1)2(1，x)cosx 命题意图:本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于????级题目. 知识依托:解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析:本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法:先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导. 22,,(1,x)(1，x)cosx,(1,x)[(1，x)cosx],(1)解:y,222(1，x),cosx 222,,,(1，x)cosx,(1,x)[(1，x)cosx，(1，x)(cosx)],222(1，x)cosx 22,(1，x)cosx,(1,x)[2xcosx,(1，x)sinx],222(1，x)cosx 22(x,2x,1)cosx，(1,x)(1，x)sinx,222(1，x)cosx 32(2)解:y=μ,μ=ax,bsinωx,μ=av,by v=x,y=sinγ γ=ωx 322y′=(μ)′=3μ?μ′=3μ(av,by)′ 22=3μ(av′,by′)=3μ(av′,by′γ′) 13 22=3(ax,bsinωx)(a,bωsin2ωx) 2(3)解法一:设y=f(μ),μ=,v=x+1,则 v 11,y′=y′μ′?v′=f′(μ)?v?2x μxvx22 112()??2x =f′x，122x，1 x2,= f(x，1),2x，1 222解法二:y′=,f(),′=f′()?()′ x，1x，1x，1 1,12222=f′()?(x+1)?(x+1)′ x，12 1,1222=f′()?(x+1) ?2x x，12 x2=f′() x，12x，1 ,例13,利用导数求和 ,2n1*(1)S=1+2x+3x+„+nx(x?0,n?N) n *123n(2)S=C+2C+3C+„+nC,(n?N) nnnnn 命题意图:培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力.属????级题目. 知识依托:通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维.由求导公式 ,nn1(x)′=nx,可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的形式结构. 错解分析:本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想. 技巧与方法:第(1)题要分x=1和x?1讨论，等式两边都求导. 解:(1)当x=1时 1S=1+2+3+„+n=n(n+1); n2 n，1x,x23n当x?1时， ?x+x+x+„+x=, 1,x 14 n，1x,x23n两边都是关于x的函数，求导得 (x+x+x+„+x)′=()′ 1,x nn，11,(n，1)x，nx,2n1即S=1+2x+3x+„+nx= n2(1,x) n2n12n(2)?(1+x)=1+Cx+Cx+„+Cx, nnn 两边都是关于x的可导函数，求导得 ,,n12n1123nn(1+x)=C+2Cx+3Cx+„+nCx, nnnn ,n1123n令x=1得，n?2=C+2C+3C+„+nC, nnnn ,n112n即S=C+2C+„+nC=n?2 nnnn ?歼灭难点训练 一、选择题 sinx1.(????)y=ecos(sinx)，则y′(0)等于( ) A.0 B.1 C.,1 D.2 x，92.(????)经过原点且与曲线y=相切的方程是( ) x，5 xxA.x+y=0或+y=0 B.x,y=0或+y=0 2525 xxC.x+y=0或,y=0 D.x,y=0或,y=0 2525二、填空题 f(xk)f(x),,003.(????)若f′(x)=2, =_________. lim0k,02k 4.(????)设f(x)=x(x+1)(x+2)„(x+n),则f′(0)=_________. 三、解答题 225.(????)已知曲线C:y=x与C:y=,(x,2),直线l与C、C都相切，求1212 直线l的方程. 6.(????)求函数的导数 x22x3(1)y=(x,2x+3)e; (2)y=. 1,x 7.(????)有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地 板以3 m/s1.4 m时，梯子上端下 15 滑的速度. ,22222n1*8.(????)求和S=1+2x+3x+„+nx,(x?0,n?N). n 参考答案 歼灭难点训练 sinx0一、1.解析:y′=e,cosxcos(sinx),cosxsin(sinx),,y′(0)=e(1,0)=1 答案:B yx，902.解析:设切点为(x,y),则切线的斜率为k=,另一方面，y′=()′00x，5x0,4=,故 2(x，5) yx，9,42(1)(2)00,,y′(x)=k,即或x+18x+45=0得x=,3,y=,15,对000002xx(x，5)(x，5)0000 ,15，933(1)(2),应有y=3,y=,因此得两个切点A(,3，3)或B(,15,),从而得y′005,15，55 ,441,,,(A)= =,1及y′(B)= ,由于切线过原点，故得切线:3225(,3，5)(155),， xl:y=,x或l:y=,. 答案:A AB25 二、 f[(x，(,k)],f(x)00,x,,k3.解析:根据导数的定义:f′(x)=(这时) lim0k,0,k f(x,k),f(x)f(x,k),f(x)10000？,[,,]limlimk,k,002k2,k 答案:,1 f(x,k),f(x)1100,,,,,f(x),,1lim0k,02,k2 4.解析:设g(x)=(x+1)(x+2)„„(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′ (0)=g(0)+0?g′(0)=g(0)=1?2?„n=n～ 答案:n! 16 三、 225.解:设l与C相切于点P(x,x),与C相切于Q(x,,(x,2)) 111222对于C:y′=2x,则与C相切于点P的切线方程为 11 22 y,x=2x(x,x),即y=2xx,x? 11111 2对于C:y′=,2(x,2),与C相切于点Q的切线方程为y+(x,2)=,2(x2222 2,2)(x,x),即y=,2(x,2)x+x,4 222 ? 22?两切线重合，?2x=,2(x,2)且,x=x,4,解得x=0,x=2或x=2,x=0 12121212 ?直线l方程为y=0或y=4x,4 6.解:(1)注意到y,0,两端取对数，得 22x2lny=ln(x,2x+3)+lne=ln(x,2x+3)+2x 22,1(x,2x，3)2x,22(x,x，2),？,y,，2,，2,222yx,2x，3x,2x，3x,2x，3 222(x,x，2)2(x,x，2)22x,？y,,y,,(x,2x，3),e 22x,2x，3x,2x，3 22x,2(x,x，2),e (2)两端取对数，得 1ln|y|=(ln|x|,ln|1,x|), 3 两边解x求导，得 111,111,,y,(,),y3x1,x3x(1,x) 111x3,？y,,,y,3x(1,x)3x(1,x)1,x 27.解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5,,当下端移开1.4 m25,9t 1,1,471122,时，t=,又s′=, (25,9t)?(,9?2t)=9t,所以s′(t)=9002231525,9t71,×=0.875(m/s) 157225,9，()15 122228.解:(1)当x=1时，S=1+2+3+„+n=n(n+1)(2n+1),当x?1时，n6 17 1nn，1,(n，1)x，nx2n-11+2x+3x+„+nx=,两边同乘以x,得 2(1,x) 12n，n，x,(n，1)x，nx22nx+2x=两边对x求导，得 +3x+„+nx2(1,x) 222222n-1S=1+2x+3x+„+nx n 2n2n，12n，21，x,(n，1)x，(2n，2n,1)x,nx= 3(1,x) 【文科测试解答】 一、选择题 222221(; ,,f(x),2,4,x,f(x),8,x，，f(x),2,x,4,x,？ xxxx，，1,x,eexe,,,1,x2(， 选(A) fxxe(),,,.？,0,？x,1,fx,,()x22xxe,,,,ee 3.(B)数形结合 22,,，，，，f(x),3x，bx,bf(x),3x,3b,3，，x,b4.A由,依题意，首先要求b>0, 所以 ，，x,b,0,1x,b由单调性分析，有极小值，由得. 4yx,5(解:与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为xy，,,48040xym,，,l 34,yx,4yx,4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A 430xy,,, 6((D) 7((D) 8((C) 9((B) 10(B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT 点B处的切线为BQ， T f(3),f(2)？f(3),f(2), y B ,kAB3,2 ,,？f(3),k,f(2),k, A BQAT 如图所示，切线BQ的倾斜角小于 直线AB的倾斜角小于 Q 切线AT的倾斜角 k,k O 1 2 3 4 x ？k,ABATBQ 18 所以选B 1，,,，,11( ,,e，, 12(32 ,,3，,，,13( 0,,,,,,,,24，,，, 14. (1) a,1;(2)a,,3;(3)a,,3. 三、解答题 15. 解:设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为 18,12x3,,. h,,4.5,3x(m)0,x,,,42,, 故长方体的体积为 32233V(x),2x(4.5,3x),9x,6x(m)(0,x,). 2 2V,(x),18x,18x(4.5,3x),18x(1,x).从而 令V′(x),0，解得x=0(舍去)或x=1，因此x=1. 2当0,x,1时，V′(x),0;当1,x,时，V′(x),0， 3 故在x=1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值。 233从而最大体积V,V′(x),9×1-6×1(m)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 3答:当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m。 2,fxxaxb()663,，，16(解:(1)， ,,因为函数fx()在及取得极值，则有f(1)0,，f(2)0,( x,1x,2 6630，，,ab，,即 ,(241230，，,ab, 解得，( a,,3b,4 32fxxxxc()29128,,，，(2)由(?)可知，， 2,fxxxxx()618126(1)(2),,，,,,( ,当x,(01)，时，fx()0,; ,当x,(12)，时，fx()0,; 19 ,当时，( x,(23)，fx()0, 时，取得极大值，又，( 所以，当fx()fc(1)58,，fc(0)8,fc(3)98,，x,1 则当时，的最大值为( fx()fc(3)98,，x,03，,, 2fxc(),因为对于任意的，有恒成立， x,03，,, 2所以 ， 98，,cc 解得 或， c,,1c,9 因此的取值范围为( (1)(9),,,，,，，c 32,,17(解: (1)令解得 x,1或x,,1f(x),(,x，3x，2),,3x，3,0 ,,,当时,, 当时, ,当时, f(x),0f(x),0f(x),0x,,1,1,x,1x,1 所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故x,,1x,1 x,,1,x,1, f(,1),0,f(1),412 所以, 点A、B的坐标为. A(,1,0),B(1,4) 22(2) 设，Q(x,y)， p(m,n)，，，，PA,PB,,1,m,,n,1,m,4,n,m,1，n,4n,4 y，nx，m1y,n1,,,2,4，所以，又PQ的中点在y,2(x,4)上，所以 ,,,,k,,PQ222x,m2,, 22，，，，x,8，y，2,9m,n消去得. 22，，m，n,2,9,另法:点P的轨迹方程为其轨迹为以(0，2)为圆心，半径为3的圆;设点(0，2)关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，b,21b，2a，0,,,2,4,,，得a=8,b=-2 由,,22a,02,, 2,,fxxxff()66,(2)12,(2)7,,,,,18(解(1) „„„„„„„„„2分 yfx,()yx,,,712(2)12170xy,,,?曲线在处的切线方程为，即;„„4分 x,2 322,gxxxmgxxxxx()233,()666(1),,，，,,,,(2)记 ,令gxx()0,0,,或1. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ,则xgxgx,(),()的变化情况如下表 x (,0),, (0,1) (1,)，, 10 , ,gx() ，， 00 20 gx()极大 极小 当有极大值有极小值. „„„„„„„„„10分 xgx,0,()mxgx，,3;1,()m，2 g(0)0,,由的简图知，当且仅当 gx(),,g(1)0,, m，,30,即时， ,32,,,,m,m，,20, A函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线. gx() A所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.„„„„14分 yfx,()(3,2),,m 19((1)或f(x)递减; f(x)递增; (2)1、当 a,0,，，，，x,2,，,,，，x,,,,,2,x,,2,2, 2,,f(x)递增;2、当f(x)递增;3、当或a,0,0,a,1,，，，，x,,,,,2,x,,,,2,x,,2,,,a,,22,,,,f(x)f(x)递增; 当递增;当或f(x)a,1,，，，，x,,,,，,,x,2,，,,a,1,x,,，,,x,,,,,,,,,aa,,,, 递增;(3)因由?分两类(依据:单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”: a,0, 322,,f(x),f(,1),,3f(x)1、当 递增，，解得 a,,,,2,,,x,,1,0,,2,,,1,,a,,2,,,min4aa,, 222f(x),f(),,32、当由单调性知:，化简得:，解得 3a，3a,1,0,,1,,a,,2,minaa 3,3,21不合要求;综上，为所求。 a,,a,,,2,64 2ahxxx,，，2ln20((1)解法1:?，其定义域为， 0 ，，,，，，，x 2a1,hx,,，2?( ，，2xx 2,?是函数的极值点，?，即( 30,,ahxh10,x,1，，，， a,3?，?( a,0 a,3经检验当时，是函数的极值点， hxx,1，， a,3?( 2ahxxx,，，2ln解法2:?，其定义域为， 0，，,，，，，x 2a1,hx,,，2?( ，，2xx 2a122,20,，,令，即，整理，得( 20xxa，,,hx,0，，2xx 2?,,，,180a， 21 22,,，118a,，，118a,x,x,?的两个实根(舍去)，， hx,0，，1244 ,当变化时，，的变化情况如下表: xhxhx，，，， xx 0,xx,，,，，，，222 , hx— 0 ， ，， hx极小值 ，， 2,，，118a2,1依题意，，即， a,34 a,3?，?( a,0 (2)解:对任意的都有?成立等价于对任意的xxe,1,，fxgx，，，，,,1212 fxgx，，，，都有?( xxe,1,，，，，，,,12，，，，minmax 1,当,1，,时，( ,xegx,，,10，，x ?函数在上是增函数( gxxx,，ln1，e，，,, gxgee,,，1，，?( ，，，，，，max 2xaxa，,，，，，a,fx,,,1?，且，( xe,1,a,0，，,,22xx xaxa，,，，，，,fx,,0?当且,,1，,时，， xe01,,a，，2x 2a?函数fxx,，在,1，,上是增函数， e，，x 2fxfa,,，11，，?. ，，，，，，min 2e由?，得?， a1，ae，1 又，?不合题意( a01,,a ?当1??时， ae xaxa，,，，，，,fx,,0若1?,，则， xa，，2x xaxa，,，，，，,fx,,0若a,x?e，则( ，，2x 2afxx,，?函数在上是减函数，在上是增函数( 1,aae，，，，，,,x ，，fxfaa,,2?. ，，，，，，min e，1由?，得?， a2ae，12 e，1又1?a?e，??a?e( 2 22 xaxa，,，，，，,fx,,0?当且,1，,时，， ,ae,xe，，2x 2a?函数在上是减函数( fxx,，1，e，，,,x 22aae，e?fxfee,,，.由?，得?，又，?( ，，aae,ae,e，1，，，，，，minee e，1，,,，,综上所述，的取值范围为( a,,2，, 23